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Ley de Lorentz

De Laplace

Contenido

1 Fuerza sobre cargas puntuales

1.1 Ley de Lorentz

Según se ve en el tema de Electrostática en el vacío, la fuerza eléctrica sobre una carga puntual en reposo viene dada por

\mathbf{F}=q\mathbf{E}(\mathbf{r})

Sin embargo, si dicha carga se encuentra en movimiento, la experiencia muestra que se ve sometida a una fuerza adicional. Esta fuerza, que llamaremos fuerza magnética, verifica que es:

  • Proporcional a la carga
  • Proporcional al módulo de su velocidad
  • Perpendicular a la velocidad

Con estas condiciones, la fuerza magnética debe ser de la forma

\mathbf{F}_m=q\mathbf{v}\times\mathbf{B}(\mathbf{r})

siendo \mathbf{B} un nuevo campo, conocido como campo magnético. La fuerza total sobre una carga puntual es entonces

\mathbf{F}=q\left(\mathbf{E}(\mathbf{r})+\mathbf{v}\times\mathbf{B}(\mathbf{r})\right)

Esta expresión, que es válida en general, tanto para situaciones estáticas como dinámicas, se denomina Fuerza de Lorentz.

1.2 Trabajo magnético nulo

Una propiedad característica de la fuerza magnética sobre una carga magnética es que no realiza trabajo, por siempre normal a la velocidad.

W = \int \mathbf{F}_m\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}=\int(q\mathbf{v}\times\mathbf{B})\cdot(\mathbf{v}\mathrm{d}t)= q\int\mathbf{v}\cdot(\mathbf{v}\times\mathbf{B})\,\mathrm{d}t)=0

y por tanto permanece constante la energía cinética de una carga que se mueve en un campo magnético.

En términos de las componentes intrínsecas de la aceleración, tenemos que la fuerza es siempre normal a la velocidad y por tanto la aceleración tangencial es siempre nula

\mathbf{F}_m=q\mathbf{v}\times\mathbf{B}\perp\mathbf{v}   \Rightarrow   a_t=0\,

Si la aceleración tangencial es nula, la celeridad (módulo de la velocidad) permanece constante

0=a_t=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}   \Rightarrow   v=|\mathbf{v}|=\mathrm{cte}

Una celeridad constante implica una energía cinética constante.

Esto quiere decir que una carga puntual que se mueve en el seno de un campo magnético podrá cambiar de dirección de la velocidad (esto es, su movimiento sí será acelerado), pero no se moverá ni más rápido ni más lento en ningún momento.

Hay que destacar que esta conclusión, que el campo magnético no realiza trabajo, es sólo cierta para una carga puntual sometida a la fuerza de Lorentz. Si tenemos una corriente eléctrica (formada por millones de partículas en movimiento) o un dipolo magnético (que también experimenta fuerzas magnéticas) no es cierto que la energía cinética permanezca constante. De hecho, los frenos magnéticos se basan en la disminución de la energía cinética por acción de un campo magnético.

1.3 Unidades del campo magnético

De la expresión de la fuerza magnética resulta que, en el SI, \mathbf{B} se mide en

[B] = \frac{{[F]}}{{[q][v]}} = \frac{{\left( {1\,{\rm{N}}} \right)}}{{\left( {1{\rm{C}}} \right)\,\left( {1{\rm{m}}/{\rm{s}}} \right)}} = \frac{{1\,{\rm{N}}}}{{{\rm{A}}\cdot{\rm{m}}}} = 1\,{\rm{T}}

A esta unidad se la denomina Tesla, en honor del científico e ingeniero Nikola Tesla.

1.4 ¿Y los imanes?

El concepto de campo magnético suele asociarse sobre todo con los imanes. Sin embargo, las experiencias de Øersted de 1820 mostraron que: Las corrientes eléctricas producen fuerzas magnéticas sobre los imanes.

