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Método de las secciones aplicado a una armadura

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Calcula las fuerzas en las barras AC, BC, BD del problema anterior, usando ahora el método de las secciones

2 Solución

2.1 Reacciones en los apoyos

Primero analizamos la estructura como un todo para calcular las reacciones en los apoyos.

La ligadura en el punto A es una articulación, por lo que la fuerza puede tener dos componentes. La ligadura en el punto E es un apoyo en rodillo, esto es, la reacción sólo puede tener componente perpendicular al suelo. Expresamos las posibles componentes de las reaccione y sus momentos respecto del punto A en sistema de ejes indicado en la figura


\begin{array}{lcl}
\vec{\Phi}^A = \Phi^A_x\,\vec{\imath} + \phi^A_y\,\vec{\jmath}&\qquad\qquad&
\vec{M}^A_A = \overrightarrow{AA}\times\vec{\Phi}^A = \vec{0}\\
&&\\
\vec{\Phi}^E = \phi^E\,\vec{\jmath}&\qquad\qquad&
\vec{M}^A_E = \overrightarrow{AE}\times\vec{\Phi}^E = 2\,L\Phi^E\,\vec{k}
\end{array}

Expresamos las cargas y sus momentos respecto al punto A usando el sistema de ejes indicado en la figura


\begin{array}{lcl}
\vec{P}^B = -P^B\,\vec{\jmath}& \qquad\qquad & \vec{M}^A_B = \overrightarrow{AB}\times\vec{P}^B = -\dfrac{L\,P^B}{2}\,\vec{k}\\
&&\\
\vec{P}^D = -P^D\,\vec{\jmath}& \qquad\qquad & \vec{M}^A_D = \overrightarrow{AD}\times\vec{P}^D = -\dfrac{3\,L\,P^D}{2}\,\vec{k}
\end{array}

Las incógnitas son \Phi^A_x, \Phi^A_y, \Phi^E . Las tres ecuaciones las obtenemos de las dos condiciones de equilibrio, a saber: sumatorio total de fuerzas igual a cero y sumatorio de momentos igual a cero. Tenemos


\sum\limits_i\vec{F}_i=\vec{0} \Longrightarrow
\vec{\Phi}^A+\vec{\Phi}^E+\vec{P}^B+\vec{P}^D=\vec{0}
\Longrightarrow
\left|
\begin{array}{l}
\Phi^A_x = 0\\ \\
\Phi^A_y+\Phi^E = P^B + P^D
\end{array}
\right.

De igualar los momentos a cero obtenemos


\sum\limits_i\vec{M}^A_i =\vec{0} \Longrightarrow
\vec{M}^A_A+\vec{M}^A_E+\vec{M}^A_B+\vec{M}^A_D=\vec{0}
\Longrightarrow
2\,L\,\Phi^E = -\dfrac{L\,P^B}{2}-\dfrac{3\,L\,P^D}{2}

Despejando obtenemos las reacciones en los apoyos


\begin{array}{l}
\Phi^A_x = 0 \\ \\
\Phi^A_x = \dfrac{3\,P^B+P^D}{4} = 500\,\mathrm{N}\\ \\
\Phi^E = \dfrac{P^B+3\,P^D}{4} = 700\,\mathrm{N}
\end{array}

3 Fuerzas en las barras

En el método de las secciones se divide la armadura en dos partes, de modo que la línea de separación corte tres barras. Aplicando el principio de fragmentación, se sustituye una de las dos partes por las fuerzas de reacción vincular equivalentes (en este caso, fuerzas a lo largo de los miembros de la armadura). Luego se aplican las condiciones de equilibrio a la parte de la armadura elegida.

3.1 Fuerzas en las barras AC, BD, BC

A la hora de escribir las fuerzas sobre las barras, las pintamos siempre hacia fuera. Después las ecuaciones nos dirán si la barra trabaja a tracción o a compresión.

En este caso las fuerzas externas sobre esta parte de la armadura, que son datos, son


\begin{array}{l}
\vec{P}^B = -P^B\,\vec{\jmath}\\
\vec{\Phi}^A = \Phi^A\,\vec{\jmath}
\end{array}

Teniendo en cuenta que los triángulos son equiláteros, las fuerzas en las barras son


\begin{array}{l}
\vec{T}_{AC} = T_{AC}\,\vec{\imath}\\
\vec{T}_{BC} = T_{BC}\,\cos(\pi/3)\,\vec{\imath} - T_{BC}\,\mathrm{sen}\,(\pi/3)\,\vec{\jmath}\\
\vec{T}_{BD} = T_{BD}\,\vec{\imath}
\end{array}

La suma de todas las fuerzas debe ser cero. De ahí obtenemos dos ecuaciones


\begin{array}{l}
T_{BD} + T_{BC}\cos(\pi/3) + T_{AC} = 0\\ \\
-T_{BC}\,\mathrm{sen}\,(\pi/3) - P^B + \Phi^A=0
\end{array}

Calculamos los momentos respecto al punto B de todas las fuerzas. Los únicos momentos no nulos son los de \vec{\Phi}^A y \vec{T}_{AC} . Las otras fuerzas son concurrentes en B, por lo que su momento respecto a B es cero.


\begin{array}{l}
\vec{M}^B_A = \overrightarrow{BA}\times\vec{\Phi}^A = -\dfrac{1}{2}\,L\,\Phi^A\,\vec{k}\\ \\
\vec{M}^B_{AC} = \overrightarrow{BA}\times\vec{T}^{AC} =  T_{AC}\,L\,\mathrm{sen}\,(\pi/3)\,\vec{k}\\ \\

\end{array}

La sumas de los dos momentos debe anularse, de donde obtenemos otra ecuación


T_{AC}\,\mathrm{sen}\,(\pi/3) - \dfrac{L}{2}\,\Phi^A=0

Resolviendo el sistema de ecuaciones obtenemos


\begin{array}{lrr}
T_{AC} = &289\,\mathrm{N} &(T)\\
T_{BC} = &115\,\mathrm{N} &(T)\\
T_{BD} = &-346\,\mathrm{N}&(C)
\end{array}

3.2 Fuerza en las barras AB,CD,DE

La división no tiene por que involucrar siempre tres barras. Como máximo debe involucrar tres barras en las que no conozcamos la fuerza. Podemos calcular las fuerzas en la barras AB,CD,DE con la división de la figura. En este caso las incógnitas son TAB,TCD,TDE. Los datos son \vec{P}^B, \vec{P}^D, T_{BC} . Aplicando la técnica del apartado anterior se llega a


\begin{array}{lrr}
T_{AB} = &-577\,\mathrm{N} &(C)\\
T_{CD} = &-116\,\mathrm{N} &(C)\\
T_{DE} = &-808\,\mathrm{N}&(C)
\end{array}

3.3 Fuerza en la barra CE

Ahora podemos usar la división de la figura. En realidad, esto es equivalente a aplicar el método de los nudos al nudo E. En este caso basta con aplicar que al suma de fuerzas es cero. Con esto obtenemos


T_{CE} = 404\,\mathrm{N}\, (T)

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