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Generador

De Laplace

Contenido

1 Introducción

Consideremos un circuito cerrado, por el cual fluye una corriente estacionaria. La potencia desarrollada por unidad de volumen por un campo eléctrico es de la forma \mathbf{J}{\cdot}\mathbf{E}, siendo el balance neto

P=\int \mathbf{J}{\cdot}\mathbf{E}\,\mathrm{d}\tau

En el estado estacionario, la energía es una constante y esta integral debe ser nula. En las regiones donde hay corrientes óhmicas, esta potencia es siempre positiva, por lo que el sistema pierde energía (como sabemos, en forma de calor). Descomponiendo la integral en las regiones óhmicas y en el resto tendremos que

\int_\mathrm{resto}\!\!\!\!\!\!\mathbf{J}{\cdot}\mathbf{E}\,\mathrm{d}\tau=-\int \sigma E^2\,\mathrm{d}\tau < 0

Este balance implica que debe haber algún punto a lo largo del circuito en el que la densidad de corriente vaya en la dirección opuesta al campo eléctrico. Es estos puntos, el movimiento de las cargas no será producido por el propio campo electrostático, sino por algún otro agente de origen no eléctrico o, si es eléctrico, no irrotacional, que mueva las cargas y aporte la energía perdida. Un campo eléctrico irrotacional es conservativo y no puede dar cuenta de estas pérdidas.

Otra forma de llegar a la misma conclusión es notar que, en una situación estacionaria, el campo eléctrico es irrotacional y, por tanto, sus líneas de campo son abiertas. La densidad de corriente, en cambio, es solenoidal y (para un circuito cerrado) posee líneas de campo cerradas. Se deduce que en algún punto a lo largo del circuito, deben tener orientaciones contrarias.

2 Definición de generador

Un generador es entonces un dispositivo que puede producir una corriente eléctrica ejerciendo una fuerza no electrostática sobre las cargas eléctricas. Debe ser no electrostática pues un campo electrostático no puede producir trabajo neto sobre una curva cerrada y por tanto no puede mantener una corriente en un circuito cerrado. Como ejemplos de estas fuerzas tenemos fuerzas magnéticas, químicas o mecánicas, e incluso eléctricas (no estáticas).

Esta fuerza mueve a las cargas situadas en el interior del generador, separándolas y creando la aparición de un polo positivo (o ánodo) y uno negativo (o cátodo).

La naturaleza de las fuerzas no eléctricas sobre las cargas eléctricas dentro de los generadores puede ser muy diversa. Aquí es suficiente para nuestro propósito explicar cualitativamente los tres tipos más comunes de estas fuerzas.

Generador Van de Graaff en el museo de la Ciencia de Boston
Fuerzas mecánicas
El ejemplo más sencillo es el constituido por las fuerzas mecánicas, en las que se basa el llamado generador de Van de Graaf. Éste consiste en una banda de goma aislante que se carga por fricción o por precipitación de cargas. La banda transporta la carga fijada a su superficie hasta una cúpula metálica conductora. De esta forma se produce una separación de la carga. Si esta cúpula se uniera por algún conductor a tierra, se produciría una corriente óhmica en sentido contrario al arrastre por la banda de goma. Este mismo principio explica la electrización de los jugadores de baloncesto en un día seco.
Pilas químicas
Históricamente, el primer conjunto de fuentes de fuerzas electromotrices, capaces de producir corrientes de suficiente intensidad, y por un período significativo de tiempo, fueron las células químicas. Básicamente consisten en lo siguiente: consideremos un cuerpo metálico inmerso en una solución conductora del mismo componente químico. El cuerpo metálico se denomina electrodo y la solución electrolito. En una delgada capa de contacto entre electrodo y electrolito, actúan sobre las cargas eléctricas ciertas fuerzas. Estas fuerzas tienen diferente magnitud e incluso diferentes direcciones para distintos pares de electrodos y electrolitos. Por tanto, si dos electrodos de diferente material se sumergen en el mismo electrolito, estas fuerzas actuarán desde un electrodo hacia el electrolito, y desde el electrolito hacia el otro electrodo. Si los electrodos están conectados por conductores metálicos, actuarán como una bomba hidráulica que empuja las cargas eléctricas en la misma dirección.
Fuerzas magnéticas
Una carga en movimiento en el seno de un campo magnético experimenta una fuerza magnética dada por la ley de Lorentz. Un ejemplo de aplicación de fuerzas magnéticas para producir corrientes continuas lo constituye el geenrador homopolar o disco de Faraday.
Inducción
Un campo magnético variable en el tiempo, de acuerdo con la ley de Faraday produce un campo eléctrico no irrotacional, capaz de mantener cargas en movimiento a lo largo de un circuito. En este principio se basan la mayoría de los generadores industriales, como alternadores y dinamos.

