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Fuerza sobre una espira inmersa parcialmente en un campo magnético

De Laplace

1 Enunciado

Una espira plana de forma irregular se coloca de forma que parte de ella se encuentra en un campo magnético uniforme \mathbf{B} (en la figura el campo ocupa la región sombreada y apunta perpendicularmente al plano de la espira). Por la espira circula una corriente I. Pruebe que la fuerza magnética neta sobre la espira es F = IBs, donde s es la cuerda subtendida.

Generalice este resultado para el caso de que la forma de la región ocupada por el campo magnético sea también irregular. ¿En qué dirección apunta la fuerza?

2 Solución

La fuerza sobre una espira por la cual circula una corriente I viene dada por la integral

\mathbf{F}=I\oint \mathrm{d}\mathbf{r}\times\mathbf{B}\,

En nuestro caso, el campo \mathbf{B} tiene un valor uniforme igual a cero en una región y es también uniforme y vale \mathbf{B}_0 en otra. Esto permite separar la integral en dos tramos

\mathbf{F}=I\left(\int_{\mathbf{r}_i}^{\mathbf{r}_f}\mathrm{d}\mathbf{r}\right)\times \mathbf{B}_0+
I\left(\int_{\mathbf{r}_f}^{\mathbf{r}_i}\mathrm{d}\mathbf{r}\right)\times
0= I(\mathbf{r}_f-\mathbf{r}_i)\times\mathbf{B}_0

Dado el sentido de recorrido de la curva, se tiene que

\mathbf{r}_f-\mathbf{r}_i=-s\mathbf{u}_{x}

por lo que

\mathbf{F}=I(-s\mathbf{u}_{x})\times(B_0\mathbf{u}_{z})=IsB_0\mathbf{u}_{y}

como queríamos demostrar.

Si la región ocupada por el campo magnético es asimismo irregular, el razonamiento es análogo. La fuerza sigue siendo

\mathbf{F}=I(\mathbf{r}_f-\mathbf{r}_i)\times\mathbf{B}_0

Si definimos un vector \mathbf{s}=\mathbf{r}_f-\mathbf{r}_i resulta

\mathbf{F}=I\mathbf{s}\times\mathbf{B}_0

que, en módulo, sigue valiendo IsB0, y que tiene por dirección la perpendicular a los vectores \mathbf{s} y \mathbf{B}_0. Este resultado, como se ve, no depende en absoluto de la forma concreta de la espira, sólo de la distancia entre los dos puntos en que toca la frontera. Si la corriente y el campo verifican la regla de la mano derecha, la fuerza es tal que la espira tiende a ir a la región de campo más intenso.

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