A partir de ahí, Ampère por un lado y Biot y Savart por otro, postularon la expresión simétrica:

Los imanes producen fuerzas magnéticas sobre las corrientes eléctricas

Y por tanto

Las corrientes eléctricas producen fuerzas magnéticas entre sí

Ampère postuló además que también las fuerzas magnéticas entre imanes son interacciones entre corrientes. Puesto que las corrientes eléctricas no son más que conjuntos de cargas en movimiento:

El magnetismo se reduce a la interacción entre cargas

1.5 La regla de la mano derecha

Es indispensable al estudiar el campo magnético: Si el índice apunta según v y el corazón según B, el pulgar indica la fuerza.

Imagen:reglamanoderecha.gif

2 Movimiento de una carga en un campo magnético

¿Cómo se conocen las propiedades de la fuerza magnética indicadas anteriormente? Una posibilidad es estudiando el movimiento de una carga en un campo uniforme.

Supongamos un campo magnético \mathbf{B} = B \mathbf{u}_z, y una carga q que penetra en el campo con velocidad inicial v0. Tenemos tres casos:

2.1 Velocidad inicial paralela

En este caso la fuerza inicial es nula

\left.m\frac{\mathrm{d}\mathbf{v}}{\mathrm{d}t}\right|_0 = \mathbf{F} = q\mathbf{v}_0\times\mathbf{B}=\mathbf{0}

La velocidad no cambia ni entonces ni más tarde, por lo que el movimiento es rectilíneo y uniforme paralelo a B

2.2 Velocidad inicial perpendicular

Como la fuerza es perpendicular a \mathbf{B}, se cumple que \mathbf{v}\perp\mathbf{B} en todo instante.

Escribiendo la 2ª ley de Newton en componentes intrínsecas

m\left(\mathbf{a}_t + \mathbf{a}_n\right) = q(\mathbf{v}\times\mathbf{B})\qquad \left(\perp\mathbf{v}\right)

La fuerza es puramente normal a \mathbf{v}, por lo que la aceleración tangencial es nula

a_t = \frac{\mathrm{d}\left|\mathbf{v}\right|}{\mathrm{d}t} = 0   \Rightarrow   \left|\mathbf{v}\right| = \left|\mathbf{v}_0\right| =\mathrm{cte}

y, al ser la celeridad constante

a_n = \frac{v_0^2}{R} = \frac{qv_0B}{m}   \Rightarrow   R = \frac{{m{v_0}}}{{qB}} = \mathrm{cte.}

Resultan una celeridad y un radio de curvatura constantes, por tanto el movimiento es circular y uniforme alrededor del campo magnético.

2.3 Velocidad inicial arbitraria

Descomponiendo el movimiento en los dos casos anteriores, resulta una superposición de un movimiento circular alrededor del campo, combinado con uno rectilíneo paralelo a éste.

El resultado es un movimiento helicoidal uniforme

3 Fuerza sobre una distribución de corriente

Normalmente las cargas eléctricas no están aisladas, sino agrupadas por millones formando una distribución de corriente. La fuerza neta sobre la distribución será la resultante de las fuerzas individuales

\mathbf{F}_\mathrm{m} = \sum_{q_i} q_i\left(\mathbf{v}_i\times\mathbf{B}(\mathbf{r}_i)\right)

Como en otras ocasiones, no resulta factible hallar la fuerza mediante el sumatorio, ya que para empezar desconocemos la posición y la velocidad de cada partícula, ni siquiera sabemos cuántas hay. Por ello, es necesario pasar a una descripción macroscópica. Supongamos que tenemos un volumen τ, en el interior del cual hay una distribución de corriente de volumen J. La fuerza neta sobre la distribución es

\mathbf{F}_\mathrm{m} = \int_\tau  \mathbf{J} \times \mathbf{B}\,\mathrm{d}\tau

El mismo razonamiento que para una distribución volumétrica se puede aplicar a una superficial, resultando la fuerza

