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Masa suspendida de dos muelles

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Se dispone de una masa m=1\,\mathrm{kg} y de resortes de longitud natural 10 cm y constantes k_1= 900\,\mathrm{N}/\mathrm{m} y k_2=1600\,\mathrm{N}/\mathrm{m}.

  1. Suponga que se cuelga la masa del techo colocando en paralelo los dos resortes. En el equilibrio, ¿cuál es la distancia de la masa al techo?
  2. Para este caso, si la masa está en la posición de equilibrio y se le comunica una velocidad de 10 cm/s hacia arriba, ¿cuál es la amplitud de las oscilaciones resultantes? ¿Y su frecuencia?
  3. Suponga ahora que los resortes se conectan en serie, uno a continuación del otro y se suspenden del techo, con la masa en el extremo inferior. ¿Cuánto se estira cada resorte?
  4. Si para este segundo caso se le comunica a la masa en el equilibrio una velocidad de 10 cm/s hacia abajo, ¿cuál es la amplitud y la frecuencia de las oscilaciones?

2 Equilibrio en paralelo

Para analizar el problema, consideramos un sistema de ejes en el que la dirección vertical y hacia abajo es el eje OX. Puesto que todos los desplazamientos y fuerzas van a ir en esta dirección, podemos usar cantidades escalares. El signo positivo indicará una fuerza o desplazamiento hacia abajo y el signo negativo uno hacia arriba.

Tenemos en primer lugar el caso de dos resortes de constantes k_1= 900\,\mathrm{N}/\mathrm{m} y k_2=1600\,\mathrm{N}/\mathrm{m} y longitudes en reposo l_{10}=l_{20}=10\,\mathrm{cm}, que cuelgan del techo y una masa m=1\,\mathrm{kg} suspendida de ambos muelles simultáneamente. ¿Dónde está la posición de equilibrio?

Sea l la longitud que adquieren ambos resortes (que será necesariamente la misma para los dos).

l = l_1 = l_2\,

La ecuación de movimiento para la masa es

ma = F = F1 + F2 + mg

siendo F1 y F2 las fuerzas producidas por cada una de los resortes

F_1 = -k_1(l-l_{10})\qquad F_2 = -k_2(l-l_{20})

La posición de equilibrio nos la da el que la fuerza sea cero

-k_1(l-l_{10}) - k_2(l-l_{20}) + mg = 0\qquad\Rightarrow\qquad l_\mathrm{eq} = \frac{k_1l_{10}+k_2l_{20}+mg}{k_1+k_2}

Numéricamente

l_\mathrm{eq}=\frac{900\times 0.1+1600\times 0.1+1\times 9.81}{900+1600}\,\mathrm{m}=0.104\,\mathrm{m}=10.4\,\mathrm{cm}

Vemos que la deformación es pequeña (4mm) por ser los dos muelles muy rígidos.

3 Oscilación en paralelo

El comportamiento dinámico del sistema lo da la ecuación de movimiento

ma = -k_1(l-l_{10}) -k_2(l-l_{20})+mg\,

Definiendo elongación como la diferencia de la longitud respecto a la de equilibrio (no a la natural)

x = l-l_\mathrm{eq}\,

la ecuación de movimiento se convierte en

ma = -k_1x-k_1(l_\mathrm{eq}-l_{10})-k_2x-k_2(l_\mathrm{eq}-l_{20})+mg\,

pero dado que, por la propia definición de la longitud de equilibrio

-k_1(l_\mathrm{eq}-l_{10})-k_2(l_\mathrm{eq}-l_{20})+mg=0\,

la ecuación de movimiento se reduce a

ma = -(k_1+k_2)x\,

que nos dice que el muelle oscila en torno a su posición de equilibrio con una constante equivalente a la asociación que es la suma de las constantes individuales

k_\mathrm{eq}=k_1+k_2=2500\,\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}}\,

de forma que la frecuencia de oscilación vale

\omega = \sqrt{\frac{k_\mathrm{eq}}{m}}=\sqrt{\frac{k_1+k_2}{m}}=\sqrt{2500\frac{\mathrm{N}/\mathrm{m}}{\mathrm{kg}}}=50\,\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}

