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Fuerza unidireccional Primera Prueba de Control (G.I.A.)

De Laplace

1 Enunciado

Una partícula de masa m situada en el origen e inicialmente en reposo, es sometida a una fuerza \vec{F}(t) = A\,t^3\,\vec{\imath} . Si m=500\,\mathrm{g} y A = 20.0\,\mathrm{mN/s^3} , calcula el aumento de energía interna después de un tiempo de 10.s.

2 Solución

La aceleración a la que está sometida la partícula es


\vec{a}(t) = \dfrac{1}{m}\vec{F}(t) = \dfrac{A}{m}\,t^3\,\vec{\imath}

Para obtener la velocidad integramos la aceleración. Teniendo en cuenta que la velocidad inicial es cero tenemos


\vec{v}(t) = \int\limits_{0}^t\vec{a}(t)\,\mathrm{d}t
= \int\limits_{0}^t\dfrac{A}{m}\,t^3\,\vec{\imath}\,\mathrm{d}t

Como m, A y \vec{\imath} no dependen del tiempo salen de la integral. Entonces


\vec{v}(t) = \vec{\imath}\,\dfrac{A}{m}\,\int\limits_{0}^t t^3\,\,\mathrm{d}t
=\vec{\imath}\,\dfrac{A}{m}\,\left[\dfrac{t^4}{4}\right]_{0}^t
=\dfrac{A}{m}\,\dfrac{t^4}{4}\,\vec{\imath}

La energía cinética en cada instante es


T(t) = \dfrac{1}{2}\,m\,v(t)^2 = \dfrac{A^2\,t^8}{32\,m}

En el instante inicial T(0) = 0, por lo que el incremento de energía cinética a los 10 segundos es


\Delta T = \dfrac{(0.02)^2\times10^8}{32\times0.5} \mathrm{\dfrac{N^2\,s^8}{kg\,s^6}}
=
2500\, \mathrm{J} = 2.50\,\mathrm{kJ}

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