En conclusión, sobre las cargas eléctricas libres actúan, en cualquier punto, simultáneamente fuerzas eléctricas y fuerzas no eléctricas. Las primeras son debidas al campo eléctrico originado por la distribución de cargas, pero las últimas no son producidas por dichas cargas.

Las fuerzas no eléctricas son llamadas usualmente fuerzas externas, de forma que se verifica, para cada una de las cargas,

\mathbf{F}_\mathrm{total} = q \mathbf{E} + \mathbf{F}_\mathrm{ext}

Ahora bien, \mathbf{F}_\mathrm{ext} puede representarse como el producto de q por un cierto campo efectivo \mathbf{E'}. Hay que hacer hincapié en que \mathbf{E}' no define ningún campo electrostático, puesto que no es debido a cargas eléctricas estacionarias. De ahí,

\mathbf{F}_\mathrm{total} = q (\mathbf{E} + \mathbf{E}')

Igualmente se tendrá, para la densidad de corriente, si es aplicable la ley de Ohm,

\mathbf{J}=\sigma(\mathbf{E}+\mathbf{E}')

El campo eléctrico \mathbf{E}' existe únicamente en el interior de las fuentes o generadores, mientras que el campo electrostático real \mathbf{E}, debido a la distribución de cargas, existe dentro de las fuentes y fuera de ellas. Donde existe, el campo efectivo \mathbf{E}' debe ir en dirección opuesta a \mathbf{E}.

3 Definición de fuerza electromotriz

La acción neta de las fuerzas no electrostáticas que actúan en los generadores se mide con la fuerza electromotriz, cuya unidad es el voltio y definida como

\mathcal{E} = \oint \frac{\mathbf{F}}{q}{\cdot}\mathrm{d}\mathbf{r} = \oint (\mathbf{E}+\mathbf{E}'){\cdot}\mathrm{d}\mathbf{r}

esto es, la integral a lo largo de una curva cerrada de la fuerza total por unidad de carga. En términos físicos, representa el trabajo por unidad de carga para hacer que una carga de prueba diera una vuelta completa al circuito.

Esta fuerza total incluye al campo electrostático \mathbf{E} como al campo efectivo \mathbf{E}'. Sin embargo, dado que el campo electrostático es conservativo, se cumple

\mathcal{E} = \oint (\mathbf{E}+\mathbf{E}'){\cdot}\mathrm{d}\mathbf{r}=\overbrace{\oint \mathbf{E}{\cdot}\mathrm{d}\mathbf{r}}^{=0}+\oint \mathbf{E}'{\cdot}\mathrm{d}\mathbf{r}=\oint \mathbf{E}'{\cdot}\mathrm{d}\mathbf{r}

es decir, el valor neto de la fuerza electromotriz depende solo de la fuerza externa no electrostática que actúa sobre las cargas.

4 Relación con el voltaje

Dado que la fuerza electromotriz es un voltaje, nos preguntamos popr su relación con la diferencia de potencial entre los polos del generador

\Delta V = V_P-V_N = \int_P^N \mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}

que es la cantidad que se mide desde el exterior con un voltímetro. En lo que sigue siempre consideramos ΔV como la diferencia de potencial entre el polo positivo y el negativo.

4.1 En circuito abierto

Supongamos un generador en circuito abierto, esto es, no hay nada conectado a sus polos, y no hay corriente pasando por su interior.

En este caso la fuerza externa separa a las cargas, apareciendo una densidad de carga positiva en el ánodo y negativa en el cátodo. El proceso de acumulación se detiene cuando la fuerza electrostática debido a esta densidad de carga anula completamente la acción de la fuerza externa, de manera que dentro del generador

\mathbf{F}=q(\mathbf{E}+\mathbf{E}')=\mathbf{0}\,   \Rightarrow   \mathbf{E}+\mathbf{E}'

Fuera del generador hay campo electrostático (que se extiende a todo el espacio, no solo al interior del generador, pero la fuerza no electrostática es nula.

