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Momento y tensor de inercia (CMR)

De Laplace

Contenido

1 Introducción

El momento de inercia de un sistema de partículas respecto a un punto A puede definirse de dos maneras: empleando velocidades absolutas respecto a un sistema de referencia inercial

\vec{L}_A=\sum_i m_i \overrightarrow{AP}_i\times\vec{v}_i

o usando las velocidades relativas

\vec{L}^{\,\prime}_A=\sum_i m_i \overrightarrow{AP}_i\times(\vec{v}_i-\vec{v}_A)

Ambas cantidades se relacionan por la igualdad

\vec{L}_A=m\overrightarrow{AG}\times\vec{v}_A+\vec{L}^{\,\prime}_A

con lo cual ambas expresiones son coincidentes en los casos importantes

  • A es un punto fijo.
  • A es el propio centro de masas.

En el caso particular de un sólido rígido tenemos una expresión simple para las velocidades relativas

\vec{v}_i-\vec{v}_A=\vec{\omega}\times\overrightarrow{AP}_i

por lo que el momento cinético relativo queda, para un sólido

\vec{L}^{\,\prime}_A=\sum_i m_i\overrightarrow{AP}_i\times(\vec{\omega}\times\overrightarrow{AP}_i)

Esta cantidad es proporcional a la velocidad angular en el sentido de que a doble velocidad angular le corresponde doble momento cinético. Sin embargo, en general ambos vectores no son paralelos, por lo que la relación no se reduce a multiplicar la velocidad angular por un número. En su lugar, la proporcionalidad se establece mediante un tensor, el cual se puede representar por una matriz, de manera que la relación entre las componentes del momento cinético y de la velocidad angular se puede escribir en la forma

\begin{pmatrix}L'_{Ax}\\ L'_{Ay}\\ L'_{Az}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}I_{xx} & I_{xy} & I_{xz} \\ I_{yx} & I_{yy} & I_{yz} \\ I_{zx} & I_{zy} & I_{zz} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}\omega_{x}\\ \omega_{y}\\ \omega_{z}\end{pmatrix}

o, en forma simbólica,

\vec{L}^{\,\prime}_A=\bar{\bar{I}}\cdot\vec{\omega}

Esta cantidad matricial se denomina el tensor de inercia. En lo que sigue veremos sus principales propiedades y casos particulares.

2 Tensor de inercia

Para obtener las componentes del tensor de inercia a partir del momento cinético, consideramos las componentes cartesianas de los vectores

\vec{\omega}=\omega_x\vec{\imath}+\omega_y\vec{\jmath}+\omega_z\vec{k}\qquad\qquad \overrightarrow{AP}=x\vec{\imath}+y\vec{\jmath}+z\vec{k}

y aplicamos que

\overrightarrow{AP}\times(\vec{\omega}\times\overrightarrow{AP})=(\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{AP})\vec{\omega}-(\overrightarrow{AP}\cdot\vec{\omega})\overrightarrow{AP}

Esto nos da, para la componente x del momento cinético

L'_{Ax}=\sum_i m_i((x_i^2+y_i^2+z_i^2)\omega_x-(x_i\omega_x+y_i\omega_y+z_i\omega_z)x_i)=
\left(\sum_i m_i(y_i^2+z_i^2)\right)\omega_x +\left(-\sum_im_ix_iy_i\right)\omega_y+\left(-\sum_im_ix_iz_i\right)\omega_z

Por otro lado, si desarrollamos la expresión matricial anterior queda, para la componente x

L'_{Ax}= I_{xx}\omega_x+I_{xy}\omega_y+I_{xz}\omega_z\,

lo que nos permite identificar las componentes buscadas, como los coeficientes de las componentes de la velocidad angular:

I_{xx}=\sum_i m_i(y_i^2+z_i^2)\qquad\qquad I_{xy}=-\sum_im_ix_iy_i\qquad\qquad I_{xz}= -\sum_im_ix_iz_i

y análogamente para las otras dos filas

I_{yx}=-\sum_im_ix_iy_i\qquad\qquad I_{yy}=\sum_i m_i(x_i^2+z_i^2)\qquad\qquad  I_{yz}= -\sum_im_iy_iz_i

y

I_{zx}=-\sum_im_iy_iz_i\qquad\qquad I_{zy}=-\sum_im_iy_iz_i\qquad\qquad I_{zz} = \sum_i m_i(x_i^2+y_i^2)

En forma compacta, podemos escribir el tensor de inercia como la expresión

\bar{\bar{I}}=\sum_i m_i\begin{pmatrix} y_i^2+z_1^2 & -x_iy_i & -x_iz_i \\ -x_iy_i & x_i^2+z_i^2 & -y_iz_i \\ -x_iz_i & -y_iz_i & x_i^2+y_i^2 \end{pmatrix}

o, de forma un poco más extensa, pero más simétrica

\bar{\bar{I}}=\sum_i m_i(x_i^2+y_i^2+z_i^2)\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}-\sum_i m_i \begin{pmatrix} x_ix_i & x_iy_i & x_iz_i \\ x_iy_i & y_iy_i & y_iz_i \\ x_iz_i & y_iz_i & z_iz_i \end{pmatrix}

3 Momento de inercia

Los elementos diagonales del tensor de inercia reciben el nombre de momentos de inercia

I_{xx}=\sum_i m_i(y_i^2+z_i^2)\qquad\qquad I_{yy}=\sum_i m_i(x_i^2+z_i^2)\qquad\qquad I_{zz} = \sum_i m_i(x_i^2+y_i^2)

Estas cantidades representan la suma de las masas multiplicadas por los cuadrados de las distancias a ejes paralelos, pasando por A, a los respectivos ejes de coordenadas (Ixx con respecto al eje paralelo a OX por A y análogamente para los otros dos).

Más generalmente, se puede definir el momento de inercia respecto a un eje arbitrario como la cantidad

I = \sum_i m_i R_i^2\,

donde Ri es la distancia de una partícula mi al eje.

Hay que destacar que el momento de inercia depende tanto de la distribución de masas como del eje en cuestión. Un mismo sólido tiene infinitos momentos de inercia diferentes, según el eje que tomemos.

Sistema de dos masas

Consideremos dos masas iguales m1 = m2 = m situadas respectivamente en \vec{r}_1=2b\vec{\imath} y \vec{r}_2=3b\vec{\imath}+2b\vec{\jmath}. Podemos imaginar las partículas unidas por una varilla ideal, inextensible y sin masa.

Los momentos de inercia de este sistema respecto a los tres ejes coordenados valen

I_{xx}=m_1(y_1^2+z_1^2)+m_2(y_2^2+z_2^2)=m\cdot 0^2+m(2b)^2=4mb^2

 

I_{yy}=m_1(x_1^2+z_1^2)+m_2(x_2^2+z_2^2)=m(2b)^2+m(3b)^2=13mb^2

 

I_{zz}=m_1(x_1^2+y_1^2)+m_2(x_2^2+y_2^2)=m(2b)^2+m((3b)^2+(2b)^2)=17mb^2


Rotor equilibrado

Consideremos un rotor formado por dos masas iguales de valor m situadas en los extremos de una varilla rígida ideal (sin masa) de longitud H situada horizontalmente (eje OX). Si hallamos el momento de inercia respecto a un eje vertical OZ, perpendicular a la varilla y que pasa por su centro, la distancia de cada masa al eje es la mitad de la longitud de la varilla, por lo que

I_{zz} = m\left(\frac{H}{2}\right)^2 +m\left(\frac{H}{2}\right)^2 = \frac{mH^2}{2}=\frac{m_TH^2}{4}\qquad\qquad (m_T = 2m)

El mismo momento resulta si consideramos un eje horizontal perpendicular a la varilla, OY.

