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Leyes del magnetismo (GIE)

De Laplace

1 Introducción

2 Ley de Gauss para el campo magnético

El campo magnético de una carga puntual posee la propiedad de que sus líneas de campo son circunferencias cerradas en torno a la línea de movimiento de la carga. Es decir, son líneas sin extremos, no como las del campo electrostático, que parten de las cargas positivas y mueren en las negativas.

El campo debido a una corriente es superposición de los campos magnéticos de las cargas que lo componen. Por ello, sus líneas de campo tampoco tienen extremos. En el caso de un hilo rectilíneo y de una espira circular, el las líneas de campo son curvas cerradas. En el caso general pueden ser madejas muy complicadas, pero en cualquier caso sin extremos.

Si se calcula el flujo del campo magnético a través de una superficie cerrada, puesto que todas las líneas de campo magnético que entran por un lado salen por otro (pues no pueden desaparecer en el interior), el resultado es un flujo nulo:

\oint \vec{B}\cdot\mathrm{d}\vec{S}=0

Esta es la ley de Gauss para el campo magnético. Es una ley universal que se cumple en toda circunstancia.

Podría pensarse que los imanes no satisfacen esta ley. Después de todo, los imanes poseen polos norte y sur. Un polo norte es aquel del que salen las líneas de campo magnético y el polo sur aquél al que llegan. Si uno considera el flujo alrededor del polo norte de un imán, debería obtenerse un flujo positivo, ¿no? No. Si uno analiza lo que ocurre dentro del imán, encuentra que dentro de éste las líneas de campo magnético van del polo sur al polo norte, cerrando la línea y anulando el flujo. Po r ello, al partir un imán en dos no se obtienen dos polos separados, sino dos nuevos imanes, cada uno con sus dos polos.

3 Ley de Ampère

Cuando se calcula el campo magnético debido a un hilo rectilíneo por el cual circula una intensidad de corriente I se llega al resultado

\vec{B}=\frac{\mu_0 I}{2\pi\rho}\vec{u}_\varphi

siendo ρ la distancia perpendicular al hilo y \vec{u}_\varphi el vector unitario acimutal. De esta expresión se deduce que las líneas de campo magnético son circunferencias que dan vueltas en torno al hilo de corriente.

Si ahora calculamos la circulación a lo largo de una de estas circunferencias, el resultado es independiente de la distancia al hilo

\oint \vec{B}\cdot\mathrm{d}\vec{r} = \int_0^{2\pi}\left(\frac{\mu_0 I}{2\pi\rho}\vec{u}_\varphi\right)\cdot(\rho\,\mathrm{d}\varphi\vec{u}_\varphi) = \mu_0I

Este resultado se puede generalizar a cualquier curva cerrada que envuelva una vez al hilo de corriente. Por contra, si consideramos una curva por el exterior del hilo, puede demostrarse que se anula la circulación del campo magnético.

A partir de aquí el resultado se extiende a un conjunto cualquiera de corrientes. Si tenemos una serie de hilos y una curva C que envuelve solo a algunos de ellos, dejando el resto fuera, la circulación del campo magnético la dan solo aquellas corrientes que son rodeadas por la curva. matemáticamente

\oint \vec{B}\cdot\mathrm{d}\vec{r}=\mu_0I_T

Esta es la ley de Ampère para el campo magnético creado por corrientes estacionarias: la circulación del campo magnético a lo largo de una curva cerrada C es igual a la permeabilidad del vacío multiplicada por la corriente total que atraviesa una superficie S apoyada en la curva C y orientada según la regla de la mano derecha. El signo de cada una de las corrientes será positivo si fluye en el sentido indicado normal a S y negativo en caso contrario.

la ley de Ampère puede escribirse en función de la densidad de corriente como

\oint \vec{B}\cdot\mathrm{d}\vec{r}=\mu_0\int_S\vec{J}\cdot\mathrm{d}\vec{S}

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