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Fuerza magnética sobre un dipolo eléctrico

De Laplace

1 Enunciado

Un dipolo eléctrico, que puede suponerse formado por dos cargas puntuales \pm q situadas en los extremos de una varilla corta, de longitud L = p / q, se mueve en el interior de un campo magnético. El movimiento del dipolo puede describirse mediante la velocidad de su centro, \mathbf{v}, y la velocidad angular con la que gira en torno a él, \mathbf{w}.

  1. Calcule la fuerza que el campo magnético ejerce sobre el dipolo.
  2. Halle el momento de la fuerza producido por el campo.

2 Fuerza

La velocidad de los puntos de un sólido tiene la forma general

\mathbf{v}=\mathbf{v}_O+\mathbf{w}\times(\mathbf{r}-\mathbf{r}_O)\,

siendo \mathbf{v}_O la velocidad de un punto, \mathbf{w} la velocidad angular con la que el sólido gira en torno a dicho punto y \mathbf{r}-\mathbf{r}_O la posición relativa respecto a ese centro.

Si consideramos que las dos cargas está situadas simétricamente respecto del centro del dipolo, sus posiciones son

\mathbf{r}_+=\mathbf{r}_p + \frac{\Delta \mathbf{r}}{2}        \mathbf{r}_-=\mathbf{r}_p - \frac{\Delta \mathbf{r}}{2}

y sus velocidades

\mathbf{v}_+=\mathbf{v}_p + \mathbf{w}\times\frac{\Delta \mathbf{r}}{2}        \mathbf{v}_-=\mathbf{v}_p - \mathbf{w}\times\frac{\Delta \mathbf{r}}{2}

La fuerza sobre el dipolo será la suma de la fuerza de Lorentz sobre cada carga

\mathbf{F}=q\mathbf{v}_+\times\mathbf{B}(\mathbf{r}_+)+(-q)\mathbf{v}_-\times\mathbf{B}(\mathbf{r}_-)

Sustituyendo las posiciones y la velocidades quedan dos términos

\mathbf{F}=\mathbf{F}_1+\mathbf{F}_2

El primero es debido a la velocidad de traslación

\mathbf{F}=q\mathbf{v}_p\times\left(\mathbf{B}(\mathbf{r}_p + {\Delta \mathbf{r}}/{2})-\mathbf{B}(\mathbf{r}_p - {\Delta \mathbf{r}}/{2})\right) \simeq q\Delta\mathbf{r}\cdot\nabla(\mathbf{v}_p\times\mathbf{B})=(\mathbf{p}\cdot\nabla)(\mathbf{v}\times\mathbf{B})

donde hemos usado que la diferencia entre los valores de una función evaluada en dos puntos próximos es el diferencial de la función.

El segundo término es el debido a la rotación

\mathbf{F}_2=q\left(\mathbf{w}\times\frac{\Delta\mathbf{r}}{2}\right)\times\mathbf{B}+(-q)\left(-\mathbf{w}\times\frac{\Delta\mathbf{r}}{2}\right)\times\mathbf{B}=(\mathbf{w}\times\mathbf{p})\times\mathbf{B}

Reuniendo los dos términos

\mathbf{F}=(\mathbf{p}\cdot\nabla)(\mathbf{v}\times\mathbf{B})+(\mathbf{w}\times\mathbf{p})\times\mathbf{B}

donde, por abreviar, podemos ya usar \mathbf{v} para la velocidad del dipolo puntual. En el caso de un campo uniforme el primer término, que contiene una derivada, se anula y la fuerza se reduce a

\mathbf{F}=(\mathbf{w}\times\mathbf{p})\times\mathbf{B}\,

Esto quiere decir que, en un campo magnético uniforme, la fuerza sobre un dipolo eléctrico no depende de la velocidad con la que se traslada, sino de la velocidad con que gira sobre sí mismo.

3 Momento

El cálculo del momento de las fuerzas aplicadas es similar al de la fuerza

\mathbf{M}=\mathbf{r}_+\times\mathbf{F}_++\mathbf{r}_-\times\mathbf{F}_-

Sustituyendo las dos posiciones

\mathbf{F}=\mathbf{r}_p\times(\mathbf{F}_++\mathbf{F}_-)+\frac{\Delta \mathbf{r}}{2}\times(\mathbf{F}_+-\mathbf{F}_-)

El primer término es simplemente

\mathbf{M}_1=\mathbf{r}_p\times\mathbf{F}\,

En el segundo, teniendo en cuenta que \Delta\mathbf{r} es una cantidad pequeña

\mathbf{M}_2=\frac{\Delta\mathbf{r}}{2}\times(q\mathbf{v}_p\times\mathbf{B}(\mathbf{r}_p))=\mathbf{p}\times(\mathbf{v}_p\times\mathbf{B})

Aquí se ha despreciado los términos asociados a la rotación, puesto que son cuadráticos en \Delta\mathbf{r}. Esto nos da la expresión para el momento (omitiendo ya el subíndice p)

\mathbf{M}=\mathbf{r}\times\mathbf{F}+\mathbf{p}\times(\mathbf{v}\times\mathbf{B})

El segundo término representa el par intrínseco, que tiende hacer girar el dipolo sobre sí mismo.

\mathbf{\tau}= \mathbf{p}\times(\mathbf{v}\times\mathbf{B})

Combinando los dos efectos tenemos que, en un campo uniforme:

  • La fuerza, que produce traslación, depende de la velocidad con la que gira el dipolo.
  • El par, que produce rotación, depende de la velocidad con que se traslada.

Este acoplamiento entre traslación y rotación puede producir comportamientos muy complicados e interesantes, para nada reducibles a órbitas circulares sencillas, como ocurre con las cargas aisladas.

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