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Inducción mutua de dos solenoides cilíndricos

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Dos solenoides cilíndricos muy largos se disponen concntricamente. Dichos solenoides poseen la misma longitud h\, y número de espiras N1 y N2, respectivamente, las cuales están arrolladas en el mismo sentido. Los radios de las bobinas son, respectivamente, a y b (a < b).
  1. Determine la matriz de inducciones mutuas del sistema.
  2. Calcule la constante de acoplamiento entre las bobinas.
  3. Suponga que se conectan el extremo superior de la bobina interior con el extremo superior de la exterior. ¿Cuál es la autoinducción equivalente de la asociación?
  4. Suponga que se conectan en paralelo, ¿cuál es la autoinducción equivalente de la asociación?

2 Matriz de inducciones mutuas

Existen tres métodos a la hora de calcular los coeficientes de inducción mutua y autoinducción. Uno es el cálculo directo a partir de la fórmula de Neumann, que no consideraremos por ser extremadamente complicado. El segundo es partir del flujo inducido en cada solenoide por los campos magnéticos propios o ajenos. El tercero es a partir de la expresión de la energía magnética.

Comenzaremos por este último, que es el más sencillo, y luego repetiremos el problema a partir de los flujos.

2.1 Cálculo a partir de la energía

Es conocido que un solenoide muy largo de longitud h, radio R, con N espiras por las cuales circula una corriente I produce un campo magnético

  • Si ρ < R
\mathbf{B} = \frac{\mu_0 NI}{h} \mathbf{u}_{z}
  • Si ρ > R
\mathbf{B} = \mathbf{0}

En nuestro caso disponemos de dos solenoides, cada uno de los cuales crea su propio campo magnético. Por simple aplicación del principio de superposición resulta

  • Si ρ < a
\mathbf{B} = \left(\frac{\mu_0 N_1I_1}{h} +\frac{\mu_0 N_2I_2}{h}\right)\mathbf{u}_{z}
  • Si a < ρ < b
\mathbf{B} = \frac{\mu_0 N_2I_2}{h}\mathbf{u}_{z}
  • Si b < ρ
\mathbf{B} = \mathbf{0}

donde I1, e I2 son las corrientes que circulan por los solenoides de radios a y b, respectivamente. Aquí hemos hecho uso de que todas las bobinas poseen la misma longitud y el mismo sentido de giro (lo que hace que todos los campos tengan el mismo sentido).

Una vez conocido el campo podemos obtener la energía magnética almacenada a partir de la expresión

U_m=\int \frac{B^2}{2\mu_0}\,\mathrm{d}\tau

Conocido que el campo es uniforme por regiones podemos escribir esta integral como

U_m = \frac{B(\rho<a)^2}{2\mu_0}\pi a^2h + \frac{B(a<\rho<b)^2}{2\mu_0}\pi\left(b^2-a^2\right)h = \frac{\mu_0\pi}{2h}\left((N_1I_1+N_2I_2)a^2+(N_2I_2)^2(b^2-a^2)\right)

Desarrollando esta expresión resulta

U_m=\frac{\mu_0\pi}{2h}\left(N_1^2I_1^2a^2+2N_1N_2I_1I_2a^2+ N_2^2I_2^2b^2\right)

Comparando este resultado con

U_m= \frac{1}{2}\sum_{i,j}L_{ij}I_iI_j= \frac{1}{2}\begin{pmatrix}I_1 & I_2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}L_{11} & L_{12} \\L_{12} & L_{22}\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}I_1 \\ I_2\end{pmatrix} =\frac{1}{2}\left(L_{11}I_1^2+2L_{12}I_1I_2+L_{22}I_2^2\right)

resulta la matriz de inducciones mutuas

\mathsf{L}=\frac{\mu_0\pi}{h}\begin{pmatrix}N_1^2a^2 & N_1N_2a^2 \\ N_1N_2a^2 & N_2b^2\end{pmatrix}

2.2 Cálculo a partir de los flujos

Para calcular los coeficientes de inducción mutua a partir de los flujos, partimos de la expresión \Phi_i=\sum L_{ij}I_j, o, en forma matricial,

\begin{pmatrix}\Phi_1 \\ \Phi_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}L_{11} & L_{12} \\L_{12} & L_{22}\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}I_1 \\ I_2\end{pmatrix}

