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Modelo de campo atómico

De Laplace

1 Enunciado

El potencial medio temporal de un átomo de hidrógeno neutro viene dado por

\phi = \frac{q \mathrm{e}^{-\alpha r}}{4\pi\varepsilon_0 r} \left( 1 + \frac{\alpha
r}{2} \right)

en donde q es la carga electrónica, y α − 1 = a0 / 2. Halle la distribución de carga (continua y discreta) que dará lugar a este potencial e interprete este resultado físicamente.

2 Solución

Tenemos que el potencial posee simetría de rotación, por lo que todas las derivadas e integrales van a ser sobre la coordenada esférica radial r

\phi = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r}\mathrm{e}^{-\alpha r}\left(1+\frac{\alpha r}{2}\right)

Para la densidad de carga de volumen

\rho = -\varepsilon_0\nabla^2\phi =
-\frac{\varepsilon_0}{r}\frac{\mathrm{d}^2\ }{\mathrm{d}
r^2}\left(r\phi\right)

Calculamos esta derivada. Multiplicando por r

r\phi = q\mathrm{e}^{-\alpha
r}\left(1+\frac{\alpha}{2}r\right) = \mathrm{e}^{-\alpha
r}f(r)

la derivada de este producto es igual a

\frac{\mathrm{d}^2\ }{\mathrm{d} r^2}\left(r\phi\right) =
\mathrm{e}^{-\alpha r}\left(f''(r)-2\alpha f'(r)+\alpha^2
f(r)\right)

Sustituyendo f(r)

\frac{\mathrm{d}^2\ }{\mathrm{d} r^2}\left(r\phi\right) =
q\mathrm{e}^{-\alpha
r}\left(0-2\alpha\left(\frac{\alpha}{2}\right)+\alpha^2\left(1+\frac{\alpha}{2}r\right)\right)
= \frac{q \alpha^3r \mathrm{e}^{-\alpha r}}{2}

y la densidad de carga de volumen es

\rho = -\frac{q \alpha^3 \mathrm{e}^{-\alpha
r}}{8\pi}

Queda la carga del núcleo, que es una carga puntual. Esta la sacamos de que el sistema es neutro, (ya que el flujo del campo eléctrico tiende a 0 para r\to\infty). La carga de volumen podemos escribirla también como

\rho = -\frac{\varepsilon_0}{r^2}\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d} r}\left(r^2\frac{\mathrm{d}\phi}{\mathrm{d}
r}\right)

así que la carga total de volumen es

Q_v = \int \rho\,\mathrm{d}\tau = 4\pi \int_0^\infty\rho\,r^2\,\mathrm{d}r =  -4\pi\varepsilon_0 \int_0^\infty\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}r}\left(r^2\frac{\mathrm{d}\phi}{\mathrm{d}r}\right)\,\mathrm{d}r = 4\pi\varepsilon_0 \lim_{r\to 0}r^2\frac{\mathrm{d}\phi}{\mathrm{d}r}
y este límite es
\phi = \frac{g(r)}{r}
r^2 \frac{\mathrm{d}\phi}{\mathrm{d}r}= r^2 \frac{r
g'(r)-g(r)}{r^2} = r g'(r)-g(r)
Q_v = 4\pi\varepsilon_0 \lim_{r\to 0}
r^2\frac{\mathrm{d}\phi}{\mathrm{d}r} =
-4\pi\varepsilon_0\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}=-q

Por tanto la carga del núcleo es simplemente + q. Así pues, tenemos

  • Una carga puntual + q situada en el núcleo
  • Una carga q distribuida de forma exponencial en todo el espacio
\rho = -\frac{q\alpha^3\mathrm{e}^{-\alpha
r}}{8\pi}

o, juntándolo todo en una sola distribución

\rho =
q\left(\delta(\mathbf{r})-\frac{\alpha^3\mathrm{e}^{-\alpha
r}}{8\pi}\right)

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