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Identificación del movimiento Segunda Prueba de Control (G.I.A.)

De Laplace

1 Enunciado

Se tienen los puntos de un sólido rígido, A, B y C, con coordenadas cartesianas A(1,1,0), B(2,2,1) y C(0,1,0). La velocidad en cada uno de los puntos en un instante es


\vec{v}^A = -10\,\vec{\imath} + 10\,\vec{\jmath}
\qquad\qquad
\vec{v}^B = -20\,\vec{\imath} + 20\,\vec{\jmath}
\qquad\qquad
\vec{v}^C = -10\,\vec{\imath}

¿Que tipo de movimiento realiza el sólido en ese instante?

2 Solución

En primer lugar hemos de verificar que el movimiento es posible. Para ello comprobamos que las tres velocidades dadas son equiproyectivas.


\begin{array}{ccc}
\left.
\begin{array}{l}
A(1,1,0) \\ \\ B(2,2,1) \\ \\ C(0,1,0)
\end{array}
\right|
\left.
\begin{array}{l}
\overrightarrow{AB} = \vec{\imath} + \vec{\jmath} + \vec{k}
\\ \\
\overrightarrow{AC} = -\,\vec{\imath} 
\\ \\
\overrightarrow{BC} = -2\,\vec{\imath} - \vec{\jmath} - \vec{k}
\end{array}
\right|
\end{array}
\begin{array}{l}
\vec{v}^A = -10\,\vec{\imath} + 10\,\vec{\jmath} 
\\ \\
\vec{v}^B = -20\,\vec{\imath} + 20\,\vec{\jmath} 
\\ \\
\vec{v}^C = -10\,\vec{\imath} 
\end{array}

Tenemos


\begin{array}{lclcl}
\vec{v}^A\cdot\overrightarrow{AB} = -10+10=0 & \qquad &
\vec{v}^B\cdot\overrightarrow{AB} = -20+20=0 &\qquad &
\mathrm{OK}
\\ &&& \\
\vec{v}^A\cdot\overrightarrow{AC} = 10 & \qquad &
\vec{v}^C\cdot\overrightarrow{AC} = 10 &\qquad &
\mathrm{OK}
\\ &&& \\
\vec{v}^B\cdot\overrightarrow{BC} = 40-20=20 & \qquad &
\vec{v}^C\cdot\overrightarrow{BC} = 20 &\qquad &
\mathrm{OK}
\end{array}

Claramente no es una traslación, pues las velocidades no son iguales. Vamos entonces a calcular la velocidad angular. Para ellos usamos la ecuación del campo de velocidades para relacionar las velocidades en dos pares de puntos.


\vec{v}^B-\vec{v}^A = \vec{\omega}\times\overrightarrow{AB}

Tenemos


\vec{v}^B-\vec{v}^A = -10\,\vec{\imath} + 10\,\vec{\jmath}

y por otro lado


\left|
\begin{array}{ccc}
\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k}
\\ && \\
\omega_x & \omega_y & \omega_z
\\ && \\
1 & 1 & 1
\end{array}
\right| 
=
(\omega_y-\omega_z)\,\vec{\imath}
+
(\omega_z-\omega_x)\,\vec{\jmath}
+
(\omega_x-\omega_y)\,\vec{k}

Igualando las componentes tenemos


\begin{array}{l}
\omega_y-\omega_z = -10 
\\ \\
\omega_z-\omega_x = 10
\\ \\
\omega_x-\omega_y = 0
\end{array}

Ahora usamos los puntos A y C de modo similar


\vec{v}^C-\vec{v}^A = \vec{\omega}\times\overrightarrow{AC}

Tenemos


\vec{v}^C-\vec{v}^A = -10\,\vec{\jmath}

y por otro lado


\left|
\begin{array}{ccc}
\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k}
\\ && \\
\omega_x & \omega_y & \omega_z
\\ && \\
-1 & 0 & 0
\end{array}
\right| 
=
(\omega_y-\omega_z)\,\vec{\imath}
+
(\omega_z-\omega_x)\,\vec{\jmath}
+
(\omega_x-\omega_y)\,\vec{k}

Igualando las componentes tenemos


\begin{array}{l}
 0 = 0
\\ \\
-\omega_z = 10
\\ \\
\omega_y = 0
\end{array}

Es decir, la velocidad angular es


\vec{\omega} = 10\,\vec{k}

Para determinar el tipo de movimiento vemos si el invariante escalar es nulo o no. Tenemos


\vec{\omega}\cdot\vec{v}^C = 0

Por tanto el movimiento es una rotación pura.

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