I_{yy}=\frac{m_TH^2}{4}

Para el eje OX, que es colineal con la varilla, la distancia de ambas al eje es nula y

I_{xx}=0+0=0\,


En el caso de que tengamos una distribución continua, la expresión correspondiente es la integral

I = \int_M R(\vec{r})^2\,\mathrm{d}m

donde R será en general diferente para cada elemento de masa dm.

De la definición del momento de inercia se deduce que sus dimensiones son de una masa por una longitud al cuadrado y sus unidades en el SI son kg·m²

Varilla homogénea

Una barra de longitud H con una masa M distribuida uniformemente posee un momento de inercia respecto a un eje perpendicular a ella por su centro

I_{zz} = \int R^2\,\mathrm{d}m=\int_{-H/2}^{H/2} x^2\,\left(\frac{M}{H}\mathrm{d}x\right)=\frac{MH^2}{12}

Para un eje que vaya a lo largo de la varilla, en cambio, el momento de inercia será nulo.

 

Superficie cilíndrica

Para una superficie cilíndrica de radio R y altura h, el momento de inercia respecto al eje del cilindro es, simplemente

I_{zz}=\int_M R^2\,\mathrm{d}m = R^2\int_M\,\mathrm{d}m = {MR^2}

ya que todos los puntos se encuentran a la misma distancia del eje.

Puesto que este resultado no depende de la altura del cilindro también es aplicable al caso de un anillo (superficie cilíndrica de altura muy pequeña).

 

Cilindro macizo

Si en cambio consideramos un cilindro macizo homogéneo de radio R y altura h, su momento de inercia es igual a

I_{zz}=\int_M {r^2}\,\mathrm{d}m = \int_V \rho r^2\,\mathrm{d}V

Como elementos de volumen consideramos finas películas cilíndricas de radio r y espesor dr, cada una de las cuales tiene el volumen diferencial

\mathrm{d}V = {S(r)}\,\mathrm{d}r = 2\pi r\,h\,\mathrm{d}r

Llevando esto al momento de inercia nos queda

I_{zz} = \int_0^R \rho\,r^2\,(2\pi\,r\,h)\mathrm{d}r = 2\pi\rho h\int_0^R r^3\,\mathrm{d}r=\frac{\pi \rho R^4 h}{2}

Vemos que para cilindros del mismo material (con la misma densidad de masa), el momento de inercia va como la cuarta potencia del radio (esto es, doble de radio significa que el momento de inercia se multiplica por 16). Sustituyendo el valor de la densidad de masa

\rho = \frac{M}{V}=\frac{M}{\pi R^2 h}\qquad\Rightarrow\qquad I_{zz}=\frac{1}{2}{MR^2}

El momento de inercia de un cilindro macizo es entonces la mitad del de una superficie cilíndrica de la misma masa y el mismo radio.

Puesto que este resultado no depende de la altura del cilindro también es aplicable al caso de un disco (cilindro macizo de muy pequeño espesor).

3.1 Casos particulares

Por su interés, es conveniente tabular casos particulares de momentos de inercia de sólidos homogéneos. Muchos otros pueden hallarse


Sólido
Eje Momento de inercia
Superficie cilíndrica de radio R y altura h El del cilindro MR^2\,
Cilindro macizo de radio R y altura h El del cilindro \frac{1}{2}MR^2
Cilindro hueco de radio interior R1, exterior R2 y altura h El del cilindro \frac{1}{2}M\left(R_1^2+R_2^2\right)
Varilla rectilínea de longitud H Perpendicular por el centro \frac{1}{12}MH^2
Paralelogramo de lados b y h (incluye cuadrados, rectángulos y rombos) Perpendicular por el centro \frac{M(b^2+h^2)}{12}
Cubo macizo de arista a Cualquiera que pase por su centro \frac{Ma^2}{6}
Superficie esférica de radio R Cualquiera que pase por su centro \frac{2MR^2}{3}
Esfera maciza de radio R Cualquiera que pase por su centro \frac{2MR^2}{5}

Vemos que para aquellos que se caracterizan por una sola distancia R (radio, longitud,...), la forma del momento de inercia es

I=\gamma M R^2\,

con γ un número que depende del objeto. En particular, para objetos redondos (con R el radio) tenemos

Cuerpo Cilindro hueco Cilindro macizo Esfera hueca Esfera maciza
\gamma\, 1\, \frac{1}{2} \frac{2}{3} \frac{2}{5}

Esto permite estudiar de forma general los problemas de objetos rodantes, suponiendo un cierto factor γ general y luego particularizando.

