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Fuerza entre un hilo y un dipolo magnético

De Laplace

1 Enunciado

Por un cable vertical muy largo, se hace circular una corriente I0. Un pequeño imán (equivalente a un dipolo magnético \mathbf{m}), de peso M\mathbf{g}, se suspende de un hilo ideal, de longitud l, cuyo punto de sujeción se encuentra a una distancia a del cable. El imán está sujeto por su punto central, de forma que puede orientarse libremente. ¿En que dirección apuntará el imán? Calcule la fuerza magnética sobre el imán, cuando se encuentra a una distancia x del cable. Halle la ecuación para el ángulo que el hilo forma con la vertical.

2 Solución

El dipolo magnético se orientará en la misma dirección y sentido que el campo magnético, en el punto en que se encuentre.

El campo del hilo, en cilíndricas, es

\mathbf{B}=\frac{\mu_0 I}{2\pi \rho}\mathbf{u}_{\varphi}

de forma que el dipolo apunta en la dirección de \mathbf{u}_{\varphi}. Para hallar la fuerza debemos calcular

\mathbf{F}=\left(\mathbf{m}{\cdot}\nabla\right)\mathbf{B}

El operador del paréntesis es

\mathbf{m}{\cdot}\nabla=\left(m\mathbf{u}_{\varphi}\right){\cdot}\left(\mathbf{u}_{\rho}\frac{\partial{}\ }{\partial{}\rho}+
\frac{\mathbf{u}_{\varphi}}{\rho}\,\frac{\partial{}\ }{\partial{}\varphi}+
\mathbf{u}_{z}\,\frac{\partial{}\ }{\partial{}z}\right)=\frac{m}{\rho}\,\frac{\partial{}\ }{\partial{}\varphi}

La fuerza es entonces

\mathbf{F}=\frac{m}{\rho}\,\frac{\partial{}\ }{\partial{}\varphi}\left(\frac{\mu_0 I}{2\pi \rho}\mathbf{u}_{\varphi}\right)

La única dependencia con \varphi se encuentra justamente en el vector de la base. Se tiene

\frac{\partial{}\mathbf{u}_{\varphi}}{\partial{}\varphi}=-\mathbf{u}_{\rho}

Para llegar a este resultado, basta recordar las expresiones

\mathbf{u}_{\rho}=\cos\varphi\mathbf{u}_{x}+\,\mathrm{sen}\,\varphi\mathbf{u}_{y}     \mathbf{u}_{\varphi}=-\,\mathrm{sen}\,\varphi\mathbf{u}_{x}+\cos\varphi\mathbf{u}_{y}

De aquí resulta, para la fuerza

\mathbf{F}=-\frac{\mu_0 I m}{2\pi \rho^2}\mathbf{u}_{\rho}

Este resultado expresa que el hilo siempre atrae al imán.

Si suponemos que el imán se encuentra en el plano y = 0, ρ = x y \mathbf{u}_{\rho}=\mathbf{u}_{x}.

La posición de equilibrio viene determinada por el balance entre peso, fuerza magnética y tensión de la cuerda

\mathbf{F}+M\mathbf{g}+\mathbf{T}=\mathbf{0}\,

Separando en componentes queda

-\frac{\mu_0I m}{2\pi x^2}+T\,\mathrm{sen}\,\theta=0     -Mg+T\cos\theta=0\,

Eliminando la tensión entre estas dos ecuaciones

\tan\theta=\frac{\mu_0I m}{2\pi M g x^2}

Las cantidades x y θ no son independientes. Conocidas la longitud del hilo y la distancia del punto de sujeción resulta

x=a-l\,\mathrm{sen}\,\theta

y, finalmente, la ecuación para el ángulo θ es

(a-l\,\mathrm{sen}\,\theta)^2\tan\theta=\frac{\mu_0I m}{2\pi M g}

Esta ecuación no posee solución analítica. Para encontrar la solución es preciso el uso de métodos aproximados.

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