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Fuerza magnética sobre una espira cuadrada (GIOI)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

El campo entre los polos de un imán se puede modelar como un campo magnético uniforme \vec{B}=B_0\vec{k} en el semiespacio x > b. Una espira cuadrada se encuentra sumergida parcialmente en este campo. La espira se encuentra en el plano XY, girada 45° respecto a los ejes, de forma que sus vértices se hallan en \pm a\vec{\imath} y en \pm a\vec{\jmath}. Por la espira circula una intensidad de corriente I. Calcule la fuerza sobre cada lado de la espira como función de lo que penetra la espira en el campo y la fuerza neta (distínganse los casos necesarios).

Archivo:espira-parcial-campo-01.png

2 Introducción

La fuerza sobre un hilo inmerso en un campo magnético viene dada por la integral

\vec{F}_M=I\int_P^Q\mathrm{d}\vec{r}\times\vec{B}

siendo P el punto donde comienza el hilo y Q donde acaba. En el caso de un campo magnético uniforme, \vec{B} sale de la integral y queda

\vec{F}_m =I\overrightarrow{PQ}\times\vec{B}_0\qquad\qquad\left(\vec{B}=\vec{B}_0\neq f(\vec{r})\right)

Obsérvese que esta fórmula no depende de que el hilo sea recto o curvado.

Para este problema tenemos varios casos dependiendo de la relación entre a y b

3 Caso b ≥ a

En el primer caso la solución es trivial. la espira está completamente fuera del campo magnético y la fuerza sobre cada lada es nula.

\vec{F}_1=\vec{F}_2=\vec{F}_3=\vec{F}_4=\vec{0}
Archivo:espira-parcial-campo-02.png

y lógicamente también lo es la fuerza neta

\vec{F}=\sum_i\vec{F}_i=\vec{0}

4 Caso 0 ≤ b ≤ a

En el segundo caso, tenemos dos lados (1 y 4, si los etiquetamos según el cuadrante) parcialmente inmersos en el campo magnético y otros dos (2 y 3) completamente fuera de él.

\vec{F}_2=\vec{F}_3 =\vec{0}
Archivo:espira-parcial-campo-03.png

Para el lado 1, el tramo que está dentro del campo magnético es

\overrightarrow{P_1Q_1} = (a-b)\left(-\vec{\imath}+\vec{\jmath}\right)

por lo que la fuerza sobre este lado vale

\vec{F}_1=I(a-b)\left(-\vec{\imath}+\vec{\jmath}\right)\times(B_0\vec{k})=I(a-b)B_0\left(\vec{\imath}+\vec{\jmath}\right)

Para el lado 4

\overrightarrow{P_4Q_4} = (a-b)\left(\vec{\imath}+\vec{\jmath}\right)

y queda

\vec{F}_4=I(a-b)\left(\vec{\imath}+\vec{\jmath}\right)\times(B_0\vec{k})=I(a-b)B_0\left(\vec{\imath}-\vec{\jmath}\right)

Sumando estas dos obtenemos la fuerza neta

\vec{F}=2I(a-b)B_0\vec{\imath}

A esta misma fuerza neta se llega considerando el punto inicial y final de todo el tramo

\vec{F}=I\overrightarrow{P_4Q_1}\times\vec{B}=I\left(2(a-b)\vec{\jmath}\right)\times(B_0\vec{k})=2I(a-b)B_0\vec{\imath}

Este caso incluye el caso particular en que b=0, es decir, la espira entra hasta la mitad en el campo magnético

(b=0)\qquad\qquad \vec{F}_1=IaB_0\left(\vec{\imath}+\vec{\jmath}\right)\qquad\vec{F}_4=IaB_0\left(\vec{\imath}-\vec{\jmath}\right)\qquad\vec{F}=2IaB_0\vec{\imath}

5 Caso −a ≤ b ≤ 0

Cuando b≤0, tenemos dos lados completamente dentro del campo magnético (el 1 y el 4) y dos solo parcialmente (el 2 y el 3).

Archivo:espira-parcial-campo-04.png

Para los lados 1 y 4 la fuerza es la calculada al final del apartado anterior

 \vec{F}_1=IaB_0\left(\vec{\imath}+\vec{\jmath}\right)\qquad\qquad\vec{F}_4=IaB_0\left(\vec{\imath}-\vec{\jmath}\right)

Para el lado 2, teniendo en cuenta que ahora b es un número negativo

\overrightarrow{P_2Q_2}=|b|\left(-\vec{\imath}-\vec{\jmath}\right)=b\left(\vec{\imath}+\vec{\jmath}\right)

y queda la fuerza

\vec{F}_2=IbB_0\left(\vec{\imath}-\vec{\jmath}\right)

Operamos igualmente para el lado 3

\overrightarrow{P_3Q_3}=|b|\left(\vec{\imath}-\vec{\jmath}\right)=b\left(-\vec{\imath}+\vec{\jmath}\right)

y resulta

\vec{F}_3=IbB_0\left(\vec{\imath}+\vec{\jmath}\right)

La fuerza total sobre la espira es ahora

\vec{F}=\sum_i\vec{F}_i=2I(a+b)B_0\vec{\imath}

Vemos que cuando b se hace igual a -a (la espira penetra por completo) esta fuerza se anula.

Esta fuerza neta puede hallarse también considerando solo el punto inicial y final de la porción de espira sumergida en el campo

\overrightarrow{P_3Q_2}=2(a-|b|)\vec{\jmath}=2(a+b)\vec{\jmath}

6 Caso b ≤ −a

Por último, tenemos la espira conpletamente inmersa en el campo magnético. En este caso, la fuerza sobre cada segmento corresponde a la totalidad de la longitud de este.

Archivo:espira-parcial-campo-05.png

Para los lados 1 y 4, como en el apartado anterior

 \vec{F}_1=IaB_0\left(\vec{\imath}+\vec{\jmath}\right)\qquad\qquad\vec{F}_4=IaB_0\left(\vec{\imath}-\vec{\jmath}\right)

mientras que para los lados 2 y 3 corresponde a hacer b = -a en los resultados anteriores

\vec{F}_2=-IaB_0\left(\vec{\imath}-\vec{\jmath}\right)

y

\vec{F}_3=-IaB_0\left(\vec{\imath}+\vec{\jmath}\right)

Vemos que las fuerzas sobre lados opuestos son igualmente opuestas

\vec{F}_1=-\vec{F}_3\qquad\qquad \vec{F}_2=-\vec{F}_4

y por tanto la fuerza neta se anula

\vec{F}=\sum_i\vec{F}_i=\vec{0}

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