4 Productos de inercia

Se denominan productos de inercia de un sólido a las cantidades

P_{xy}=\sum_i m_i x_i y_i\qquad\qquad P_{xz}=\sum_i m_i x_i z_i  \qquad\qquad P_{yz}=\sum_i m_i y_i z_i

de manera que los elementos no diagonales del tensor de inercia cumplen

I_{xy}=I_{yx}=-P_{xy}\qquad\qquad I_{xz}=I_{zx}=-P_{xz}\qquad\qquad I_{yz}=I_{zy}=-P_{yz}
Sistema de dos masas

Consideremos el sistema de dos masas ya mencionado, con dos masas iguales m1 = m2 = m situadas respectivamente en \vec{r}_1=2b\vec{\imath} y \vec{r}_2=3b\vec{\imath}+2b\vec{\jmath}.

Los productos de inercia de este sistema respecto a los tres ejes coordenados valen

P_{xy}=m_1x_1y_1+m_2x_2y_2=m\cdot 0^2+m(2b)(3b)=6mb^2

y, teniendo en cuenta que z1 = z2 = 0,

P_{xz}=m_1x_1z_1+m_2x_2z_2=0\qquad\qquad P_{yz}=m_1y_1z_1+m_2y_2z_2=0\,

Esto nos permite completar el tensor de inercia de este sistema

\bar{\bar{I}}=mb^2\begin{pmatrix}4 & -6 & 0 \\ -6 & 13 & 0 \\ 0 & 0 & 17\end{pmatrix}

5 Teorema de Steiner y de la figura plana

5.1 Teorema de Steiner o de los ejes paralelos

El momento de inercia puede definirse respecto a un eje arbitrario, que no necesariamente debe pasar por el centro de masas del sólido. No obstante, los ejes que pasan por el CM tienen propiedades particulares.

Consideremos un sistema de referencia que tiene como origen el punto O Consideremos dos ejes paralelos: el eje OZ, que pasa por un punto O y un eje GZ, paralelo a éste, que pasa por el centro de masas G. La posición del CM respecto al sistema centrado en O tendrá las componentes

\overrightarrow{OG}=x_G\vec{\imath}+y_G\vec{\jmath}+z_G\vec{k}

El momento de inercia respecto a cada uno de estos dos ejes valdrá

I^O_{zz}=\sum_i(x_i^2+y_i^2)\qquad\qquad I^G_{zz}=\sum_i(x^{\prime 2}_i+y^{\prime 2}_i)

siendo las coordenadas con prima las de la posición respecto al centro de masas. Se relacionan con las absolutas por

\overrightarrow{OP}_i=\overrightarrow{OG}+\overrightarrow{GP}_i\qquad\Rightarrow\qquad x_i=x_G+x'_i

Ahora bien, ya que la posición relativa del CM respecto a sí mismo es nula

\vec{0}=\overrightarrow{GG}\qquad\Rightarrow\qquad \sum_i x'_i=0

Si sustituimos las posiciones absolutas en su momento de inercia y aplicamos esta propiedad nos queda finalmente el teorema de Steiner:

I^O_{zz}=\sum_im_i(x^{\prime 2}_i+y^{\prime 2}_i)+ \sum_i m_i(x_G^2+y_G^2)=I^G_{zz}+ m(x_G^2+y_G^2)