Explícitamente,

\begin{matrix}\Phi_1 & = &  L_{11}I_1+L_{12}I_2\\ \Phi_2 & = & L_{21}I_1+L_{22}I_2\end{matrix}

Si suponemos que I1 = 0, I_2\neq 0, sólo circula corriente por la bobina exterior, resultan los coeficientes L12 y L22. En este caso, el campo magnético vale

\mathbf{B}=\begin{cases}\displaystyle \frac{\mu_0N_2I_2}{h}\mathbf{u}_z & (\rho < b) \\ \mathbf{0} & (\rho > b)\end{cases}

por lo que el flujo será el correspondiente a sumar las contribuciones de las Ni espiras que forman cada solenoide, teniendo en cuenta además la superficie de cada una de ellas, esto es

\Phi_1=N_1(\pi a^2) \frac{\mu_0 N_2 I_2}{h}\quad \Rightarrow \quad
L_{12}=\frac{\mu_0\pi N_1N_2 a^2}{h}
\Phi_2=N_2(\pi b^2) \frac{\mu_0 N_2 I_2}{h}\quad \Rightarrow \quad
L_{22}=\frac{\mu_0\pi N_2^2 b^2}{h}

Aprovechando la simetría de los coeficientes, con el resultado anterior ya conocemos el coeficiente L21, pero podemos hallarlos explícitamente empleando un razonamiento análogo.

Si es I_1\neq 0, I2 = 0, a la hora de calcular el flujo sobre una bobina mayor, debe tenerse en cuenta que sólo hay campo dentro de la bobina que crea el campo, y es el área de ésta la que hay que considerar. Queda entonces

\Phi_1=N_1(\pi a^2) \frac{\mu_0 N_1 I_1}{h}\quad \Rightarrow \quad
L_{11}=\frac{\mu_0\pi N_1^2 a^2}{h}
\Phi_2=N_2(\pi a^2) \frac{\mu_0 N_1 I_1}{h}\quad \Rightarrow \quad
L_{21}=\frac{\mu_0\pi N_1N_2 a^2}{h}

Finalmente, la matriz de inducciones mutuas es

\mathsf{L}=\frac{\mu_0\pi}{h}\begin{pmatrix}N_1^2a^2 & N_1N_2a^2 \\ N_1N_2a^2 & N_2b^2\end{pmatrix}

Obsérvese como la simetría de la matriz resulta de aplicar razonamientos diferentes al elemento L12 (en un caso es el área la que está limitada, en el otro es el campo magnético).

3 Constante de acoplamiento

La constante de acoplamiento para un sistema de dos solenoides vale

k = \frac{M}{\sqrt{L_1L_2}}=\frac{L_{12}}{\sqrt{L_{11}L_{22}}}

Sustituyendo los valores para este caso

k = \frac{N_1N_2a^2}{\sqrt{N_1^2a^2N_2^2b^2}} = \frac{a}{b}

Esta es siempre menor que la unidad pues en el cálculo de L12 hemos supuesto que a \leq b. Es igual a la unidad cuando a=b\,. En este caso, al tener las dos bobinas el mismo radio (aunque distinto número de espiras) todo el campo de una pasa por el interior de la otra y el acoplamiento es máximo

4 Asociación en serie

Cuando conectamos las dos bobinas, el sistema pasa a tener una sola entrada y una salida, y puede describirse por un solo coeficiente de autoinducción equivalente. Para hallar su valor, podemos

  • Usar la expresión de la energía magnética
  • Calcular el flujo magnético en el sistema

4.1 A partir de la energía

Cuando se conectan los extremos superiores de ambas bobinas, la corriente que sube por la bobina interior baja por la exterior, de forma que

I_1=I\qquad I_2=-I

llevando esto a la expresión de la energía magnética queda

U_m=\frac{1}{2}\left(L_11 I^2 -2L_12I^2 + L_{22}I^2\right) = \frac{1}{2}\left(L_{11}-2L_{12}+L_{22}\right)I^2

