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Inducción mutua de dos solenoides cuadrados

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Se tienen dos solenoides de sección cuadrada de lado b\, de un hilo ideal sin resistencia. La longitud de ambos solenoides es h\, (h\gg b) y el número de vueltas es N1 = N y N2 = 2N, respectivamente. Ambos solenoides se colocan de forma que intersecan en una sección cuadrada de lado a, tal como muestra la figura.
  1. Halle los coeficientes de autoinducción, de inducción mutua y de acoplamiento.
  2. Sin mover los solenoides de sitio, el sistema se conecta a un circuito. Para el caso a = b / 3, halle todas las posibles autoinducciones equivalentes que se pueden obtener con este sistema, teniendo en cuenta que los solenoides pueden conectarse entre sí, cortocircuitarse con un hilo ideal o dejarse en circuito abierto.

2 Coeficientes

2.1 De autoinducción

Si despreciamos los efectos de borde, cada uno de los solenoides produce un campo magnético que es constante en el interior y nulo en el exterior. El campo en el interior es el mismo que produciría una corriente superficial de módulo K = NI / h, esto es, la corriente total partida por la longitud. El campo resultante es

\mathbf{B}_i=\mu_0\frac{N_iI_i}{h}\mathbf{u}_{z}

donde Ni es el número de espiras de un solenoide e Ii la corriente que circula por él.

Para hallar el coeficiente de autoinducción L11 debemos hallar el flujo en el primer solenoide del campo magnético producido por él mismo. Este flujo se calcula a través de N1 espiras cuadradas y el campo es constante en cada una por lo que el flujo vale

\Phi_{11}=N_1 B_1 S_1=\frac{\mu_0N_1^2 b^2}{h}I_1

y el coeficiente de autoinducción correspondiente será

L_1=L_{11}=\frac{\mu_0N_1^2 b^2}{h}

Igualmente se calcula el coeficiente L22

L_2=L_{22}=\frac{\mu_0N_2^2 b^2}{h}

2.2 De inducción mutua

Para hallar el coeficiente de inducción mutua L12 = L21 hay que calcular el flujo en el solenoide 1 del campo producido por el solenoide 2. Este flujo sólo es distinto de cero en el cuadrado de intersección, cuyo lado es a. Este flujo vale

\Phi_{12}=N_1 B_2 a^2=\frac{\mu_0N_1N_2 a^2}{h}I_2

y de aquí

M = L_{12}=L_{21}=\frac{\mu_0N_1N_2a^2}{h}

3 De acoplamiento

Combinando los resultados anteriores obtenemos

k = \frac{M}{\sqrt{L_1L_2}}=\frac{N_1N_2a^2}{\sqrt{N_1^2 b^2}\sqrt{N_2^2 b^2}}=\frac{a^2}{b^2}\leq 1

El acoplamiento es igual a la unidad cuando a = b, esto es, cuando ambos solenoides son coincidentes.

3.1 Empleando la energía magnética

Si este cálculo se hace por energías debemos identificar las dos expresiones para la energía magnética. Por un lado tenemos la integral de la densidad de energía

U_\mathrm{m}=\frac{1}{2\mu_0}\int B^2\,\mathrm{d}\tau

y por otro la expresión en función de las corrientes

U_\mathrm{m}=\frac{1}{2}\mathbf{I}\cdot\mathbf{L}\cdot\mathbf{I}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}I_1 & I_2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}L_1 & M \\ M & L_2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}I_1 \\ I_2\end{pmatrix} = \frac{1}{2}\left(L_1I_1^2+2MI_1I_2+L_2I_2^2\right)

El campo magnético ya lo conocemos y vale B1 en una zona de altura h y sección b2a2, B2 en otra región de las mismas dimensiones y B1 + B2 en la intersección, de longitud h y sección a2. Puesto que B es constante en cada región, puede sacarse de la integral y el resultado es

U_\mathrm{m} = \frac{1}{2\mu_0}\left(B_1^2(b^2-a^2)h+B_2^2(b^2-a^2)h + (B_1+B_2)^2a^2h\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{\mu_0N_1^2b^2}{h}I_1^2+ \frac{\mu_0N_2^2b^2}{h}I_2^2+ 2\frac{\mu_0N_1N_2a^2}{h}I_1I_2\right)

de donde

L_1  =  \frac{\mu_0N_1^2 b^2}{h}        L_{2}=\frac{\mu_0N_2^2 b^2}{h}         M  = L_{21}=\frac{\mu_0N_1N_2a^2}{h}

o, en forma matricial

\mathbf{L}=\frac{\mu_0}{h}\begin{pmatrix}N_1^2b^2 & N_1N_2a^2 \\ N_1N_2a^2 & N_2^2b^2\end{pmatrix}

4 Asociaciones

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