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Generalización del teorema de Stokes

De Laplace

Contenido

1 Teorema de Stokes

El teorema de Stokes establece que, dada una curva cerrada Γ, la circulación de un campo vectorial \mathbf{F} equivale al flujo de su rotacional a través de una superficie S arbitraria con Γ como borde, y orientada según la regla de la mano derecha

\oint_\Gamma \mathrm{d}\mathbf{r}\cdot\mathbf{F} = \int_S \mathrm{d}\mathbf{S}\cdot(\nabla\times\mathbf{F})

Este teorema es sólo uno de una familia de teoremas de estructura similar.

2 Generalización a un campo escalar

La primera generalización viene de considerar la integral vectorial

\mathbf{I}=\oint_\Gamma \mathrm{d}\mathbf{r}\,\phi

Esta integral no es una circulación, sino que da como resultado un vector, obtenido sumando el valor del campo escalar φ en cada punto de Γ multiplicado por el desplazamiento diferencial a lo largo de la curva.

La pregunta que nos hacemos es si podemos convertir esta integral en una sobre la superficie S apoyada en Γ. Vamos a demostrar que se puede y se cumple la identidad

\mathbf{I}=\oint_\Gamma \mathrm{d}\mathbf{r}\,\phi=\int_S\mathrm{d}\mathbf{S}\times\nabla\phi

Para ver cómo, multiplicamos la integral por un vector constante \mathbf{u}

\mathbf{u}\cdot\mathbf{I}=\mathbf{u}\cdot\oint_\Gamma \mathrm{d}\mathbf{r}\,\phi=\oint_\Gamma \mathrm{d}\mathbf{r}\cdot\mathbf{u}\phi

El vector puede entrar en la integral por ser constante. Ahora sí tenemos una circulación, a la que se puede aplicar el teorema de Stokes

\mathbf{u}\cdot\mathbf{I}=\oint_\Gamma \mathrm{d}\mathbf{r}\cdot(\mathbf{u}\phi)=\int_S\mathrm{d}\mathbf{S}\cdot\nabla\times(\mathbf{u}\phi)

Desarrollando el rotacional del producto de un escalar por un vector

\nabla\times(\mathbf{u}\phi)=\overbrace{(\nabla\times\mathbf{u})}^{=0}\phi+(\nabla\phi)\times\mathbf{u} = (\nabla\phi)\times\mathbf{u}

Sustituyendo en la expresión anterior

\mathbf{u}\cdot\mathbf{I}=\int_S\mathrm{d}\mathbf{S}\cdot(\nabla\phi\times\mathbf{u})

Aplicando ahora la propiedad del producto mixto

\mathbf{A}\cdot(\mathbf{B}\times\mathbf{C})=(\mathbf{A}\times\mathbf{B})\cdot\mathbf{C}

nos queda

\mathbf{u}\cdot\mathbf{I}=\int_S(\mathrm{d}\mathbf{S}\times\nabla\phi)\cdot\mathbf{u}

Usando de nuevo el que \mathbf{u} es un vector constante

\mathbf{u}\cdot\mathbf{I}=\mathbf{u}\cdot\left(\int_S\mathrm{d}\mathbf{S}\times\nabla\phi\right)

y, puesto que esta identidad se verifica sea cual sea el vector \mathbf{u}, debe cumplirse que, finalmente,

\oint_\Gamma \mathrm{d}\mathbf{r}\,\phi=\int_S\mathrm{d}\mathbf{S}\times\nabla\phi

3 Generalización a un producto vectorial

Nos preguntamos ahora por la integral también vectorial

\mathbf{I}=\oint_\Gamma \mathrm{d}\mathbf{r}\times\mathbf{F}

Vamos a demostrar que también puede reducirse a una integral sobre S. En este caso

\mathbf{I}=\oint_\Gamma \mathrm{d}\mathbf{r}\times\mathbf{F}=\int_S(\mathrm{d}\mathbf{S}\times\nabla)\times\mathbf{F}

El procedimiento es similar al anterior. Multiplicamos la integral por un vector constante \mathbf{u}

\mathbf{u}\cdot\mathbf{I}=\mathbf{u}\cdot\oint_\Gamma \mathrm{d}\mathbf{r}\times\mathbf{F}=\oint_\Gamma (\mathrm{d}\mathbf{r}\times\mathbf{F}\cdot\mathbf{u}