De manera análoga resulta, para los otros dos momentos de inercia

I^O_{xx}=I^G_{xx}+ m(y_G^2+z_G^2)\qquad\qquad I^O_{yy}=I^G_{yy}+ m(x_G^2+z_G^2)

y para los productos de inercia

P^O_{xy}=P^G_{xy}+ mx_Gy_G\qquad\qquad P^O_{xz}=P^G_{xz}+ mx_Gz_G\qquad\qquad P^O_{yz}=P^G_{yz}+ my_Gz_G

En forma matricial, el teorema de Steiner relaciona los dos tensores de inercia

\bar{\bar{I}}^O = \bar{\bar{I}}^G+m\begin{pmatrix}y_G^2+z_G^2 & -x_Gy_G & -x_Gz_G \\ -x_Gy_G & x_G^2+z_G^2 & -y_Gz_G \\ -x_Gz_G & -y_Gz_G & x_G^2+y_G^2\end{pmatrix}

La cantidad

d^2=x_G^2+y_G^2\,

representa el cuadrado de la distancia entre el eje que pasa por el CM y el eje paralelo original. Por tanto, más en general podemos establecer la relación

I^O=I^G + m d^2\,

que relaciona el momento de inercia respecto a un eje en dirección arbitraria y uno paralelo a él que pasa por el CM.

Nótese que esta relación no nos conecta los momentos de inercia entre dos ejes paralelos cualesquiera. El que aparece en el segundo miembro es siempre por el CM.Este teorema nos dice que el momento de inercia en ejes paralelos es mínimo en el eje que pasa por el CM (lo cual sirve también como definición del centro de masas).


Varilla homogénea

Por ejemplo, consideremos el momento de inercia de una varilla de masa M y longitud H alrededor de un eje que pasa por su extremo.

I= \int_{0}^{H}\frac{M}{H}x^2\,\mathrm{d}x = \frac{MH^2}{3}

Si hallamos la diferencia con el que calculamos antes para el eje que pasa por el centro

I - I_G = \frac{MH^2}{3}-\frac{MH^2}{12}= \frac{MH^2}{4}=M\left(\frac{H}{2}\right)^2 = Md^2

 

Cubo alineado con los ejes

Supongamos un cubo de arista b y masa m, situado con un vértice en el origen y con sus lados alineados con los ejes de coordenadas. Si deseamos calcular el tensor de inercia respecto a este sistema de referencia podemos emplear el teorema de Steiner. La posición del CM se encuentra en

\overrightarrow{OG}=\frac{b}{2}(\vec{\imath}+\vec{\jmath}+\vec{k})

por lo que el tensor de inercia vale

\bar{\bar{I}}=\frac{mb^2}{6}\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}+m\begin{pmatrix}b^2/4+b^2/4 & -b^2/4 & -b^2/4 \\ -b^2/4 & b^2/4+b^2/4 & -b^2/4 \\ -b^2/4 & -b^2/4 & b^2/4+b^2/4\end{pmatrix}=\frac{mb^2}{12}\begin{pmatrix}4 & -3 & -3 \\ -3 & 4 & -3 \\ -3 & -3 & 4\end{pmatrix}

5.2 Teorema de la figura plana o de los ejes perpendiculares

Una sólido puede considerarse plano cuando sus dimensiones en una determinada dirección son mucho más pequeñas que a lo largo de las normales a ella. Es el caso, por ejemplo, de una chapa metálica en forma de disco o el de una varilla.

Si consideramos que la coordenada z es la que tiene espesor despreciable, podemos suponer que z = 0 para todos los puntos del sólido. Esto implica que el momento de inercia respecto a este plano es nulo y por tanto

I_{xx}=\int_M y^2\,\mathrm{d}m\qquad\qquad I_{yy}=\int_M x^2\,\mathrm{d}m \qquad\qquad I_{zz}=\int_M (x^2+y^2)\,\mathrm{d}m

de donde es inmediato que

I_{zz} = I_{xx}+I_{yy}\,

Esta relación permite calcular uno de los momentos de inercia conocidos los otros dos.

