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Líneas y superficies coordenadas

De Laplace

Contenido

1 Introducción

¿Por qué se definen diferentes sistemas de coordenadas? ¿Por qué no basta con las coordenadas cartesianas? La respuesta, evidente a partir de ejemplos sencillos, es que unos sistemas son más adecuados que otros dependiendo del problema a resolver. Simplifican los cálculos y permiten una interpretación sencilla de los resultados obtenidos.

Ahora bien, ¿cuál es el factor principal para elegir un sistema u otro? A la vista de un problema concreto, ¿cómo sabemos si debemos resolverlo empleando coordenadas cartesianas, cilíndricas o esféricas?

La respuesta es que la elección depende de la geometría del sistema. En particular, son las líneas y superficies que aparecen las que nos inclinan por una elección concreta (que a veces puede resultar infructuosa).

Por ejemplo, si tenemos una distribución de carga en forma de esfera, parece natural elegir coordenadas esféricas. Si tenemos un hilo rectilíneo cargado, tanto cartesianas como cilíndricas parecen adecuadas. Pero, ¿qué hacemos si tenemos una superficie cónica? Para poder decidir, es necesario visualizar correctamente los diferentes sistemas de coordenadas. Esto se consigue con ayuda de las líneas y superficies coordenadas.

2 Líneas coordenadas

Un punto P\, del espacio viene dado por tres valores (q_{10}, q_{20}, q_{30})\,. Si, partiendo de este punto, modificamos el valor de la coordenada q_1\,, manteniendo fijas las otras dos, obtenemos una curva (función de q_1\,) conocida como línea coordenada q_1\,. Del mismo modo, si variamos q_2\, o q_3\,, manteniendo en cada caso fijas las otras dos coordenadas, obtenemos otras dos líneas coordenadas (q_2\, y q_3\,, respectivamente).

De aquí se deduce que, por cada punto P\, del espacio pasan tres líneas coordenadas.

3 Superficies coordenadas

Si dado un punto P\, identificado por las coordenadas (q_{10}, q_{20}, q_{30})\, variamos dos de ellas, q_1\, y q_2\, manteniendo fija la tercera, nos movemos sobre una superficie. Ésta se denomina superficie coordenada q_3 = \mathrm{cte}\,. Análogamente se tienen las superficies coordenadas q_1 = \mathrm{cte}\, y q_2 = \mathrm{cte}\,.

De esta definición se deduce que

Por cada punto P\, pasan tres superficies coordenadas.

La intersección de dos superficies coordenadas es una línea coordenada (Ejercicio: demostrarlo).

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