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Fuerzas de interacción y aceleraciones en sistema de tres partículas, F1 GIA (Ene, 2018)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Tres partículas PO, P1 y P2, de masas conocidas con valores m0, m1 y m2, respectivamente, interaccionan entre sí de manera que la fuerza \vec{F}_{ij} que la partícula Pj ejerce sobre la Pi, tiene la dirección del segmento \overrightarrow{P_jP_i} (es decir, \vec{F}_{ij}\parallel\pm\overrightarrow{P_jP_i}). En un determinado instante, las partículas ocupan los vértices de un triángulo equilátero; se adopta un sistema de referencia cartesiano OXYZ tal que dicho triángulo está contenido en plano OXY, con el segmento \overrightarrow{P_2P_1} paralelo al eje OX, y la partícula P0 en el punto O. En dicho instante, las aceleraciones de las partículas P1 y P2 tiene igual dirección y sentido, siendo paralelas y opuestas al eje OY; es decir \vec{a}_1=-a_1\!\ \vec{\jmath}\ y \ \vec{a}_2=-a_2\!\ \vec{\jmath}, respectivamente, con a_1\mathrm{,}\, a_2>0
  1. Determine qué relación verifican los módulos de dichas aceleraciones, |\vec{a}_1|/|\vec{a}_2|, en función de las masas de las partículas.
  2. Determine la dirección y el sentido de la aceleración \vec{a}_0 de la partícula P0. ¿Cuánto vale su módulo en relación con los módulos de las aceleraciones de P1 y P2?

2 Solución

Para resolver este ejercicio sólo es necesario aplicar las leyes de Dinámica para el punto material. La segunda ley de Newton y el principio de superposición establecen que la aceleración instantánea \vec{a}_i de la partícula Pi multiplicada por su masa inercial, es igual a la resultante de \vec{F}_i de las fuerzas que actúan en dicho instante sobre la partícula. Además, el principio de acción y reacción establece que las fuerzas de interacción entre cada par de partículas son opuestas; además, en el ejercicio propuesto, estas fuerzas son colineales con la recta que pasa por cada par de puntos:

m_i\!\ \vec{a}_i=\vec{F}_{ij}+\vec{F}_{ik}=\vec{F}_i\ \mathrm{,}\quad\mathrm{con}\;\;\, \vec{F}_{ij}=-\vec{F}_{ji}\;\|\; \pm \overrightarrow{P_iP_j} \mathrm{,}\quad\mathrm{para}\;\;\,i,j,k=0,1,2


Obsérvese que, a partir de las anteriores ecuaciones vectoriales y de que las direcciones y sentidos de las aceleraciones de las partículas P1 y P2 son conocidas, pueden determinarse también los sentidos de las fuerzas de interacción entre partículas (véase la correspondiente figura). Se tendrá, por tanto:
\begin{array}{l}\displaystyle \vec{F}_{12}= F_{12}\!\ \vec{\imath}=-\vec{F}_{21}\, \|\, \pm \overrightarrow{P_1P}_2\mathrm{,}\quad\mathrm{con}\;\;\,F_{12}>0\\ \\ \displaystyle \vec{F}_{10}= -F_{10}\!\ \left( \mathrm{cos}\!\ \frac{\pi}{3}\  \vec{\imath}\!\ +\!\  \mathrm{sen}\!\ \frac{\pi}{3}\ \vec{\jmath}\right)=-\vec{F}_{01}\, \|\, \pm \overrightarrow{P_0P}_1\mathrm{,}\quad\mathrm{con}\;\;\,F_{10}>0\\ \\
\displaystyle \vec{F}_{20}= F_{20}\!\ \left( \mathrm{cos}\!\ \frac{\pi}{3}\  \vec{\imath}\!\ -\!\  \mathrm{sen}\!\ \frac{\pi}{3}\ \vec{\jmath}\right)=-\vec{F}_{02}\, \|\, \pm \overrightarrow{P_0P}_2\mathrm{,}\quad\mathrm{con}\;\;\,F_{20}>0
\end{array}

Nótese que no tenemos información acerca de la naturaleza de las fuerzas de interacción mutua \vec{F}_{ij}, por lo que desconocemos el valor de sus intensidades o módulos, Fij. Sin embargo, no necesitamos esta información para resolver el ejercicio propuesto:

2.1 Relación entre aceleraciones de P1 y P2

Obtenemos las expresiones de las aceleraciones de estas partículas en el instante considerado y en términos de las intensidades Fij de la fuerzas que actúan sobre ellas:

m_1\!\ \vec{a}_1=-m_1\!\ a_1\!\ \vec{\jmath}=\left(F_{12}-\frac{F_{10}}{2}\right)\ \vec{\imath}\ -\ \frac{\sqrt{3}}{2}\ F_{10}\ \vec{\jmath}=\vec{F}_{12}\!\ +\!\ \vec{F}_{10}\;\; \Longleftrightarrow \;\; \left\{\begin{array}{l}\displaystyle F_{10}=2\!\ F_{12}\\ \\ \displaystyle a_1=\frac{\sqrt{3}\!\ F_{10}}{2\!\ m_1}\end{array}\right.


m_2\!\ \vec{a}_2=-m_2\!\ a_2\!\ \vec{\jmath}=\left(\frac{F_{20}}{2}-F_{12}\right)\!\ \vec{\imath}\ -\ \frac{\sqrt{3}}{2}\ F_{20}\!\ \vec{\jmath}\;=\vec{F}_{20}\!\ +\!\ \vec{F}_{21} \Longleftrightarrow \;\; \left\{\begin{array}{l}\displaystyle F_{20}=2\!\ F_{12}\\ \\ \displaystyle a_2=\frac{\sqrt{3}\!\ F_{20}}{2\!\ m_2}\end{array}\right.

Por tanto, la relación entre las intensidades de las aceleraciones de estás partículas en el instante considerado, es...

\frac{|\vec{a}_1|}{|\vec{a}_2|}=\frac{a_1}{a_2}=\frac{F_{10}/m_1}{F_{20}/m_2}\;\; \Longrightarrow    \frac{|\vec{a}_1|}{|\vec{a}_2|}=\frac{2\!\ F_{12}/m_1}{2\!\ F_{12}/m_2}=\frac{m_2}{m_1}

2.2 Aceleración de la partícula P0

Aplicando las leyes de la Dinámica en esta partícula, se tendrá:

\left.\begin{array}{l}\displaystyle m_0\!\ \vec{a}_0=\vec{F}_{01}\!\ +\!\ \vec{F}_{02}=\frac{F_{10}-F_{20}}{2}\ \vec{\imath}\ +\ \frac{\sqrt{3}}{2}\ \left(F_{10}+F_{20}\right)\ \vec{\jmath}\\ \\ 
\displaystyle F_{10}=F_{20}=2\!\ F_{12}
\end{array}\right\}\;\; \Longrightarrow \;\; \vec{a}_0=\frac{2\!\ \sqrt{3}\!\ F_{12}}{m_0}\ \vec{\jmath}=\frac{1}{m_0}\ \vec{F}_0


Por tanto, las relaciones de esta aceleración con las de las otra partículas son:


\frac{|\vec{a}_0|}{|\vec{a}_1|}=\frac{2\!\ \sqrt{3}\!\ F_{12}/m_0}{\sqrt{3}\!\ F_{12}/m_1}=\frac{2\!\ m_1}{m_0}        


\frac{|\vec{a}_0|}{|\vec{a}_2|}=\frac{2\!\ \sqrt{3}\!\ F_{12}/m_0}{\sqrt{3}\!\ F_{12}/m_2}=\frac{2\!\ m_1}{m_0}

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