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Introducción a la cinemática de la partícula (GIE)

De Laplace

Contenido

1 Cinemática y dinámica

Se dice que un cuerpo se halla en movimiento respecto a otro cuando existe un cambio continuo de su posición relativa a lo largo del tiempo. La rama de la Física que se dedica al estudio del movimiento de los cuerpos es la Mecánica, y ésta se subdivide en las siguientes disciplinas:

Cinemática
que describe geométricamente el movimiento sin atender a sus causas.
Dinámica
que conecta el movimiento y sus características con las causas (fuerzas) que lo producen.
Estática
que establece las condiciones reposo y de equilibrio mecánico.

Atendiendo a los sistemas que estudia, cada una de las tres categorías anteriores se subdivide en

  • De la partícula o punto material
  • De los sistemas de partículas
  • Del sólido rígido
  • Del sólido deformable
  • De los fluidos (gases y líquidos)

En este tema nos ocuparemos de la cinemática en general, y de la cinemática de la partícula (o del punto material) específicamente. Más adelante se verá una introducción a la cinemática y dinámica de los sistemas de partículas y del sólido rígido.

Esta descripción se centra en la evolución de las posiciones de las partes de un sistema, como función del tiempo. No requiere el conocimiento de otras cantidades como la masa, la fuerza, o la energía, que son objeto de la Dinámica.

Para poder desarrollar la Cinemática es necesario establecer una serie de conceptos previos, que permitan sostener todo el entramado matemático. Entre estos postulados están

  • Partícula o punto material
  • Espacio
  • Tiempo

2 Partícula

La partícula o punto material es un modelo matemático consistente en un punto geométrico (sin dimensiones) dotado de una masa finita y distinta de cero (densidad másica infinita). La utilidad de este modelo radica en que:

  • proporciona un punto de partida relativamente simple para el desarrollo teórico de la mecánica de modelos más complejos;
  • aproxima el comportamiento dinámico de aquellos cuerpos cuyas dimensiones propias son muy inferiores a las dimensiones promedio de sus desplazamientos (por ejemplo, el movimiento de la Tierra alrededor del Sol);
  • permite estudiar el movimiento del centro de masa de cualquier sistema mecánico. Esto lo hace especialmente util, ya que el modelo puede aplicarse a situaciones en las que los cuerpos no son en absoluto pequeños. Así, por ejemplo, muchos de los problemas típicos de bloques que deslizan por planos, pueden resolverse con la dinámica de la partícula, ya que movimiento del bloque entero es igual al de su centro de masa, que se puede estudiar como un punto material.

3 Espacio y tiempo

El espacio y el tiempo son conceptos primitivos, que no pueden definirse más que por la experiencia: el espacio es lo que miden las reglas y el tiempo lo que miden los relojes.

Conjuntamente constituyen el espacio-tiempo, que es el marco en que se produce el movimiento.

No obstante, a la hora de caracterizarlos matemáticamente, es necesario hacer algunas precisiones sobre el modelo que vamos a emplear para describir el movimiento de las partículas.

  • El espacio es tridimensional; el tiempo unidimensional.
  • Las tres coordenadas espaciales y el tiempo son variables independientes
  • El tiempo fluye por igual para todos los observadores
  • El espacio es homogéneo: tiene las mismas propiedades en todos sus puntos.
  • El espacio es isótropo: todas las direcciones son equivalentes.
  • El espacio es euclídeo: una recta puede prolongarse hasta el infinito sin cambiar su dirección.

Todas estas propiedades son abstracciones, que no resultan de forma inmediata de nuestra experiencia. En la mayoría de los problemas de mecánica, el espacio con el que se trata no es ni homogéneo (no es lo mismo estar sobre el suelo que bajo él), ni isótropo (pues hay una dirección preferida, la dada por la gravedad), ni tridimensional (si se trata de una partícula que rueda por la superficie terrestre), ni plano (por ser curvada la superficie terrestre). Es a base de generalizaciones y abstracciones que se llega al modelo del espacio euclídeo.

4 Sistemas de referencia

Todo movimiento se produce respecto a un observador, el cual para describirlo emplea un sistema de referencia. Las propiedades del espacio enunciadas anteriormente permiten que este sistema de referencia sea cartesiano.

Dado un punto del espacio, O, que tomamos como origen de coordenadas, tomamos tres planos que pasan por dicho punto y que sean ortogonales entre sí, que denominaremos XY, XZ e YZ. Definimos entonces las coordenadas cartesianas de cualquier otro punto como las distancias (con signo), x, y, z a estos planos coordenados (x la distancia al YZ, y al XZ, y z al XY).

Los planos se cortan en tres rectas, también ortogonales entre sí, que denominamos ejes de coordenadas X, Y y Z. Los vectores unitarios tangentes a estos ejes forman una base ortonormal \{\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k}\}, conocida como base canónica, de forma que la posición de cualquier punto P puede expresarse mediante su vector de posición

\vec{r}=x\vec{\imath}+y\vec{\jmath}+z\vec{k}

Un sistema de referencia estará siempre en reposo respecto a sí mismo, pero para otro observador puede estarse moviendo de forma arbitraria. No hay que pensar que un sistema de ejes es algo inmóvil, absoluto y de algún modo ligado al espacio. Un sistema de referencia no es más que una herramienta útil para describir los movimientos y según las circunstancias pueden tomarse ejes que (vistos por otro observador) están rotando o trasladándose.

Por la misma razón no hay que presuponer que, por ejemplo, “el eje Z es vertical”. Nadie se encuentra un eje Z por la calle. El eje Z será el que nosotros queramos que sea y si nos interesa que forme un ángulo de 37° respecto al suelo, pues así lo podemos tomar.

En lo que sigue, siempre que se hable de que una partícula está en reposo o se mueve de tal o cual manera, debe sobreentenderse siempre la coletilla “respecto a un cierto sistema de referencia”, que se fija de antemano.

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