Disco homogéneo

Por ejemplo, si deseamos hallar el momento de inercia de un disco circular respecto a un eje diametral podemos aplicar que, por simetría y por el teorema de la figura plana

\left\{\begin{array}{rcl}I_{xx} &= & I_{yy} \\ && \\ I_{xx}+I_{yy} &= & I_{zz}=\displaystyle\frac{1}{2}MR^2\end{array}\right.\qquad\Rightarrow\qquad I_{xx}=I_{yy}=\frac{1}{4}{MR^2}

6 Ejes principales y momentos principales de inercia

En general, el tensor de inercia se representa como una matriz simétrica no diagonal. Esto implica que, en general, el momento cinético no es paralelo a la velocidad angular

Sistema de dos masas

Para el sistema de dos masas considerado anteriormente, si suponemos que el sistema gira en torno al eje OX con velocidad angular Ω, el momento cinético respecto al origen, que es un punto fijo, vale

\begin{pmatrix}L_{Ox}\\ L_{Oy}\\ L_{Oz}\end{pmatrix}=mb^2\begin{pmatrix}4 & -6 & 0 \\ -6 & 13 & 0 \\ 0 & 0 & 17 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}\Omega\\ 0\\0\end{pmatrix}=mb^2\Omega\begin{pmatrix}4\\ -6\\0\end{pmatrix}

o, en forma vectorial

\vec{\omega}=\Omega\vec{\imath}\qquad\Rightarrow\qquad \vec{L}_O=mb^2\Omega (4\vec{\imath}-6\vec{\jmath})

En cambio, si gira en torno al eje OZ sí se da el paralelismo

\vec{\omega}=\Omega\vec{k}\qquad\Rightarrow\qquad \vec{L}_O=17mb^2\Omega \vec{k}

Por las propiedades de las matrices simétricas definidas positivas, puede demostrarse que existen tres direcciones ortogonales entre sí, en las cuales el momento cinético es paralelo a la velocidad angular. Estas direcciones son los llamados ejes principales de inercia. Es decir, existe una base ortonormal ligada al sólido \{\vec{\imath}_2,\vec{\jmath}_2,\vec{k}_2\} tal que si

\vec{\omega}=\omega\vec{\imath}_2\qquad \Rightarrow\qquad \vec{L}^{\,\prime}_O=I_{XX}\omega\vec{\imath}_2

y análogamente

\vec{\omega}=\omega\vec{\jmath}_2\qquad \Rightarrow\qquad \vec{L}^{\,\prime}_O=I_{YY}\omega\vec{\jmath}_2

y

\vec{\omega}=\omega\vec{k}_2\qquad \Rightarrow\qquad \vec{L}^{\,\prime}_O=I_{ZZ}\omega\vec{k}_2

En general, cuando la velocidad angular no apunta en la dirección de los ejes principales, el resultado será la superposición de los anteriores

\vec{\omega}=\omega_X\vec{\imath}_2+\omega_Y\vec{\jmath}_2+\omega_Z\vec{k}_2\qquad \Rightarrow\qquad \vec{L}^{\,\prime}_O=I_{XX}\omega_X\vec{\imath}_2+I_{YY}\omega_Y\vec{\jmath}_2+I_{ZZ}\omega_Z\vec{k}_2

o, en forma matricial,

\begin{pmatrix}L'_{OX}\\ L_{OY}\\ L_{OZ}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}I_{XX} & 0 & 0 \\ 0 & I_{YY} & 0 \\ 0 & 0 & I_{ZZ} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}\omega_X\\ \omega_Y\\\omega_Z\end{pmatrix}

Es decir, que en este sistema de referencia ligado (lo que se indica por los subíndices en mayúsculas) el tensor de inercia se representa por una matriz diagonal.

Las cantidades IXX, IYY e IZZ se conocen como los momentos principales de inercia. Matemáticamente son los autovalores del tensor de inercia, mientras que la base ligada \{\vec{\imath}_2,\vec{\jmath}_2,\vec{k}_2\} esta formada por los autovectores de la matriz.

