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Imán en forma de tubo

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Se tiene un tubo cilíndrico imanado longitudinalmente con una magnetización uniforme M_0 = 10^4\,\mathrm{A}/\mathrm{m}. El tubo posee una longitud h = 24\,\mathrm{mm}, un radio interior a = 9\,\mathrm{mm} y uno exterior b = 16\,\mathrm{mm}
  1. Calcule las corrientes de imanación equivalentes a este imán.
  2. Halle las cargas de imanación equivalentes.
  3. Calcule el valor exacto del campo magnético en el centro del tubo.
  4. Halle el momento dipolar del imán y calcule el valor aproximado del campo magnético en un punto situado a 10 cm en la dirección del eje.

2 Corrientes de imanación

Las corrientes de imanación equivalentes a la magnetización pueden ser volumétricas y superficiales.

2.1 Corrientes de volumen

La densidad de volumétrica de corrientes de magnetización es

\mathbf{J}_m = \nabla\times\mathbf{M}

Esta densidad es nula tanto en el exterior del imán (porque fuera la magnetización es nula), como en su interior (porque es uniforme)

\mathbf{J}_m = \nabla\times\mathbf{M}=\begin{cases}\nabla\times\mathbf{M}_0=\mathbf{0} & \mathrm{interior}\\ \nabla\times\mathbf{0}=\mathbf{0} & \mathrm{exterior}\end{cases}

Por tanto las únicas densidades de corriente serán superficiales.

2.2 Corrientes superficiales

Tenemos cuatro superficies diferentes: las dos bases, la cara interior y la exterior. Para cada una de ellas, la densidad superficial de corriente imanación es de la forma

\mathbf{K}_m=\mathbf{n}\times[\mathbf{M}]

Empleando coordenadas cilíndricas y tomando el eje Z como del tubo, la imanación se escribe

\mathbf{M}=M_0\mathbf{u}_z\,

y el vector \mathbf{n} depende de la superficie en cuestión. Considerando que las bases superior e inferior del tubo se encuentran en las superficies coordenadas z=\pm h/2, y que las caras laterales exterior e interior se corresponden con las superficies \displaystyle\rho=b y \displaystyle\rho=a, respectivamente, se tendrá:

Base superior
En la cara superior
\mathbf{n}\rfloor_{z=h/2}=\mathbf{u}_z\,   \Rightarrow   \mathbf{K}_m(z=h/2)=\mathbf{u}_z\times(\mathbf{0}-M_0\mathbf{u}_z)=\mathbf{0}
Al ser la magnetización paralela al vector normal, la densidad superficial es nula.
Base inferior
En la cara inferior el cálculo es casi idéntico. Tomando
\mathbf{n}\rfloor_{z=-h/2}=-\mathbf{u}_z\,   \Rightarrow   \mathbf{K}_m(z=-h/2)=(-\mathbf{u}_z)\times(\mathbf{0}-M_0\mathbf{u}_z)=\mathbf{0}
La densidad superficial es nula en esta cara.
Cara exterior
En la cara lateral exterior, el vector normal es \mathbf{u}_\rho por lo que la corriente superficial vale
\mathbf{n}\rfloor_{\rho=b}=\mathbf{u}_\rho\,   \Rightarrow   \mathbf{K}_m(\rho=b)=\mathbf{u}_\rho\times(\mathbf{0}-M_0\mathbf{u}_z)=M_0\mathbf{u}_\varphi
La densidad superficial va en la dirección acimutal, girando en torno a la imanación, en sentido antihorario.
Cara interior
En la cara lateral interior, tomamos como vector normal -\mathbf{u}_\rho y resulta la corriente superficial
\mathbf{n}\rfloor_{\rho=a}=-\mathbf{u}_\rho\,   \Rightarrow   \mathbf{K}_m(\rho=a)=-\mathbf{u}_\rho\times(\mathbf{0}-M_0\mathbf{u}_z)=-M_0\mathbf{u}_\varphi
Resulta una densidad también acimutal, pero en sentido opuesto a la anterior.

2.3 Sistema de corrientes equivalente

Reuniendo los resultados anteriores resulta que el imán en forma de tubo equivale a dos distribuciones superficiales, que fluyen sobre sendos cilindros de radios a y b, en sentidos opuestos, esto es, el imán equivale a dos solenoides por los que circula la misma densidad de corriente, pero arrollados en sentidos opuestos.

3 Cargas magnéticas

Las densidades de carga magnética equivalentes a la magnetización pueden ser también volumétricas y superficiales.

3.1 Densidad volumétrica de carga

La densidad volumétrica de cargas magnéticas es

\rho_m = -\nabla\cdot\mathbf{M}

Esta densidad es nula tanto en el exterior del imán (porque fuera la magnetización es nula), como en su interior (porque es uniforme)

\rho_m = -\nabla\cdot\mathbf{M}=\begin{cases}-\nabla\cdot\mathbf{M}_0=0 & \mathrm{interior}\\ -\nabla\cdot\mathbf{0}=0 & \mathrm{exterior}\end{cases}

Por tanto las únicas densidades de carga serán superficiales.

