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Fuerzas magnéticas (GIE)

De Laplace

Contenido

1 Fuerza de Lorentz

1.1 Expresión

Según se ve en el tema de electrostática, la fuerza eléctrica sobre una carga puntual en reposo viene dada por

\vec{F}=q\vec{E}(\vec{r})

Sin embargo, si dicha carga se encuentra en movimiento, la experiencia muestra que se ve sometida a una fuerza adicional. Esta fuerza, que llamaremos fuerza magnética, verifica que es:

  • Proporcional a la carga
  • Proporcional al módulo de su velocidad
  • Perpendicular a la velocidad

Con estas condiciones, la fuerza magnética debe ser de la forma

\vec{F}_m=q\vec{v}\times\vec{B}(\vec{r})

siendo \vec{B} un nuevo campo, conocido como campo magnético. La fuerza total sobre una carga puntual es entonces

\vec{F}=q\left(\vec{E}(\vec{r})+\vec{v}\times\vec{B}(\vec{r})\right)

Esta expresión, que es válida en general, tanto para situaciones estáticas como dinámicas, se denomina Fuerza de Lorentz.

1.2 Trabajo magnético nulo

Una propiedad característica de la fuerza magnética sobre una carga puntual es que no realiza trabajo, por ser siempre normal a la velocidad.

W = \int \vec{F}_m\cdot\mathrm{d}\vec{r}=\int(q\,\vec{v}\times\vec{B})\cdot(\vec{v}\,\mathrm{d}t)= q\int\vec{v}\cdot(\vec{v}\times\vec{B})\,\mathrm{d}t)=0

y por tanto permanece constante la energía cinética de una carga que se mueve en un campo magnético.

En términos de las componentes intrínsecas de la aceleración, tenemos que la fuerza es siempre normal a la velocidad y por tanto la aceleración tangencial es siempre nula

\vec{F}_m=q\,\vec{v}\times\vec{B}\perp\vec{v}   \Rightarrow   a_t=0\,

Si la aceleración tangencial es nula, la rapidez (módulo de la velocidad) permanece constante

0=a_t=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}   \Rightarrow   v=|\vec{v}|=\mathrm{cte}

Una rapidez constante implica una energía cinética constante.

Esto quiere decir que una carga puntual que se mueve en el seno de un campo magnético podrá cambiar de dirección de la velocidad (esto es, su movimiento sí será acelerado), pero no se moverá ni más rápido ni más lento en ningún momento.

Hay que destacar que esta conclusión, que el campo magnético no realiza trabajo, es sólo cierta para una carga puntual sometida a la fuerza de Lorentz. Si tenemos una corriente eléctrica (formada por millones de partículas en movimiento) o un dipolo magnético (que también experimenta fuerzas magnéticas) no es cierto que la energía cinética permanezca constante. De hecho, los frenos magnéticos se basan en la disminución de la energía cinética por acción de un campo magnético.

2 Fuerza sobre una corriente lineal

En la naturaleza, raramente se presentan cargas puntuales individualmente. Lo habitual es que formen distribuciones de carga, con miles de millones de ellas en movimientos muy variados. En ese caso, la fuerza magnética sobre una distribución será la resultante de las fuerzas individuales

\vec{F}=\sum_i q_i\left(\vec{v}_i\times\vec{B}(\vec{r}_i)\right)

pero, como en otras ocasiones, este sumatorio no es nada útil, pues no conocemos, ni cuantas cargas hay, ni sus posiciones y velocidades. No obstante, podemos emplear esta expresión para deducir a partir de ellas expresiones más prácticas.

Cuando tenemos una corriente eléctrica, existe un movimiento neto de cargas, con una velocidad promedio en la dirección de la corriente. Si ésta se encuentra inmersa en un campo magnético, aparece una fuerza neta sobre la corriente, que sí puede ser medible.

2.1 Rectilínea

Por simplificar el cálculo, supongamos un cable rectilíneo de longitud l, y sección transversal S por el cual circula una intensidad de corriente I y que este segmento se encuentra sumergido en un campo magnético uniforme \vec{B}_0. Entonces, en promedio, tenemos un flujo de cargas positivas avanzando a lo largo del hilo. Cada una de ellas experimenta una fuerza magnética perpendicular al campo y a la velocidad, es decir, perpendicular a la corriente.

El valor de la fuerza neta será el producto de la cantidad de carga en movimiento, por la velocidad promedio y por el campo magnético. Si consideramos un solo tipo de portadores de carga Ze (por ejemplo, para electrones, sería Z = − 1), tales que hay N cargas por unidad de volumen, la carga total es

Q= N(Ze)Sl\,

y la fuerza neta

\vec{F} = (N(Ze)Sl) \vec{v}\times \vec{B}

pero

I = JS = N(Ze)vS\,

así que podemos expresar esta fuerza como

\vec{F} = I(\Delta \vec{r})\times\vec{B}

siendo \Delta\vec{r} el vector que va del inicio al final del segmento.