En este caso podemos calcular la fuerza electromotriz a lo largo de una curva cerrada Γ que pasa por el interior entrando por el polo negativo y saliendo por el positivo, y por el exterior sigue un camino arbitrario de P a N. En particular, si tenemos un voltímetro conectado a los bornes, con el polo positivo del voltímetro conectado al polo positivo del generador, tomamos el camino que pasa por el interior del voltímetro. Resulta

\mathcal{E} = \oint(\mathbf{E}+\mathbf{E}'){\cdot}\mathrm{d}\mathbf{r} = \int_{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\mathrm{ext}\ P}^N (\mathbf{E}+\overbrace{\mathbf{E}'}^{=\mathbf{0}}){\cdot}\mathrm{d}\mathbf{r} + \int_{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\mathrm{int}\ N}^P (\overbrace{\mathbf{E}+\mathbf{E}'}^{=\mathbf{0}}){\cdot}\mathrm{d}\mathbf{r} = \int_{P}^N \mathbf{E}{\cdot}\mathrm{d}\mathbf{r} =V_P-V_N=\Delta V

esto es, la fuerza electromotriz coincide con la diferencia de potencial entre los polos en circuito abierto. Esto proporciona un procedimiento de medida de la f.e.m. Basta con emplear un voltímetro conectándolo a los polos del generador, sin que haya corriente circulando por el generador.

4.2 En circuito cerrado

Cuando se cierra el circuito, parte de la carga del polo positivo fluye hacia el negativo (y viceversa) a través de la conexión 8que, puede ser una resistencia, un motor, o cualquier otro elemento o elementos).

Al haber una cierta recombinación de carga, el campo electrostático se ve reducido y ya no llega a compensar exactamente a la fuerza no electrostática, de forma que ahora se tiene, dentro del generador

\mathbf{E}+\mathbf{E}'\neq\mathbf{0}\,

En primera aproximación, podemos admitir que esta suma será una cantidad proporcional a la corriente que pasa por el generador. Si no hay corriente (circuito abierto), es nula, y si sí la hay, cuanta más corriente, más recombinación de carga y menor campo eléctrico.

\mathbf{E}+\mathbf{E}'\propto I\,

Esta relación de proporcionalidad deja de ser cierta cuando la corriente que pasa por el generador es muy intensa (lo que ocurre en cortocircuito).

Si colocamos de nuevo un voltímetro (sin desconectar el generador del circuito al que está alimentando, y volvemos a calcular la f.e.m. a lo largo de una curva que pasa por la fuente y el voltímetro obtenemos

\mathcal{E} = \oint(\mathbf{E}+\mathbf{E}'){\cdot}\mathrm{d}\mathbf{r} = \int_{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\mathrm{ext}\ P}^N (\mathbf{E}+\overbrace{\mathbf{E}'}^{=\mathbf{0}}){\cdot}\mathrm{d}\mathbf{r} + \int_{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\mathrm{int}\ N}^P (\overbrace{\mathbf{E}+\mathbf{E}'}^{\propto I}){\cdot}\mathrm{d}\mathbf{r} =\Delta V + Ir

o, equivalentemente,

\Delta V = \mathcal{E}-Ir
Resistencia interna
La cantidad r que aparece en la ecuación anterior es la resistencia interna del generador. Esta cantidad, que se mide en ohmios, no representa en general, una resistencia óhmica (esto es, debida a los choques con moléculas), ya que en el interior de un generador no se cumple en general la ley de Ohm, ni para el campo electrostático ni para la suma \mathbf{E}+\mathbf{E}'. Lo que mide r es la proporcionalidad entre esta suma y la corriente que pasa por el generador (y que puede deberse a efectos mecánicos, magnéticos o químicos). No obstante, dada su analogía formal con la ley de Ohm, no hay problema en tratar a la resistencia interna como una más del circuito.

Por tanto, en circuito cerrado, la d.d.p. entre los polos es igual a la fuerza electromotriz (medible en circuito abierto, según indicamos) menos la caída de tensión en el propio generador.

5 Potencia de un generador

Si un generador realiza un trabajo \mathcal{E} por cada carga que recorre el circuito completo y este trabajo se realiza solo dentro del generador, el trabajo realizado por para mover una carga dq que atraviesa el generador será

\mathrm{d}W_g = \mathcal{E}\,\mathrm{d}q

Si esta carga entra en el generador en un intervalo dt, el trabajo realizado en la unidad de tiempo, esto es, la potencia, será

P_g = \frac{\mathrm{d}W}{\mathrm{d}t}=\mathcal{E}\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}=\mathcal{E}I

Esta es la potencia desarrollada por el generador, pero no toda ella se consume en el circuito. Sustituyendo la relación entre la fuerza electromotriz, la diferencia de potencial y la corriente obtenemos aplicando la expresión de la potencia para un sistema de electrodos

 P=\sum_iI_iV_i=I_PV_P+I_NV_N = I(V_P-V_N) = I\,\Delta V = I\mathcal{E} - I^2r\,

El primer miembro término si es la potencia entregada al circuito, pero vemos que a la potencia desarrollada por el generador hay que descontar el término I2r que corresponde al consumo de energía en el propio generador.