Aplicando de nuevo la propiedad del producto mixto

\mathbf{u}\cdot\mathbf{I}=\oint_\Gamma \mathrm{d}\mathbf{r}\cdot(\mathbf{F}\times\mathbf{u})

Ya tenemos de nuevo una circulación, a la que se puede aplicar el teorema de Stokes

\mathbf{u}\cdot\mathbf{I}=\int_S\mathrm{d}\mathbf{S}\cdot\nabla\times(\mathbf{F}\times\mathbf{u})

Aplicamos ahora dos veces la propiedad del producto mixto

\mathbf{u}\cdot\mathbf{I}=\int_S\mathrm{d}\mathbf{S}\cdot\nabla\times(\mathbf{F}\times\mathbf{u})=\int_S\left(\mathrm{d}\mathbf{S}\times\nabla\right)\cdot(\mathbf{F}\times\mathbf{u})=\int_S\left((\mathrm{d}\mathbf{S}\times\nabla)\times\mathbf{F}\right)\cdot\mathbf{u}

Aquí también hemos hecho uso de que \mathbf{u} es constante y por tanto puede salir de las derivadas. También puede salir de las integrales y nos queda

\mathbf{u}\cdot\mathbf{I}=\mathbf{u}\cdot\left(\int_S(\mathrm{d}\mathbf{S}\times\nabla)\times\mathbf{F}\right)

y, puesto que se debe cumplir para todo vector \mathbf{u},

\oint_\Gamma \mathrm{d}\mathbf{r}\times\mathbf{F}=\int_S(\mathrm{d}\mathbf{S}\times\nabla)\times\mathbf{F}

4 Expresión general

Si comparamos el teorema de Stokes, (escrito de una forma ligeramente diferente, con ayuda, de nuevo, de la propiedad del producto mixto), junto con los otros dos teoremas que hemos demostrado, resulta una estructura común


\begin{matrix}
\displaystyle\oint_\Gamma \mathrm{d}\mathbf{r}\cdot\mathbf{F} & = & \displaystyle\int_S (\mathrm{d}\mathbf{S}\times\nabla)\cdot\mathbf{F} \\
& & \\
\displaystyle\oint_\Gamma \mathrm{d}\mathbf{r}\,\phi & = & \displaystyle\int_S\mathrm{d}\mathbf{S}\times\nabla\phi \\
& & \\
\displaystyle\oint_\Gamma \mathrm{d}\mathbf{r}\times\mathbf{F} & = & \displaystyle\int_S(\mathrm{d}\mathbf{S}\times\nabla)\times\mathbf{F}\end{matrix}

Vemos que los tres pueden ponerse en la forma

\oint_\Gamma \mathrm{d}\mathbf{r}\star A = \int_S (\mathrm{d}\mathbf{S}\times\nabla)\star A

donde \star representa cualquie tipo de producto (por un escalar, escalar, vectorial u otros que no hemos visto) y A es un campo cualquiera, escalar, vectorial o tensorial.

Teniendo en cuenta que \mathrm{d}\mathbf{S}=\mathrm{d}S\,\mathbf{n}, en la integral de superficie aparece el operador \mathbf{n}\times\nabla, que puede desarrollarse empleando coordenadas cartesianas

\mathbf{n}\times\nabla = \left|\begin{matrix} \mathbf{u}_x & \mathbf{u}_y & \mathbf{u}_z \\  n_x & n_y & n_z \\ & & \\ \displaystyle \frac{\partial\ }{\partial x} & \displaystyle \frac{\partial\ }{\partial y} & \displaystyle \frac{\partial\ }{\partial z} \end{matrix}\right|= \mathbf{u}_x\left(n_y\frac{\partial\ }{\partial z}-n_z\frac{\partial\ }{\partial y}\right)+\mathbf{u}_y\left(n_z\frac{\partial\ }{\partial x}-n_x\frac{\partial\ }{\partial z}\right)+\mathbf{u}_z\left(n_x\frac{\partial\ }{\partial y}-n_y\frac{\partial\ }{\partial x}\right)

o las correspondientes en otros sistemas de coordenadas. En particular, si la integral se hace sobre una superficie coordenada, dos de las componentes de \mathbf{n} se anulan, lo que simplifica notablemente la expresión.

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