Comparando esto con la expresión para un único solenoide

U_m=\frac{1}{2}L_\mathrm{eq}I^2

obtenemos la autoinducción equivalente

Leq = L11 − 2L12 + L22 = L1 + L2 − 2M

que en nuestro caso da

L_\mathrm{eq}=\frac{\mu_0\pi}{h}\left(N_1^2a^2-2N_1N_2a^2+N_2b^2\right) =
\frac{\mu_0\pi}{h}\left((N_1-N_2)^2a^2+N_2(b^2-a^2)\right)

En el caso de acoplamiento total (k = 1)esta expresión se reduce a

k=1\quad \Rightarrow\quad a=b \quad \Rightarrow\quad L_\mathrm{eq}=\frac{\mu_0\pi a^2}{h}(N_1-N_2)^2

esto es, equivale a una sola bobina con la diferencia de espiras, debido a la cancelación de las de una bobina con las de la otra.

4.2 A partir de los flujos

Si consideramos el sistema formado por las dos bobinas conectados por su extremo superior, el flujo magnético total a través de este sistema incluye los flujos a través de las N_1 espiras interiores y las N_2 exteriores. Pero teniendo en cuenta que la bobina exterior la recorremos en sentido contrario, la normal a las espiras exteriores va en sentido contrario a la normal de las interiores y por tanto

I_1=I\quad I_2 = -I        \Phi_m=\Phi_1 - \Phi_2\,

sustituyendo la relación entre los flujos y las intensidades

\Phi_m = (L_1I - M I) - (MI -L_2I) = (L_1+L_2-2M)I\,

de donde obtenemos de nuevo la autoinducción equivalente

L_\mathrm{eq} = L_{11}-2L_{12}+L_{22}=L_1+L_2-2M\,

5 Asociación en paralelo

El caso de la asociación en paralelo es un poco más complicado que el de la asociación en serie. La forma más sencilla de llegar al resultado final es partir de la ley de Faraday.

Si consideramos sendos voltímetros conectados a los extremos de ambas bobinas, las lecturas de cada una serán

\begin{matrix}\Delta V_1 & =& \displaystyle\frac{\mathrm{d}\Phi_1}{\mathrm{d}t} & = & \displaystyle L_1\frac{\mathrm{d}I_1}{\mathrm{d}t}+
M\frac{\mathrm{d}I_2}{\mathrm{d}t}\\ & & & & \\ \Delta V_2 & = & \displaystyle\frac{\mathrm{d}\Phi_2}{\mathrm{d}t} & = & \displaystyle M\frac{\mathrm{d}I_1}{\mathrm{d}t}+
L_2\frac{\mathrm{d}I_2}{\mathrm{d}t}\end{matrix}

Ahora bien, si están conectados en paralelo, las dos lecturas deben ser la misma.

\Delta V_1 = \Delta V_2 = \Delta V\,

Esto nos permite calcular las derivadas de las corrientes en términos de este voltaje

\frac{\mathrm{d}I_1}{\mathrm{d}t} = \frac{L_2-M}{L_1L_2-M^2}\Delta V        \frac{\mathrm{d}I_2}{\mathrm{d}t} = \frac{L_1-M}{L_1L_2-M^2}\Delta V

Puesto que la corriente total que circula por la asociación es la suma de las que circulan por las bobinas, obtenemos

\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t}  = \frac{\mathrm{d}I_1}{\mathrm{d}t} +\frac{\mathrm{d}I_2}{\mathrm{d}t} = \frac{L_1+L_2-2M}{L_1L_2-M^2}\Delta V

y despejando obtenemos la autoinducción equivalente

\Delta V = \frac{L_1L_2-M^2}{L_1+L_2-2M}\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t}\quad\Rightarrow\quad L_\mathrm{eq} = \frac{L_1L_2-M^2}{L_1+L_2-2M}

En nuestro caso

L_\mathrm{eq} = \frac{\mu_0\pi N_1^2N_2^2a^2}{h}\frac{b^2-a^2}{N_1^2a^2+N_2^2b^2-2N_1N_2a^2}

En el caso particular del acoplamiento total, esta autoinducción equivalente se anula.

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