En general, la determinación de los autovalores y autovectores se realiza resolviendo la ecuación vectorial que impone el paralelismo entre velocidad angular y momento cinético

\bar{\bar{I}}\cdot\vec{u}=I\vec{u}

Para que esta ecuación tenga solución debe anularse el determinante

\left|\bar{\bar{I}}-I\bar{\bar{1}}\right|=\left|\begin{matrix}I_{xx}-I & I_{xy}& I_{xz} \\ I_{xy} & I_{yy}-I & I_{yz} \\ I_{xz} & I_{yz} & I_{zz}-I\end{matrix}\right|=0

Esta ecuación es de tercer grado por lo que sus soluciones pueden tener una forma muy complicada. No obstante, hay casos en que resultan soluciones simples

Sistema de dos masas

Siguiendo con el sistema de dos masas, los momentos principales de inercia resultan de resolver el determinante

\left|\begin{matrix}4-I & -6 & 0 \\ -6 & 13-I & 0 \\ 0 & 0 & 17-I \end{matrix}\right|=0

(donde en elr esultado final habrá que multiplicar el número que salga por mb2). Desarrollamos el determinante

\Delta = (17-I)(I^2-17I+16)=0\,

Uno de los autovalores es inmediato, IZZ = 17mb2. Esto era de esperar pues ya sabíamos que el eje OZ era principal. Los otros dos salen de una ecuación de segundo grado

I_{XX}=mb^2 \qquad\qquad I_{YY}=16mb^2

Para hallar cada autovector resolvemos la ecuación vectorial. Para I_{ZZ} es inmediato

mb^2\begin{pmatrix}4 & -6 & 0 \\ -6 & 13 & 0 \\ 0 & 0 & 17 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}u_x \\u_y\\ u_z\end{pmatrix}=17mb^2\begin{pmatrix}u_x \\u_y\\ u_z\end{pmatrix}

que da el sistema

4u_x-6u_y=17u_x\qquad\qquad -6u_x+13u_y=17u_y \qquad\qquad 17u_z=17u_z

con solución

u_x=0,\quad u_y=0\,\quad u_z=1\qquad\qquad\vec{k}_2=\vec{k}_1

Para el autovalor IXX operamos de la misma forma

mb^2\begin{pmatrix}4 & -6 & 0 \\ -6 & 13 & 0 \\ 0 & 0 & 17 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}u_x \\u_y\\ u_z\end{pmatrix}=mb^2\begin{pmatrix}u_x \\u_y\\ u_z\end{pmatrix}

que da el sistema

4u_x-6u_y=u_x\qquad\qquad -6u_x+13u_y=u_y \qquad\qquad 17u_z=u_z

con solución

u_x=2,\quad u_y=1\quad u_z=0\qquad\qquad\vec{\imath}_2=\frac{2}{\sqrt{5}}\vec{\imath}_1+\frac{1}{\sqrt{5}}\vec{\jmath}_1

donde en el última paso se ha normalizado el vector.

Por último, para el autovalor IYY = 16mb2 resulta el tercer vector del triedro


\vec{\jmath}_2=-\frac{1}{\sqrt{5}}\vec{\imath}_1+\frac{2}{\sqrt{5}}\vec{\jmath}_1

En esta base, el tensor de inercia se escribe

\bar{\bar{I}}=mb^2\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 0 \\ 0 & 0 & 17 \end{pmatrix}

Cuando un sólido posee dos momentos principales de inercia iguales existen infinitos ejes principales (todos los de un plano), por lo que podmeos construir la base ligada de más de una manera.

En muchas ocasiones podemos determinar los ejes principales por simple inspección. En particular, si un sólido posee un plano de simetría entonces el eje perpendicular a dicho plano es un eje principal de inercia.

En particular, para una figura plana el eje perpendicular al plano es principal (como ocurre en el ejemplo de las dos masas) y solo hay que determinar los dos ejes ortogonales en el plano de la figura.

