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Inducción mutua de dos bobinas Primera Convocatoria Ordinaria 2010/11 (F2GIA)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Se tiene una barra larga de sección S de un material ferromagnático de una permeabilidad relativa μr muy alta. En torno a ella están arrolladas dos bobinas de longitud h, con número de vueltas N1 y N2, respectivamente. A lo largo de la bobina 1 circula una corriente I1, constante, mientras que la bobina 2 está en abierto.

  1. Calcula el coeficiente de inducción mutua entre la bobina 1 y la bobina 2 (en valor absoluto).
  2. En un instante dado la corriente que circula por la bobina empieza a decaer en el tiempo siguiendo la ley I(t) = I_0\,e^{-t/\tau}. Calcula la fem inducida en la bobina 2.
  3. Si la bobina dos se cortocircuita de modo que por ella puede pasar una corriente, indica en que sentido aparece la corriente inducida en la situación descrita en el apartado anterior.

Nota: Puede suponerse que todas las líneas del campo creado por la bobina 1 fluyen a través de la bobina 2.

2 Solución

2.1 Coeficiente de inducción mutua

La bobina 1 crea un campo magnético \vec{B}_1 . Este campo magnético queda confinado en la barra de material ferromagnético, como dice el enunciado. De este modo, las líneas de campo de \vec{B}_1 atraviesan la bobina 2 y crean un flujo magnético sobre ella Φ21 el coeficiente de inducción mutua es


L_{12} = M = \frac{\Phi_{21}}{I_1}

Para calcular el campo de la bobina 1 suponemos que es infinita. El campo es


\vec{B}_{1} = \mu_r\,\mu_0\,\frac{N_1}{h}\,I_1\,\vec{n}

El vector \vec{n} es un vector unitario paralelo al eje de las bobinas y dirigido hacia la derecha.

El flujo producido sobre la bobina 2 es


\Phi_{21} = N_2\,B_1\,S = \frac{\mu_r\,\mu_0\,N_1\,N_2\,S}{h}\,I_1

El coeficiente de inducción mutua es


L_{12} = M = \frac{\mu_r\,\mu_0\,N_1\,N_2\,S}{h}

2.2 Fem sobre la bobina 2

El flujo sobre la bobina 2 es


\Phi_{21} = M\,I_1

Si ahora I1 depende del tiempo este flujo cambia en el tiempo, con lo que se genera una fem


\varepsilon_2 = -\frac{\mathrm{d}\Phi_{21}}{\mathrm{d}t} = -M\,\frac{\mathrm{d}I_1}{\mathrm{d}t}

Derivando la expresión de la corriente tenemos


\varepsilon_2 = \frac{M}{\tau}\,I_0\,e^{-t/\tau}
=
\frac{\mu_r\,\mu_0\,N_1\,N_2\,S}{h\,\tau} \,I_0\,e^{-t/\tau}

2.3 Sentido de la corriente inducida

Al cortocircuitar la bobina 2, la fem calculada antes induce una corriente. Por la ley de Lenz, esta corriente crea un campo magnético que se opone a la variación del flujo magnético que genera la fem.

En nuestro caso, en el instante inicial el campo \vec{B}_1 apunta hacia la derecha, con lo que el flujo Φ21 es hacia la derecha. La función exponencial es decreciente, es decir, el flujo disminuye. Para compensar esta disminución, la corriente inducida debe crear un campo que apunte hacia la derecha. Como el sentido del bobinado 2 es igual que el del 1, la corriente que aparece en la bobina 2 lo hace en el mismo sentido que en la bobina 1.

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