\mathbf{F}_\mathrm{m} = \int_\tau  \mathbf{K} \times \mathbf{B}\,\mathrm{d}S

3.1 Demostración

En lugar de sumar las cargas en cualquier orden, dividimos el volumen en elementos Δτ, y sumamos primero dentro de cada elemento

\mathbf{F}_\mathrm{m}= \sum_{q_i} q_i\left(\mathbf{v}_i\times\mathbf{B}(\mathbf{r}_i)\right)=\sum_{\Delta\tau}\left(\sum_{q_i\in\Delta \tau}q_i\left(\mathbf{v}_i\times\mathbf{B}(\mathbf{r}_i)\right)\right)

Hacemos la aproximación de que, dentro de un elemento, todas las cargas ven el mismo campo promedio y se puede sacar como factor común

\mathbf{F}_\mathrm{m}= \sum_{\Delta\tau}\left(\sum_{q_i\in\Delta \tau}q_i\left(\mathbf{v}_i\times\mathbf{B}(\mathbf{r}_i)\right)\right)\simeq \sum_{\Delta\tau}\left(\sum_{q_i\in\Delta \tau}q_i\left(\mathbf{v}_i\right)\right)\times\mathbf{B}(\mathbf{r})

El sumatorio de las cargas por las velocidades equivale a la densidad de corriente por el elemento de volumen

\mathbf{F}_\mathrm{m}\simeq \sum_{\Delta\tau}\left(\sum_{q_i\in\Delta \tau}q_i\left(\mathbf{v}_i\right)\right)\times\mathbf{B}(\mathbf{r})=\sum_{\Delta\tau}\Delta\tau\,\mathbf{J}\times\mathbf{B}(\mathbf{r})

Y, considerando los elementos como de tamaño diferencial, resulta finalmente la integral

\mathbf{F}_\mathrm{m} = \int_\tau  \mathbf{J} \times \mathbf{B}\,\mathrm{d}\tau

Aunque en el proceso hemos realizado algunas aproximaciones, en el límite \Delta\tau\to 0 se convierten en identidades.

4 Fuerza sobre una corriente lineal

El caso importante de la fuerza sobre una corriente filiforme puede deducirse de la expresión para una distribución volumétrica. El resultado es que si tenemos una corriente I circulando a lo largo de una curva Γ (abierta o cerrada) la fuerza magnética sobre la corriente es

\mathbf{F}_\mathrm{m}=I\int_\Gamma \mathrm{d}\mathbf{r}\times\mathbf{B}

4.1 Demostración

Una corriente filiforme no es más que una corriente de volumen en el interior de un tubo. Podemos tomar como elemento de volumen un segmento de ese tubo, cumpliéndose \mathrm{d}\tau = \mathrm{d}\mathbf{S}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r} (volumen igual a base por altura), por lo que

\mathbf{F}_\mathrm{m} = \int_\tau  \mathbf{J} \times \mathbf{B}\,\mathrm{d}\tau   = \int_\Gamma \int_S \mathbf{J} \times \mathbf{B}\,\mathrm{d}\mathbf{S}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}

En un cable, tanto la densidad de corriente \mathbf{J} como el desplazamiento \mathrm{d}\mathbf{r} son vectores que apuntan a lo largo del cable, \mathbf{J} = J\mathbf{u}, \mathrm{d}\mathbf{r} = \mathrm{d}l\mathbf{u}. Por tanto, en la expresión anterior pueden intercambiarse

\mathbf{F}_\mathrm{m}  =\int_\Gamma \int_S \mathbf{J} \times \mathbf{B}\,\mathrm{d}\mathbf{S}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}  = \int_\Gamma  \int_S J\left(\mathbf{u} \times \mathbf{B}\right)\left(\mathrm{d}\mathbf{S}\cdot\mathbf{u}\right)\,\mathrm{d}l  = \int_\Gamma  \int_S \left( \mathrm{d}\mathbf{r} \times\mathbf{B}\right)\left(\mathrm{d}\mathbf{S}\cdot\mathbf{J}\right)