3.2 Densidades superficiales

La densidad superficial de carga magnética equivalente tiene la forma general
\sigma_m=-\mathbf{n}\cdot[\mathbf{M}]

Analizando por separado cada una de las cuatro superficies:

Base superior
En la cara superior
\mathbf{n}\rfloor_{z=h/2}=\mathbf{u}_z\,   \Rightarrow   \sigma_m(z=h/2)=-\mathbf{u}_z\cdot(\mathbf{0}-M_0\mathbf{u}_z)=M_0
Existe una densidad de carga positiva en esta cara, que corresponde al polo norte del imán.
Base inferior
En la cara inferior el cálculo es casi idéntico. Tomando
\mathbf{n}\rfloor_{z=-h/2}=-\mathbf{u}_z\,   \Rightarrow   \sigma_m=(-\mathbf{u}_z)\cdot(\mathbf{0}-M_0\mathbf{u}_z)=-M_0
Resulta ahora una densidad negativa, correspondiente al polo sur del imán.
Cara exterior
En la cara lateral exterior, el vector normal es \mathbf{u}_\rho por lo que la densidad de carga superficial vale
\mathbf{n}\rfloor_{\rho=b}=\mathbf{u}_\rho\,   \Rightarrow   \sigma_m(\rho=b)=\mathbf{u}_\rho\cdot(\mathbf{0}-M_0\mathbf{u}_z)=0
En esta superficie la densidad de carga es nula, por ser el vector normal ortogonal a la imanación.
Cara interior
En la cara lateral interior, tomamos como vector normal -\mathbf{u}_\rho y resulta la densidad superficial
\mathbf{n}\rfloor_{\rho=a}=-\mathbf{u}_\rho\,   \Rightarrow   \sigma_m(\rho=a)=-\mathbf{u}_\rho\cdot(\mathbf{0}-M_0\mathbf{u}_z)=0
De nuevo la densidad es nula, por la misma razón que en el caso anterior.

3.3 Sistema de cargas equivalente

Reuniendo los resultados anteriores resulta que el imán en forma de tubo equivale a dos distribuciones superficiales de carga, ambas en forma de corona circular de radio interior a y exterior b situadas paralelamente a una distancia h.

4 Campo en el centro

Para hallar el campo en el centro podemos emplear tanto la distribución de corrientes equivalentes, como la distribución de cargas, pero no ambas cosas al tiempo.

Lo más simple es emplear la distribución de corrientes. En ese caso, se trata de hallar el campo en el centro de dos solenoides concéntricos, de la misma longitud h, uno de radio a y el otro de radio b. Esto se hace por superposición.

Cuando se estudia el campo de un solenoide cilíndrico o el imán cilíndrico, se ve que el campo en el centro de un solenoide de radio b y longitud h es

\mathbf{B}_1=\mu_0K\,\mathrm{sen}\,\alpha_2\,\mathbf{u}_z=\frac{\mu_0M_0h\mathbf{u}_z}{\sqrt{h^2+4b^2}}

En nuestro caso, que tenemos dos solenoides, el campo total será

\mathbf{B}=\mu_0M_0\left(\frac{h}{\sqrt{h^2+4b^2}}-\frac{h}{\sqrt{h^2+4a^2}}\right)\mathbf{u}_z

Sustituyendo los valores tenemos

\mathrm{sen}\,\alpha_2=\frac{h}{\sqrt{h^2+4b^2}}=\frac{3}{5}         \mathrm{sen}\,\beta_2=\frac{h}{\sqrt{h^2+4a^2}}=\frac{4}{5}

de forma que

\mathbf{B}=4\pi\times10^{-7}\,\frac{\mathrm{T}\cdot\mathrm{m}}{\mathrm{A}}10^4\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{m}}\left(\frac{3}{5}-\frac{4}{5}\right)\mathbf{u}_z=-\frac{\pi}{1250}\mathbf{u}_z\,\mathrm{T}=-2.51\,\mathrm{mT}\,\mathbf{u}_z

5 Aproximación dipolar

Para puntos alejados del imán, éste se ve como un dipolo magnético, con momento dipolar total

\mathbf{m}=\int_\tau \mathbf{M}\,\mathrm{d}\tau = \mathbf{M}_0\tau = \pi(b^2-a^2)h M_0\mathbf{u}_z

Sustituyendo los datos del problema

\mathbf{m}= \pi (16^2-9^2)\,24\times 10^{-9}\times 10^4\,\mathrm{A}\cdot\mathrm{m}^2\mathbf{u}_z=\frac{21\pi}{500}\,\mathrm{A}\cdot\mathrm{m}^2\mathbf{u}_z=0.132\,\mathrm{A}\cdot\mathrm{m}^2\mathbf{u}_z

El campo creado por un dipolo en un punto del eje Z, \mathbf{r}=r\mathbf{u}_z, es

\mathbf{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{3(\mathbf{m}\cdot\mathbf{r})\mathbf{r}-r^2\mathbf{m}}{r^5}=\frac{\mu_0 m\mathbf{u}_z}{2\pi r^3}

que para r = 10 cm da

\mathbf{B}=26.4\,\mu\mathrm{T}\,\mathbf{u}_z

resultando un campo de casi una centésima del anterior. El sentido del campo es el opuesto al del campo en el centro.

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