Igualmente, si un sólido posee simetría de revolución alrededor de un eje, este eje es principal y cualquier eje ortogonal a éste también lo es.

Ejes principales de un paralelepípedo

Siempre que tengamos un plano de simetría de un sólido, el eje perpndicular a él que pasa por el CM es un eje principal. Por ello, en un paralelepípedo de lados a, b y c, los ejes principales alrededor del CM son las rectas perpendiculares a las caras.

Archivo:ejes-paralelepipedo.png

 

Ejes principales de una esfera

Por la simetría de la esfera, todos los ejes que pasan por su centro on principales, y alrededor de este punto el tensor de inercia no es solo diagonal, sino que es un múltiplo de la matriz unidad

\overline{\overline{I}}=I_0\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}

Esto quiere decir que para la rotación de una esfera alrededor de su centro, el momento cinético es siempre proporcional a la velocidad angular.

\vec{L}_O=I_0\vec{\omega}

7 Rotación de ejes

Si tenemos un eje que pasa por un punto O y cuya dirección va indicada por un cierto vector unitario

\vec{u}=u_x\vec{\imath}+u_y\vec{\jmath}+u_z\vec{k}

podemos calcular el momento de inercia respecto a este eje a partir del tensor de inercia respecto a un sistema de coordenadas centrado en O como

I_u=\vec{u}\cdot\bar{\bar{I}}\cdot\vec{u}=\begin{pmatrix}u_x & u_y & u_z\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}I_{xx} & I_{xy} & I_{xz} \\ I_{yx} & I_{yy} & I_{yz} \\ I_{zx} & I_{zy} & I_{zz} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}u_{x}\\ u_{y}\\ u_{z}\end{pmatrix}

En particular, si tenemos el tensor de inercia referido a los ejes principales, descomponemos el unitario en la base ligada y resulta el momento de inercia

I_u=I_{XX}u_X^2+I_{YY}u_Y^2+I_{ZZ}u_Z^2

EStas componentes son los denominados cosenos directores, es decir los cosenos de los ángulos que el vector \vec{u} forma con los ejes coordenados

Iu = IXXcos2(α) + IYYcos2(β) + IZZcos2(γ)

8 Energía cinética y momento cinético

Cuando tenemos el tensor de inercia podemos calcular el momento cinético empleando las velocidades relativas como

\vec{L}^{\,\prime}_A=\bar{\bar{I}}\cdot\vec{\omega}

y con las velocidades absolutas como

\vec{L}_A=m\overrightarrow{AG}\times \vec{v}_A+\bar{\bar{I}}\cdot\vec{\omega}

En particular, si A es un punto fijo o el CM ambas expresiones son coincidentes.

Expresiones similares tenemos para la energía cinética. En general se cumple

K=T=\frac{1}{2}\vec{v}_A\cdot\vec{p}+\frac{1}{2}\vec{\omega}\cdot\vec{L}_A

Si sustituimos aquí la cantidad de movimiento y el momento cinético resulta

K=T=\frac{1}{2}m(2\vec{v}_G-\vec{v}_A)\cdot\vec{v}_A+\frac{1}{2}\vec{\omega}\cdot\bar{\bar{I}}\cdot\vec{\omega}

Si A es un punto fijo el primer término se anula y queda

(\vec{v}_A=\vec{0})\qquad\qquad K=\frac{1}{2}\vec{\omega}\cdot\bar{\bar{I}}\cdot\vec{\omega}=\frac{1}{2}\left(I_{XX}\omega_X^2+I_{YY}\omega_Y^2+I_{ZZ}\omega_Z^2\right)

donde de nuevo hemos empleado el sistema ligado.

Si A es el centro de masas resulta el teorema de König para la energía cinética

(A=G)\qquad\qquad K=\frac{1}{2}m|\vec{v}_G|^2+\frac{1}{2}\vec{\omega}\cdot\bar{\bar{I}}\cdot\vec{\omega}

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