6 Modelo circuital de generador

6.1 Fuente de tensión

De la relación

 \mathcal{E}=Ir+\Delta V\,

podemos interpretar un generador real como asociación de dos elementos ideales puestos en serie:

  • Una fuente de tensión ideal que proporciona una tensión V_0=\mathcal{E} en todo momento y sin resistencia interna.
  • Una resistencia interna óhmica r.

Hay que recordar que ninguno de estos dos elementos existe por separado. Conjuntamente constituyen el modelo circuital de un elemento real.

La resistencia interna puede contabilizarse entre las demás del circuito. Así, supongamos que entre los bornes del generador se encuentra una resistencia R. De acuerdo con la ley de Ohm se cumplirá entre los extremos de la resistencia

V_P-V_N=IR\,

Igualando esto a la d.d.p. entre los polos del generador y despejando obtenemos la intensidad

I = \frac{\mathcal{E}}{R+r}

que sería la corriente si la fuente fuera ideal y en el exterior hubiera una asociación en serie de la resistencia externa y la interna.

Para este mismo caso la tensión a la salida del generador sería

\Delta V = \frac{\mathcal{E}R}{R+r}

que es proporcional a la fuerza electromotriz, pero no igual a ella (salvo en el caso ideal).

6.2 Fuente de intensidad

La relación entre la corriente, la tensión y la f.e.m. puede reescribirse en la forma

I = \frac{\mathcal{E}}{r}-\frac{\Delta V}{r}

Llamando

I_0=\frac{\mathcal{E}}{r}        g=\frac{1}{r}

nos queda

I= I_0-g\,\Delta V = I_0+g\,(V_N-V_P)\,

que podemos leer como la asociación en paralelo de dos elementos:

  • Una fuente de intensidad ideal, que proporciona una corriente fija I0 en todo instante.
  • Una conductancia interna g.

Así pues, podemos definir una fuente de intensidad ideal como un generador real que tiene una resistencia interna muy grande (idealmente infinita) pero que también tiene una f.e.m. muy grande. Matemáticamente

r\to\infty\qquad \mathcal{E}\to\infty\qquad\qquad \frac{\mathcal{E}}{r}\to I_0\ \mbox{finito}

En términos de este modelo la potencia entregada al circuito es

I\,\Delta V = I_0\,\Delta V-g(\Delta V)^2\,

que se interpreta como que una fuente de intensidad real desarrolla una potencia

P_g=I_0\,\Delta V

pero consume internamente una potencia gV)2.

7 Ejemplos

7.1 Generador de Van de Graaf

7.2 Espira móvil

El modelo más sencillo de generador magnético es el formado por un conductor que se mueve en el seno de un campo magnético. En este caso, sobre cada carga del conductor se ejerce una fuerza magnética

\mathbf{F}_m=q(\mathbf{v}\times\mathbf{B})\,

de forma que la fuerza total sobre cada carga la da la ley de Lorentz

\mathbf{F}=q(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times\mathbf{B})\,

En el caso de campos estacionarios el término \mathbf{v}\times\mathbf{B} desempeña el papel de campo efectivo \mathbf{E}' y es el responsable de que se produzca una corriente si la espira es cerrada

7.2.1 En circuito abierto

Artículo completo: Barra que se mueve en un campo uniforme

Una barra que se mueve en el interior de un campo magnético uniforme sería el caso más simple de generador en circuito abierto. El campo efectivo sería

\mathbf{E}'=\mathbf{v}\times\mathbf{B}=(v\mathbf{u}_x)\times(B_0\mathbf{u}_z)=-vB_0\mathbf{u}_y

Esta fuerza externa empuja a las cargas positivas y negativas en sentidos opuestos, de forma que aparece un polo positivo en el extremo inferior y uno negativo en el superior. La separación de carga se detiene cuando se alcanza el equilibrio en la barra

\mathbf{E}+\mathbf{v}\times\mathbf{B}=\mathbf{0}\,

de forma que el campo eléctrico en los puntos de la barra es

\mathbf{E}=-\mathbf{v}\times\mathbf{B}=vB_0\mathbf{u}_y

y la f.e.m., igual a la diferencia de potencial entre los extremos de la barra en circuito abierto

\mathcal{E}=\Delta V = V_P-V_N =\int_P^N \mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}=vaB_0

7.3 En circuito cerrado=

Artículo completo: Frenado de espira cuadrada

7.4 Generador de corriente alterna=

Artículo completo: Espira cuadrada rotatoria en un campo magnético

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