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Intensidad en función de la temperatura Primera Prueba de Control 2010/11 (F2GIA)

De Laplace

1 Enunciado

En el desierto del Sahara, con una temperatura de 58.0\,\mathrm{^oC} se aplica a un cable de cobre una diferencia de potencial ΔV0. Por el cable circula una corriente de 1.00\,\mathrm{A}. Se lleva ese mismo cable a la Antártida, con una temperatura de -88.0\,\mathrm{^oC}. Si se aplica al cable la misma diferencia de potencial ΔV0 de la misma manera que en el Sahara, ¿que corriente se mide ahora?

Datos: resistividad del cobre a 20.0\,\mathrm{^oC}: \rho_0 = 1.70\times10^{-8}\,\mathrm{\Omega\cdot m}, coeficiente de temperatura del cobre a 20.0\,\mathrm{^oC}: \alpha=3.93\times10^{-3}\,\mathrm{^oC^{-1}}.

  1. I_2=0.500\,\mathrm{A}.
  2. I_2=-2.84\,\mathrm{A}.
  3. I_2=0.807\,\mathrm{A}.
  4. I_2=2.00\,\mathrm{A}.

2 Solución

La respuesta correcta es la 4.

La resistividad de un material depende con la temperatura. En clase hemos expresado esta variación con la ley


\rho(T) = \rho_0 ( 1 + \alpha\,(T-T_0))

siendo T0 una temperatura de referencia, ρ0 la resistividad a esa temperatura y α el coeficiente de temperatura del material también a esa temperatura.

Para un hilo, la resistencia es


R = \rho\dfrac{l}{S}

Al variar la temperatura, la longitud y la sección del hilo también cambian. Sin embargo, esta variación es despreciable frente a la debida a la dependencia de la resistividad con la temperatura. Entonces podemos escribir para la resistencia de un hilo


R(T) = R_0(1 + \alpha\,(T-T_0))

siendo R0 la resistencia del hilo a la temperatura de referencia.

El enunciado nos dice que la corriente medida a la temperatura T_1 = 58.0\,\mathrm{^oC} es de 1.00\,\mathrm{A} para una tensión V0. Usando la expresión anterior tenemos que la resistencia a esta temperatura es

R1 = R0(1 + α(T1T0))

T0 son 20.0\,\mathrm{^oC} y R0 es la resistencia a 20.0\,\mathrm{^oC} , que no conocemos.


En la Antártida el hilo está a una temperatura T_2=-88.0\,\mathrm{^0C} . Su resistencia ahora es

R2 = R0(1 + α(T2T0))

Dividiendo las dos resistencias tenemos


\dfrac{R_1}{R_2} = \dfrac{1+\alpha(T_1-T_0)}{1+\alpha(T_2-T_0)}

Si aplicamos el mismo potencial al hilo tenemos


I_2 = \dfrac{V_0}{R_2} = \dfrac{I_1\,R_1}{R_2}
=
I_1\,\dfrac{1+\alpha(T_1-T_0)}{1+\alpha(T_2-T_0)} = 2.00\,\mathrm{A}

Tiene sentido que la intensidad sea mayor en la Antártida, pues la resistencia del cobre disminuye con la temperatura. Si el potencial aplicado es el mismo, la intensidad debe ser mayor.

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