La integral sobre una sección del cable de la densidad de corriente no es otra cosa que la intensidad de corriente I, que es la misma a todo lo largo del cable. Por tanto

\mathbf{F}_\mathrm{m}=\int_S \left(\mathrm{d}\mathbf{S}\cdot\mathbf{J}\right)\int_\Gamma  \left( \mathrm{d}\mathbf{r} \times\mathbf{B}\right)=I\int_\Gamma  \mathrm{d}\mathbf{r} \times\mathbf{B}

4.2 Espira sumergida totalmente en un campo

Supongamos una espira cerrada por la que circula una corriente I, completamente inmersa en un campo magnético uniforme \mathbf{B}_0. ¿Cuánto vale la fuerza sobre la espira?

Al ser el campo uniforme, se puede extraer de la integral (¡ojo al orden!)

\mathbf{F}_\mathbf{m}= I\oint_\Gamma  \mathrm{d}\mathbf{r} \times \mathbf{B}  = I\left( \oint_\Gamma  \mathrm{d}\mathbf{r}\right) \times \mathbf{B}_0 = \mathbf{0}

La integral sobre una curva cerrada de dr, es Δr, el desplazamiento entre el punto inicial y el final, que se anula para una curva cerrada.

4.3 Espira sumergida parcialmente en un campo

¿Cuánto vale la fuerza sobre una espira cerrada, si ésta se encuentra sólo parcialmente dentro del campo magnético?

La integral se descompone en dos tramos

\mathbf{F}_\mathrm{m} = I\oint_\Gamma  \mathrm{d}\mathbf{r}\times\mathbf{B}  = I\int_{\mathbf{r}_i}^{\mathbf{r}_f}\mathrm{d}\mathbf{r} \times \mathbf{B}_0 +  I\int_{\mathbf{r}_f}^{\mathbf{r}_i}\mathrm{d}\mathbf{r} \times \mathbf{0}  = I\left(\mathbf{r}_f-\mathbf{r}_i\right) \times \mathbf{B}_0

El resultado sólo depende del desplazamiento entre el punto de entrada y de salida en el campo, no de la forma de la espira.

4.4 Fuerza sobre un segmento rectilíneo

Para el caso frecuente de un segmento rectilíneo de extremos \mathbf{r}_i y \mathbf{r}_f, inmerso en un campo magnético uniforme \mathbf{B}_0, la fuerza magnética se reduce a

\mathbf{F}_\mathrm{m} = I\left(\mathbf{r}_f - \mathbf{r}_i\right) \times \mathbf{B}_0

5 Momento de la fuerza

No todo se reduce a la fuerza sobre una corriente. Para una distribución de corriente, la integral de la ley de Lorentz nos da la resultante de las fuerzas aplicadas a los dos distintos elementos. Pero, incluso en el caso de un sólido rígido, el conocimiento de la resultante no es suficiente para determinar el movimiento de un sistema.

En el caso de un sistema rígido, debemos determinar el momento de las fuerzas aplicadas

\mathbf{M}=\sum_i \mathbf{r}_i\times\mathbf{F}_i

En el caso de un a distribución continua, este sumatorio se sustituye por una integral, en la que podemos sustituir la fuerza de Lorentz

\mathbf{M}=\int \mathbf{r}\times\mathrm{d}\mathbf{F}=\int\mathbf{r}\times\left(\mathbf{J}\times\mathbf{B}\right)\,\mathrm{d}\tau

En la integral anterior es importante ser muy cuidadoso con el orden de los términos y los paréntesis.

