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Moneda que va y vuelve

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Un conocido experimento casero es el de lanzar una moneda rodando y deslizando por un suelo horizontal y conseguir que retorne al lanzador. Supongamos que disponemos de una moneda de 2 euros (25.75 mm de diámetro, 8.50 g de masa) que podemos suponer un disco homogéneo. Se encuentra en posición vertical sobre una superficie horizontal en la que el coeficiente de rozamiento (estático y dinámico) vale μ = 0.05. Se lanza horizontalmente con una velocidad inicial de su centro G, \vec{v}_0=0.75\vec{\imath} m⁄s y una cierta velocidad angular inicial \vec{\omega}_0=\omega_0 \vec{k} que habrá que determinar, de forma que en el punto de contacto A la moneda rueda y desliza.

La moneda realiza un movimiento plano en todo momento.

  1. Determine la aceleración lineal del centro, \vec{a}_G y la aceleración angular de la moneda, \vec{\alpha}. A partir de ellas, calcule la velocidad lineal del centro y la velocidad angular del disco como funciones del tiempo.
  2. Calcule la velocidad de la moneda en el punto de contacto A como función del tiempo. Determine el instante en el que la moneda deja de deslizar y comienza a rodar sin deslizar. ¿Cuál es la velocidad del centro G del disco en ese instante?
  3. Determine el mínimo valor de ω0 por encima del cual la moneda retrocede y vuelve al lanzador. Para este valor de ω0, ¿Qué distancia recorre el centro de la moneda hasta que ésta deja de rodar?

Tómese g = 9.81ms2.

2 Aceleraciones y velocidades

Este problema es esencialmente el mismo que el de “Deslizamiento y rodadura de un disco”.

La moneda se mueve sometida a tres fuerzas:

  • Su peso, m\vec{g}=-mg\vec{\jmath}.
  • La fuerza de reacción normal, \vec{F}_n=F_n\vec{\jmath}.
  • La fuerza de rozamiento por deslizamiento, \vec{F}_r=-F_r\vec{\imath}.

Estas fuerzas producen tanto aceleración del CM como aceleración angular del disco.

2.1 Aceleración lineal

Para el movimiento del CM tenemos

m\vec{a}_G=m\vec{g}+\vec{F}_n+\vec{F}_r

que separando por componentes nos da

\left\{\begin{array}{rcl}ma & = & -F_r \\ 0 & = & -mg +F_n\end{array}\right.

De aquí obtenemos la fuerza normal

F_n = mg\,

y dado que se trata de rozamiento por deslizamiento, también la fuerza de rozamiento

F_r=\mu F_n = \mu m g\,

lo que nos da la aceleración del CM

a_G = -\frac{F_r}{m}=-\mu g

2.2 Velocidad del CM

Puesto que la aceleración es constante, la velocidad del CM es inmediata

v_G(t) = v_0 + a_G t = v_0-\mu g t\,

2.3 Aceleración angular

Además de desplazarse, la moneda gira en torno a un eje perpendicular al plano de movimiento

\vec{\omega}=\omega\vec{k}\qquad\qquad \vec{\alpha}=\alpha\vec{k}

La única fuerza que produce un momento es la de rozamiento

I\vec{\alpha} = \overrightarrow{GG}\times(m\vec{g})+\overrightarrow{GA}\times\vec{F}_n+\overrightarrow{GA}\times\vec{F}_r=-F_rR\vec{k}

y produce la aceleración angular

\alpha = -\frac{F_rR}{I}=-\frac{2\mu g}{R}\qquad\qquad \left(I=\frac{1}{2}m R^2\right)

2.4 Velocidad angular

Al ser también constante la aceleración angular, queda la velocidad angular

\omega(t)=\omega_0+\alpha t = \omega_0-\frac{2\mu g}{R}t

2.5 Valores numéricos

Sustituimos los datos del enunciado

a_G= -0.05\times 9.81\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}=-0.49\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}\qquad\qquad v_G=\left(0.75-0.49t\right)\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}

\alpha= -\frac{2\mu g}{R}=-76.2\frac{1}{\mathrm{s}^2}\qquad\qquad\omega = \left(\omega_0-76.2 t\right)\frac{1}{\mathrm{s}}

3 Velocidad del punto de contacto

Por el campo de velocidades de un sólido rígido

\vec{v}_A=\vec{v}_G+\vec{\omega}\times\overrightarrow{GA}=v\vec{\imath}+(\omega\vec{k})\times (-R\vec{\jmath})=(v+\omega R)\vec{\imath}

Sustituimos las expresiones como función del tiempo y nos da la velocidad horizontal

v_A=v_G+\omega R = v_0+\omega_0 R -3\mu g t\,

La moneda deja de deslizar en el momento en que la velocidad del punto de contacto es 0. Esto ocurre para

0 = v_0+\omega_0 R -3\mu g t\qquad\Rightarrow\qquad t = \frac{v_0+\omega_0 R}{3\mu g}

En ese instante la velocidad del CM vale

v_G = v_0-\mu g \left(\frac{v_0+\omega_0 R}{3\mu g}\right)=\frac{2v_0-\omega_0 R}{3}

4 Condición de retroceso

La condición para que el disco retorne es que en el momento en que empieza a rodar sin deslizar la velocidad del CM sea negativa, ya que ello implica que a partir de ese momento va rodando hacia atrás.

La velocidad angular mínima para que ello ocurra la da el que la velocidad del CM en el momento del fin del deslizamiento sea nula. Cualquier valor mayor hará que vG sea negativa y la moneda retorne.

Esto nos da

\omega_{0\mathrm{min}}=\frac{2v_0}{R}

Para este valor exacto la moneda se quedaría “clavada”.

El valor numérico de esta velocidad angular es

\omega_{0\mathrm{min}}=\frac{2v_0}{R}=58.3\mathrm{s}^{-1}

El tiempo que tarda en ocurrir vale

t = \frac{v_0+\omega_0 R}{3\mu g}=\frac{v_0}{\mu g}=1.53\,\mathrm{s}

La distancia que recorre el CM hasta ese momento la da la ecuación del movimiento uniformemente acelerado

x = v_0t+\frac{1}{2}at^2 = \frac{v_0^2}{2\mu g}=57\,\mathrm{cm}

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