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Magnitudes en una máquina de Atwood

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Considere una máquina de Atwood ideal formada por dos masas m1 y m2 que cuelgan de una polea (ideal, sin rozamiento ni masa) de radio b a través de un hilo también ideal (inextensible y sin masa) de longitud l). Inicialmente las dos masas están en reposo a la misma altura.

  1. Determine la masa total, la posición, velocidad y aceleración del centro de masas, la cantidad de movimiento, el momento cinético respecto al centro de la polea y la energía cinética del sistema, todo ello como función del tiempo.
  2. Para la cantidad de movimiento, el momento cinético respecto al centro de la polea y la energía cinética determine sus derivadas respecto al tiempo y compruebe que se satisfacen las leyes para su evolución.
Archivo:Esquema-maquina-atwood.png

2 Propiedades del sistema

2.1 Masa

La masa del sistema es simplemente la suma de las masas de las dos pesas, al ser ideal el resto del sistema.

M = m_1+m_2\,

2.2 Propiedades del CM

2.2.1 Posición

Tomando como eje Z el vertical y hacia arriba, pero con z = 0 a la altura de la polea (es decir, que las coordenadas de ambas posiciones tendrán valores de z negativos), las posiciones de las dos masas son

\vec{r}_1 = -b\vec{\imath}+z_1\vec{k}\qquad\qquad \vec{r}_2 = +b\vec{\imath}+z_2\vec{k}

A partir de aquí, la posición del centro de masas queda

\vec{r}_C = \frac{m_1\vec{r}_1+m_2\vec{r}_2}{m_1+m_2}=\frac{(m_2-m_1)b}{m_1+m_2}\vec{\imath}+\frac{m_1z_1+m_2z_2}{m_1+m_2}\vec{k}

Si suponemos que inicialmente las dos masas están en reposo a la misma altura y que son aceleradas por la diferencia de pesos, con aceleración

a = \frac{m_2-m_1}{m_1+m_2}g

tal como se ve en al estudiar la máquina de Atwood, podemos escribir la posición vertical de cada una como

z_1= z_0+\frac{1}{2}at^2\qquad\qquad z_2 = z_0-\frac{1}{2}at^2

lo que da la posición del CM

\vec{r}_C = \frac{m_1\vec{r}_1+m_2\vec{r}_2}{m_1+m_2}=\frac{(m_2-m_1)b}{m_1+m_2}\vec{\imath}+\left(z_0-\left(\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}\right)^2gt^2\right)\vec{k}

Vemos que el CM desciende aceleradamente, independientemente de cuál sea la masa más pesada.

2.2.2 Velocidad

Derivando en la posición anterior, resulta la velocidad del CM,

\vec{v}_C = \frac{m_1v_1+m_2v_2}{m_1+m_2}\vec{k}=-\left(\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}\right)^2gt\vec{k}

2.2.3 Aceleración

Derivando de nuevo queda

\vec{a}_c = -\left(\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}\right)^2g\vec{k}

2.3 Cantidad de movimiento

La cantidad de movimiento del sistema es proporcional a la velocidad del CM

\vec{p}=M\vec{v}_C = -\frac{(m_1-m_2)^2}{m_1+m_2}gt\vec{k}

2.4 Momento cinético

El momento cinético es la suma de los momentos cinéticos individuales

\vec{L}_O = m_1\vec{r}_1\times \vec{v}_1 +m\vec{r}_2\times\vec{v}_2

Para cada uno, este producto vectorial es igual al producto de la distancia a la recta de movimiento, multiplicada por la velocidad de la partícula, y con un sentido dado por la regla de la mano derecha.

