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Líneas de campo

De Laplace

Contenido

1 Definición

Dado un campo vectorial \mathbf{E}(\mathbf{r})\,, sus líneas de campo son las curvas que en cada punto son tangentes al valor del campo en dicho punto.

Matemáticamente, si \mathbf{r}\, es un punto de una línea de campo, y \mathbf{r}+\mathrm{d}\mathbf{r}\, es el siguiente punto a lo largo de la misma línea, se cumple que

\mathrm{d}\mathbf{r}\parallel \mathbf{E}

Dos vectores son paralelos cuando son proporcionales, esto es

\mathrm{d}\mathbf{r}=\mathbf{E}\,\mathrm{d}t

donde la constante de proporcionalidad debe ser diferencial, pues \mathrm{d}\mathbf{r}\, es un vector de módulo diferencial y \mathbf{E}\, no lo es. Podemos escribir esta relación como una ecuación diferencial

\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t} = \mathbf{E}(\mathbf{r})

Podemos leer esta ecuación como que nos movemos a lo largo de la línea con una velocidad dada por el valor del campo en cada punto. El parámetro t\, no es el tiempo, pero para interpretar los resultados podemos imaginárnoslo como tal

Esta ecuación diferencial es vectorial, lo cual quiere decir que en realidad contiene tres ecuaciones escalares acopladas, por ejemplo, en cartesianas

\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = E_x(x,y,z)   \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} = E_y(x,y,z)   \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t} = E_z(x,y,z)

El que las ecuaciones sean acopladas implica que no pueden resolverse sucesivamente. Para hallar x(t)\, precisamos de y(t)\, y z(t)\, y viceversa. Por ello, en pocas ocasiones pueden determinarse analíticamente las ecuaciones de las líneas de campo, incluso en casos sencillos. Numéricamente, en cambio, suele ser un ejercicio sencillo.

2 Campo uniforme

El ejemplo más sencillo posible es el de un campo independiente de la posición, \mathbf{E}_0\,. La ecuación de las líneas de campo es entonces

\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t} = \mathbf{E}_0 \qquad\Rightarrow\qquad \mathbf{r}(t) = \mathbf{r}_0 + \mathbf{E}_0t

Estas son las ecuaciones vectoriales de una familia de rectas paralelas entre sí. El vector director de todas ellas apunta en la dirección del campo uniforme.

3 Campo central

El campo eléctrico producido por una carga puntual situada en el origen de coordenadas es de la forma

\mathbf{E} = k \frac{q\,\mathbf{r}}{r^3} = \frac{kq}{r^2}\mathbf{u}_r

Sin necesidad de resolver ninguna ecuación diferencial, vemos que el campo apunta en todo momento en la dirección de \mathbf{u}_r\,, esto es, es tangente a la línea coordenada de r\,.

Imagen:radiales.png

Por tanto las líneas de campo son estas líneas coordenadas, esto es, semirrectas radiales que parten del origen.

Si la carga no está situada en el origen, el campo es ahora

\mathbf{E} = k \frac{q\,\left(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0\right)}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}_0\right|^3}

Aunque este campo no tiene una expresión sencilla ni en cartesianas ni en esféricas, para obtener las líneas de campo simplemente generalizamos el resultado anterior. Puesto que ambos campo sólo se diferencian en una traslación del punto de referencia, las nuevas líneas de campo serán semirrectas radiales que parten no del origen sino de \mathbf{r}_0\,.

Imagen:radiales2.png

4 Otros ejemplos

Dentro del contexto del electromagnetismo, pueden encontrarse ejemplos integrables de líneas de campo no triviales. Entre ellos están:

  • Un sistema de dos cargas.
  • Un dipolo eléctrico.
  • Cuadrupolos eléctricos
  • Campo magnético de una corriente rectilínea.
  • Campo magnético de una espira
  • Campo eléctrico inducido por un solenoide ideal

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