Cuando a un oscilador se le comunica una velocidad inicial partiendo de la posición de equilibrio la amplitud de sus oscilaciones es

A = \frac{v_0}{\omega}=\frac{0.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}}{50\,\mathrm{s}^{-1}}=2\,\mathrm{mm}

4 Equilibrio en serie

Cuando los dos resortes están en serie, solo el inferior (el 2) actúa sobre la masa, por lo que su ecuación de movimiento es

ma = mg-k_2(l_2-l_{20})\,

En el extremo del resorte superior (el 1) se ejercen tanto la propia fuerza elástica debida al propio resorte, como la correspondiente al muelle inferior, que en este punto tira hacia abajo. Puesto que en el punto de unión no hay masa alguna, la ecuación de movimiento se reduce a

0=-k_1(l_1-l_{10})+k_2(l_2-l_{20})\,

En el equilibrio, la aceleración es nula, lo que nos da la longitud del resorte inferior

l_{2\mathrm{eq}} = l_{20}+\frac{mg}{k_2}

y a partir de esta hallamos la longitud del muelle superior

l_{1\mathrm{eq}} =l_{10}+\frac{k_2}{k_1}\left(l_{2\mathrm{eq}}-l_{20}\right) = l_{10}+\frac{mg}{k_1}

Vemos que los dos resultados son similares. esto nos dice que el muelle inferior se estira por causa de la masa igual que lo haría si estuviera solo. El muelle superior, del cual cuelga el muelle inferior y a través de este, también la masa, se estira debido a la masa total de lo que cuelga de él. Puesto que el muelle 2 no tiene masa ((idealmente), el resultado es análogo al de un solo muelle.

La longitud total a la que cuelga la masa es la suma de las dos

l_\mathrm{eq}=l_{1\mathrm{eq}}+l_{2\mathrm{eq}}=l_{10}+l_{20}+mg\left(\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}\right)=0.217\,\mathrm{m}=21.7\,\mathrm{cm}

Vemos que en este caso la deformación, de 17mm, es muy superior a la del caso anterior, como corresponde a que el sistema es ahora más blando.

5 Oscilación en serie

En las oscilaciones la aceleración se debe tanto al estiramiento del muelle superior como del inferior

l =l_1+l_2\,

Definimos de nuevo la elongación como la diferencia respecto a la posición de equilibrio

x = l-l_\mathrm{eq} = (l_1-l_{1\mathrm{eq}})+(l_2-l_{2\mathrm{eq}})=x_1+x_2\,

Se cumple que

a = \frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2}=\ddot{x}

De la ecuación de movimiento para la masa tenemos que

ma = mg-k_2(l_2-l_{20})=-k_2(l_2-l_{2\mathrm{eq}})=-k_2x_2\qquad\Rightarrow\qquad x_2=-\frac{ma}{k_2}

y de la ecuación de equilibrio entre los dos muelles

0=-k_1x_1+k_2x_2\qquad\rightarrow\qquad x_1 = \frac{k_2}{k_1}x_2 = -\frac{ma}{k_1}

Sumando las dos diferencias

x = x_1+x_2= -ma\left(\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}\right)

Esta ecuación también se puede escribir como la de un solo oscilador armónico

ma = -k_\mathrm{eq}x\,

donde la constante equivalente verifica

\frac{1}{k_\mathrm{eq}}=\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}\qquad\qquad k_\mathrm{eq}=\frac{k_1k_2}{k_1+k_2}

Numéricamente obtenemos la constante y la frecuencia

k_\mathrm{eq}=576\,\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}}\qquad\Rightarrow\qquad\omega = \sqrt{\frac{k_\mathrm{eq}}{m}}=24\,\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}

La amplitud de las oscilaciones es ahora

A = \frac{v_0}{\omega}=4.17\,\mathrm{mm}

que es más del doble de la del caso de los muelles en paralelo.

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