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Leyes de conservación en polares y cilíndricas

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Una partícula de masa m describe el movimiento expresado en cilíndricas

\rho = \sqrt{A+Bt^2}\qquad\qquad \varphi =
\mathrm{arctg}\left(t\sqrt{B/A}\right)\qquad\qquad z = 0

Determine si se conserva la cantidad de movimiento, el momento cinético respecto al origen de coordenadas y la energía cinética. En su caso, halle el valor de las constantes.

Responda a las mismas preguntas para el movimiento helicoidal

\rho = A\qquad\qquad \varphi = \omega t\qquad\qquad z = v_0t

2 Fórmulas generales

2.1 Cantidad de movimiento

La cantidad de movimiento de una partícula es el producto de su masa por su velocidad. La expresión de ésta, en coordenadas cilíndricas, es

\vec{v}=\dot{\rho}\vec{u}_\rho+\rho\dot{\varphi}\vec{u}_\varphi+\dot{z}\vec{k}

por lo que la cantidad de movimiento es

\vec{p}=m\dot{\rho}\vec{u}_\rho+m\rho\dot{\varphi}\vec{u}_\varphi+m\dot{z}\vec{k}

En el caso particular de movimiento en el plano OXY, la expresión se reduce a la de coordenadas polares

\vec{p}=m\dot{\rho}\vec{u}_\rho+m\rho\dot{\varphi}\vec{u}_\varphi

2.2 Momento cinético

\vec{L}_O es igual al momento de la cantidad de movimiento, siendo el vector de posición en cilíndricas

\vec{r}=\rho\vec{u}_\rho+z\vec{k}

por lo que resulta

\vec{L}_O=\vec{r}\times\vec{p}=\left|\begin{matrix} \vec{u}_\rho & \vec{u}_\varphi & \vec{k} \\ \rho & 0 & z \\ \dot{\rho} & \rho\dot{\varphi} & \dot{z}\end{matrix}\right|=-mz\rho\dot{\varphi}\vec{u}_\rho+m(z\dot{\rho}-\rho\dot{z})\vec{u}_\varphi + \rho^2\dot{\varphi}\vec{k}

En el caso de movimiento en el plano OXY el momento se reduce a

\vec{L}_O=m\rho^2\varphi\vec{k}

2.3 Energía cinética

La energía cinética, que es una cantidad escalar tiene una expresión más simple

K=\frac{1}{2}m|\vec{v}|^2=\frac{1}{2}m\left(\dot{\rho}^2+\rho^2\dot{\varphi}^2+\dot{z}^2\right)

y en polares

K=\frac{1}{2}m|\vec{v}|^2=\frac{1}{2}m\left(\dot{\rho}^2+\rho^2\dot{\varphi}^2\right)

3 Primer caso

El primer caso

\rho = \sqrt{A+Bt^2}\qquad\qquad \varphi =
\mathrm{arctg}\left(t\sqrt{B/A}\right)\qquad\qquad z = 0

es uno de movimiento plano, por lo que se pueden emplear coordenadas polares. A la hora de derivar, conviene observar que

\dot{\rho}=\frac{Bt}{\sqrt{A+B t^2}}=\frac{Bt}{\rho}

y que

\dot{\varphi}=\sqrt{B/A}\,\frac{1}{1+(B/A)t^2}=\frac{\sqrt{AB}}{\rho^2}

Estas dos relaciones permiten simplificar los cálculos que siguen.

3.1 Cantidad de movimiento

Sustituimos en la expresión de la cantidad de movimiento y queda

\vec{p}=\frac{mBt}{\rho}\vec{u}_\rho+\frac{m\sqrt{AB}}{\rho}\vec{u}_\varphi

Esta expresión parece que no es constante (aparece explícitamente t) pero hay que tener en cuenta que también ρ y los vectores de la base dependen del tiempo.