\vec{L}_{O1}=m_1bv_1\vec{\jmath}=m_1bat\vec{\jmath}\qquad\qquad \vec{L}_{O1}=-m_2bv_2=m_2bat\vec{\jmath}\vec{\jmath}

Sumando los dos términos

\vec{L}_O = (m_1+m_2)ab t\vec{\jmath}

Sustituyendo aquí el valor de la aceleración

\vec{L}_O = (m_2-m_1)bgt\vec{\jmath}

2.5 Energía cinética

A partir de las velocidades individuales hallamos la energía cinética total

K = \frac{1}{2}m_1|\vec{v}_1|^2+\frac{1}{2}m_2|\vec{v}_2|^2

que da

K = \frac{m_1+m_2}{2}a^2t^2 = \frac{(m_1-m_2)^2 g^2 t^2}{2(m_1+m_2)}

2.6 Energía potencial gravitatoria

También puede hallarse la energía potencial debida al peso del sistema

U = m_1gz_1+m_2gz_2 = (m_1+m_2)gz_c = (m_1+m_2)gz_0-\frac{(m_1-m_2)^2}{m_1+m_2}g^2t^2

3 Leyes de evolución

3.1 Cantidad de movimiento

Para la cantidad de movimiento del sistema se cumple

\frac{\mathrm{d}\vec{p}}{\mathrm{d}t}=\vec{F}

siendo \vec{F} la resultante de las fuerzas externas que actúan en el sistema. En este caso, las fuerzas externas son el peso de cada masa, pero también la reacción que ejerce el soporte que sostiene la polea.

Derivando la cantidad de movimiento del sistema

\frac{\mathrm{d}\vec{p}}{\mathrm{d}t}= -\frac{(m_1-m_2)^2}{m_1+m_2}g\vec{k}

Las fuerzas externas suman

\vec{F}=-m_1g\vec{k}-m_2g\vec{k}+\frac{4m_1m_2}{m_1+m_2}g\vec{k}
=\frac{4m_1m_2-(m_1+m_2)^2}{m_1+m_2}g\vec{k}=-\frac{(m_1-m_2)^2}{m_1+m_2}g\vec{k}

cumpliéndose la igualdad buscada.

3.2 Momento cinético

Para el momento cinético del sistema respecto al punto de anclaje, la ley es

\frac{\mathrm{d}\vec{L}_O}{\mathrm{d}t}=\vec{M}_O

con \vec{M}_O el momento de las fuerzas externas.

Derivamos el momento cinético

\frac{\mathrm{d}\vec{L}_O}{\mathrm{d}t}=(m_2-m_1)bg\vec{\jmath}

En este caso, la fuerza del punto de anclaje tiene momento nulo, por estar aplicada sobre el propio punto O. Quedan entonces los dos pesos.

Las rectas de acción de los dos pesos están ambas a una distancia b del punto de anclaje, por lo que queda, multiplicando el barzo del par por la fuerza y empleando la regla de la mano derecha para el signo (o haciendo el producto vectorial)

\vec{M}_{O1}=-m_1bg\vec{\jmath}\qquad\qquad \vec{M}_{O2}=bm_2g\vec{k}

con la suma

\vec{M}_{O}=b(m_2-m_1)g\vec{\jmath}

como debe ser.

3.3 Energía cinética

La derivada de la energía cinética es igual a la potencia de todas las fuerzas aplicada (externas e internas)

\frac{\mathrm{d}K}{\mathrm{d}t}=P=\sum_i\vec{F}_i\cdot\vec{v}_i

Derivamos la expresión calculada anteriormente

\frac{\mathrm{d}K}{\mathrm{d}t}=\frac{(m_1-m_2)^2 g^2 t}{(m_1+m_2)}

Para hallar la potencia, no nos basta con las fuerzas externas, sino que también debemos incluir las internas.

Para cada masa

P_1 = (m_1\vec{g})\cdot\vec{v}_1+\vec{F}_{T1}\cdot\vec{v}_1\qquad\qquad P_2 = (m_2\vec{g})\cdot\vec{v}_2+\vec{F}_{T2}\cdot\vec{v}_2

Para las fuerzas ejercidas en el punto de anclaje no hay potencia, ya que la velocidad de este punto es nula.

Dado que

\vec{F}_{T1}=\vec{F}_{T2}\qquad\qquad \vec{v}_1=-\vec{v}_2=at\vec{k}

la potencia total se reduce a

P=(m_1-m_2)(-g\vec{k})\cdot(at\vec{k})=(m_2-m_1)gat=\frac{(m_2-m_1)^2g^2t}{m_1+m_2}

Vemos que finalmente la tensión no aparece en los cálculos. Esto es general por tratarse de un hilo inextensible. Al ser la distancia siempre la misma entre las masas, la potencia que desarrolla la tensión en un extremo se anula con la que efectúa en el otro.

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