En el caso particular de que la corriente sea perpendicular al campo, si suponemos que el campo va en la dirección del eje Z, y la velocidad en la del eje Y nos queda

\vec{B}_0=B_0\vec{k}\qquad\qquad \Delta\vec{r}=l\vec{\jmath}\qquad\Rightarrow\qquad \vec{F}=IlB_0\vec{\jmath}\times\vec{k}=IlB_0\vec{\imath}

2.2 De forma arbitraria

El cálculo anterior es demasiado simple para una situación general, en la que podemos tener una distribución cualquiera de corriente en un hilo de cualquier forma. Más en general, la fuerza sobre un elemento de corriente de longitud diferencial \mathrm{d}\vec{r} es

\mathrm{d}\vec{F}=I\,\mathrm{d}\vec{r}\times\vec{B}

siendo la fuerza total la suma de todos los diferenciales

\vec{F}=I\int \mathrm{d}\vec{r}\times\vec{B}

donde podemos sacar la intensidad de la integral, porque es constante a lo largo del cable.

3 Fuerza y par sobre una espira

3.1 Fuerza

Si tenemos una espira cerrada (un circuito) sumergida en un campo magnético, la fuerza sobre ella la da la integral cerrada

\vec{F}=I\oint \mathrm{d}\vec{r}\times\vec{B}

En general, esta integral no es nula, ya que el campo magnético depende de la posición.

En el caso particular de un campo magnético uniforme, \vec{B}=\vec{B}_0, el campo puede salir de la integral, aunque conservando el orden de los factores, por tratarse de un producto vectorial

\vec{F}=I\oint \mathrm{d}\vec{r}\times\vec{B}_0=I\left(\oint \mathrm{d}\vec{r}\right)\times\vec{B}_0=\vec{0}

La fuerza se anula porque la integral sobre una curva cerrada de una diferencial vale 0 (es igual a la diferencia entre su valor final e inicial, que son el mismo).

El que la fuerza neta sea nula no quiere decir que no se produzca acción alguna sobre la espira. De acuerdo con los teoremas para un sistema de partícula, esta anulación lo que implica es que el centro de masas de la espira no se acelera. Si inicialmente estaba en reposo, permanece en él.

Consideremos una espira cuadrada situada en un plano perpendicular a un campo magnético uniforme. Dependiendo del sentido de la corriente, sobre cada lada de la espira aparece una fuerza que va hacia el exterior o hacia el interior de la espira. Por tanto, aunque su centro no tiende a moverse, la espira tiende a deformarse, estirándose o encogiéndose.

3.2 Par

Un caso particular importante, por su aplicación en máquinas eléctricas es el del par producido por un campo magnético sobre una espira de corriente.

Como modelo sencillo, consideremos el caso de una espira rectangular de lados a y b, inmersa en un campo magnético uniforme, similar al producido entre los polos de un imán. La espira no es perpendicular al campo magnético, sino que está inclinada respecto a él.

Para medir esta inclinación tomamos el ángulo α formado por el campo magnético y el vector normal al plano de la espira \vec{n}, es decir que cuando α = 0 la espira es completamente ortogonal al campo y si α = π / 2 el campo magnético es paralelo al plano de la espira.

Sobre cada uno de los lados de la espira aparece una fuerza, que podemos situar en el centro de cada lado. La suma de estas cuatro fuerzas es nula. Sin embargo, sus direcciones no son coincidentes sino que se hallan sobre rectas paralelas. Por tanto aparece un par de fuerzas que tiende a rotar la espira.

Archivo:par-magnetico.png

Eso se ve más claro considerando un diagrama en el que la espira se encuentra de perfil, en el plano del campo magnético. Ahí se ve que la fuerza sobre el lado superior y sobre el inferior son iguales y opuestas, pero separadas una distancia que depende del tamaño de la espira y de su inclinación. Además de estas dos fuerzas hay fuerzas sobre los lados inclinados que, estas sí, se hallan sobre la misma recta, por lo que se anulan mutuamente.

El momento resultante puede calcularse según la fórmula general

\vec{M}_O=\sum_i\vec{r}_i\times\vec{F}_i

Su módulo es igual al producto de la fuerza del par multiplicado por la distancia entre las rectas soporte

|\vec{M}_O| = |\vec{F}_1|d

La fuerza sobre uno de los lados tiene por módulo

|\vec{F}_1| = IbB_0

y la distancia entre las rectas de acción de las fuerzas

d = a\,\mathrm{sen}(\alpha)

lo que da el módulo del momento del par de fuerzas

|\vec{M}_O| = IabB_0\,\mathrm{sen}(\alpha)

En forma vectorial, el vector momento puede escribirse como el producto vectorial

\vec{M}_O = \vec{m}\times\vec{B}

donde definimos el momento magnético (o momento dipolar magnético) de la espira como

\vec{m}=IS\vec{n}\qquad\qquad S=ab

siendo \vec{n} el vector normal al plano de la espira, orientado según la regla de la mano derecha respecto a la corriente.

El efecto de este par es alinear en dirección y sentido el vector momento magnético con el campo magnético aplicado.

Este es el principio subyacente a muchos motores eléctricos, en que mediante un campo magnético se hace girar una pieza. Para mantener una rotación constante, se hace cambiar el sentido del campo aplicado, de manera que el momento tenga que perseguir al campo continuadamente.

También es el principio de las brújulas. Un pequeño imán se comporta como un dipolo con momento magnético \vec{m}, con lo que al situarse en el interior de un campo magnético, se alinea con éste, marcando la dirección y en el sentido en que apunta.

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