La derivada de la cantidad de movimiento es igual a la fuerza, que en polares se expresa

\vec{F}=m\left(\ddot{\rho}-\rho\dot{\varphi}^2\right)\vec{u}_\rho+m(2\dot{\rho}\dot{\varphi}+\rho\ddot{\varphi})\vec{u}_\varphi

Para la componente radial tenemos

m\ddot{\rho}=\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\frac{mBt}{\rho}\right)=\frac{mB}{\rho}-\frac{mBt\dot{\rho}}{\rho^2}=\frac{mB}{\rho}-\frac{mB^2t^2}{\rho^3}

y

\rho\dot{\varphi}^2 = \frac{m AB}{\rho^3}

Restando estos dos términos

m(\ddot{\rho}-\rho\dot{\varphi}^2)=\frac{mB}{\rho}-\frac{mB^2t^2}{\rho^3}-\frac{m AB}{\rho^3}=\frac{mB}{\rho}-\frac{mB(A+Bt^2)}{\rho^3}=\frac{mB}{\rho}-\frac{mB}{\rho}=0

Es decir, la aceleración radial es nula en todo momento.

Para la acimutal tenemos

2m\dot{\rho}\dot{\varphi}=\frac{2m\sqrt{AB}\dot{\rho}}{\rho^2}

y

\rho\ddot{\varphi}=\rho\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\frac{\sqrt{AB}}{\rho^2}\right)=-\frac{2\sqrt{AB}\dot{\rho}}{\rho^2}

Si los sumamos

F_\varphi=\frac{2m\sqrt{AB}\dot{\rho}}{\rho^2}-\frac{2m\sqrt{AB}\dot{\rho}}{\rho^2} = 0

Por tanto, la componente acimutal de la fuerza también es nula en todo instante. Esto quiere decir que la fuerza, como vector, es nula en todo momento

\vec{F}=F_\rho\vec{u}_\rho+F_\varphi\vec{u}_\varphi = 0\vec{u}_\rho+0\vec{u}_\varphi=\vec{0}

Si la fuerza es siempre nula, la cantidad de movimiento es una constante, aunque su expresión en polares parezca depender del tiempo.

3.2 Momento cinético

Si sustituimos en la expresión del momenti cinético en polares

\vec{L}_O=m\rho^2\dot{\varphi}\vec{k}

nos queda simplemente

\vec{L}_O=m\sqrt{AB}\vec{k}

que es evidentemente constante, ya que el vector \vec{k} lo es y la componente también.

Lo podíamos haber deducido igualmente de que la fuerza es nula en todo instante, ya que

\frac{\mathrm{d}\vec{L}_O}{\mathrm{d}t}=\vec{M}_O=\vec{r}\times\vec{F}=\vec{r}\times\vec{0}=\vec{0}

3.3 Energía cinética

Por último, para la energía cinética tenemos

K=\frac{1}{2}m(\dot{\rho}^2+\rho^2\dot{\varphi}^2)=\frac{m}{2}\left(\frac{4B^2t^2}{\rho^2}+\frac{4AB}{\rho^2}\right)=\frac{2mB(A+Bt^2)}{\rho^2}=2mB

que también es constante. De nuevo, podíamos haberlo demostrado partiendo de que la fuerza sobre la partícula es nula.

\frac{\mathrm{d}K}{\mathrm{d}t}=\vec{F}\cdot\vec{v}=0

3.4 Expresión en cartesianas

Podíamos haber demostrado que la fuerza sobre la partícula es nula en todo instante partiendo de la expresión en polares

\vec{F}=m(\ddot{\rho}-\rho\dot{\varphi}^2)\vec{u}_\rho+m(2\dot{\rho}\dot{\varphi}+\rho\ddot{\varphi})\vec{u}_\varphi

hallando las derivadas “por fuerza bruta”.