Para el caso particular de un conductor filiforme, el momento de la fuerza es

\mathbf{M}=I\int_\Gamma \mathbf{r}\times\left(\mathrm{d}\mathbf{r}\times\mathbf{B}\right)

5.1 Ejemplo: espira cuadrada en campo uniforme

Una espira en un campo uniforme experimenta una fuerza nula, pero ello no implica que no se mueva por efecto del campo. Al aplicarse en diferentes partes del circuito, el campo produce un momento (un par de fuerzas) que genera rotación. En la figura, el par lo forman las fuerzas \mathbf{F}_1 y \mathbf{F}_3.

Supongamos que la espira posee lado a, está recorrida por una corriente I y el vector normal al plano de la espira forma un ángulo θ con el campo magnético.

En lugar de una integral podemos usar el sumatorio, considerando la fuerza sobre cada segmento de la espira, empleando la fórmula expuesta anteriormente

\mathbf{F}_m=I(\mathbf{r}_f-\mathbf{r}_i)\times\mathbf{B}_0

Si tomamos como eje Z el señalado por el campo magnético y como eje Y el de las varillas horizontales, las cuatro fuerzas valen

  • Sobre el lado superior
\mathbf{F}_1=I(a\mathbf{u}_y)\times\left(B_0\mathbf{u}_z\right)=IaB_0\mathbf{u}_x
  • Sobre el lado del fondo
\mathbf{F}_2=I(a(-\cos\theta\mathbf{u}_x-a\,\mathrm{sen}\,\theta\mathbf{u}_z)\times\left(B_0\mathbf{u}_z\right)=IaB_0\cos\theta\mathbf{u}_y
  • Sobre el lado inferior
\mathbf{F}_3=I(-a\mathbf{u}_y)\times\left(B_0\mathbf{u}_z\right)=-IaB_0\mathbf{u}_x
  • Sobre el lado del frente
\mathbf{F}_4=I(a(\cos\theta\mathbf{u}_x+a\,\mathrm{sen}\,\theta\mathbf{u}_z)\times\left(B_0\mathbf{u}_z\right)=-IaB_0\cos\theta\mathbf{u}_y

La resultante de las fuerzas es naturalmente nula

\mathbf{F}_m=(\mathbf{F}_1+\mathbf{F}_3)+(\mathbf{F}_2+\mathbf{F}_4)=\mathbf{0}+\mathbf{0}=\mathbf{0}

El momento de las fuerzas 2 y 4 se anula también ya que vector de posición del punto de aplicación de cada una (el centro de la varilla) es paralelo a la fuerza en ese segmento

\mathbf{r}_2=\frac{a}{2}\mathbf{u}_y   \Rightarrow   \mathbf{M}_2=\mathbf{r}_2\times\mathbf{F}_2=\mathbf{0}

Para los lados 1 y 3, teniendo en cuenta que las fuerzas en ellos son iguales y opuestas

\mathbf{M}=\mathbf{M}_1+\mathbf{M}_3=\mathbf{r}_1\times\mathbf{F}_1+\mathbf{r}_3\times\mathbf{F}_3=(\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_3)\times\mathbf{F}_1

Sustituyendo las posiciones

\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_3=a\cos\theta\mathbf{u}_x+a\,\mathrm{sen}\,\theta\,\mathbf{u}_z   \Rightarrow   \mathbf{M}=Ia^2B_0\,\mathrm{sen}\,\theta\,\mathbf{u}_y

Si introducimos el vector momento magnético de la espira

\mathbf{m}=IS\mathbf{n}=Ia^2\mathbf{n}

este momento de la fuerza lo podemos escribir

\mathbf{M} = \mathbf{m}\times\mathbf{B}

La dirección y el sentido del momento de la fuerza (en el de +\mathbf{u}_y, en este ejemplo), indica el eje y el sentido de giro que tiende a efectuar la espira. La espira intenta orientarse de forma que su vector momento magnético quede alineado con el campo aplicado.

El momento sobre una espira de corriente es la base de los amperímetros analógicos: Se hace pasar la corriente que se quiere medir por el interior de un campo. La medida del par que produce \mathbf{B} permite conocer la corriente.

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