Ahora bien, el que la fuerza sea nula en todo instante tiene la importante consecuencia de que el movimiento debe ser rectilíneo y uniforme. Sin embargo, no lo parece

\rho = \sqrt{A+Bt^2}\qquad\qquad \varphi =
\mathrm{arctg}\left(t\sqrt{B/A}\right)\qquad\qquad z = 0

Para ver que sí es un movimiento rectilíneo y uniforme pasamos a cartesianas. Tenemos que

x = \rho\cos(\varphi)\qquad\qquad y=\rho\,\mathrm{sen}(\varphi)

Aplicamos que

\cos(\varphi)=\frac{1}{\sqrt{1+\mathrm{tg}^2(\varphi)}} = \frac{\sqrt{A}}{\sqrt{A+Bt^2}}

y

\mathrm{sen}(\varphi)=\frac{\mathrm{tg}(\varphi)}{\sqrt{1+\mathrm{tg}^2(\varphi)}} = \frac{t\sqrt{B}}{\sqrt{A+Bt^2}}

y nos queda

x = \sqrt{A+Bt^2}\frac{\sqrt{A}}{\sqrt{A+Bt^2}}=\sqrt{A}\qquad\qquad
y = \sqrt{A+Bt^2}\frac{t\sqrt{B}}{\sqrt{A+Bt^2}}=t\sqrt{B}

Por tanto el vector de posición es de la forma

\vec{r}=\sqrt{A}\vec{\imath}+t(\sqrt{B}\vec{\jmath})=\vec{r}_0+\vec{v}_0t

que es naturalmente el de un movimiento rectilíneo y uniforme y por tanto se conservan la cantidad de movimiento, el momento cinético y la energía cinética, tal como se ve en otro problema.

4 Segundo caso

El segundo caso es más sencillo por tener una expresión simple en coordenadas cilíndricas.

4.1 Cantidad de movimiento

Las derivadas de las coordenadas valen

\dot{\rho}=0\qquad\qquad \dot{\varphi}=\omega\qquad\qquad \dot{z}=v_0

lo que nos da la cantidad de movimiento

\vec{p}=mA\omega\vec{u}_\varphi+mv_0\vec{k}

A diferencia del caso anterior, en el que la cantidad de movimiento era constante, pero no lo parecía, esta parece constante pero no lo es.

La fuerza que actúa sobre la partícula, como se ve al estudiar el movimiento helicoidal, no es nula

\vec{F}=m\vec{a}=-m\omega^2A\vec{u}_\rho

y por tanto no se conserva la cantidad de movimiento.

4.2 Momento cinético

Calculamos el producto vectorial

\vec{L}_O=\vec{r}\times\vec{p}=(A\vec{u}_\rho+v_0t\vec{k})\times\left(mA\omega\vec{u}_\varphi+mv_0\vec{k}\right)=mAv_0\omega t\vec{u}_\rho-mAv_0\vec{u}_\varphi+mA^2\omega\vec{k}

Este momento cinético no es constante, al no anularse el momento de la fuerza

\vec{M}_O=\vec{r}\times\vec{F}=(A\vec{u}_\rho+v_0t\vec{k})\times\left(-m\omega^2A\vec{u}_\rho\right)=-m\omega^2Av_0t\vec{u}_\varphi

Aunque no es constante todo el momento cinético sí lo es una de sus componentes, la vertical,

L_{Oz}=m\rho^2\dot{\varphi}=mA^2\omega=\mathrm{cte.}

ya que se anula la componente del momento de la fuerza en dicha dirección.

4.3 Energía cinética

Sustituimos en la expresión de la energía y queda

K=\frac{1}{2}\left(A^2\omega^2+v_0^2\right)

que sí es una constante de movimiento. En este caso, la potencia desarrollada sobre la partícula se anula (la aceleración, y por tanto la fuerza, es puramente normal)

P=\vec{F}\cdot\vec{v}=\left(-m\omega^2A\vec{u}_\rho\right)\cdot\left(A\omega\vec{u}_\varphi+v_0\vec{k}\right)=0

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