Entrar Página Discusión Historial Go to the site toolbox

Fuerza entre dos varillas colineales

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Calcule la fuerza entre dos varillas colineales, de longitudes L1 y L2, que almacenan respectivamente cargas Q1 y Q2, cuando sus extremos más próximos distan una cantidad a.

2 Introducción

la fuerza sobre una distribución de carga que almacena una carga total Q, no es igual al producto de la carga por el campo

\mathbf{F}\neq Q\mathbf{E}

ya que esta expresión solo vale para cargas puntuales. En particular, ¿qué es \mathbf{E}? ¿El campo en un extremo de la varilla, en el otro, en su punto medio?

La expresión correcta para la fuerza neta sobre un sistema es, como ocurre generalmente en mecánica, la resultante de las fuerzas aplicadas, esto es, la suma vectorial de las fuerzas aplicadas sobre cada punto de la distribución.

Dividiendo una distribución en elementos de volumen, cada uno de los cuales se puede suponer puntual, queda

\mathbf{F}= \int \mathrm{d}q\,\mathbf{E}(\mathbf{r})=\int \rho(\mathbf{r})\,\mathbf{E}(\mathbf{r})\mathrm{d}\tau

o la expresión correspondiente para una distribución de carga lineal

\mathbf{F}= \int \mathrm{d}q\,\mathbf{E}(\mathbf{r})=\int \lambda(\mathbf{r})\,\mathbf{E}(\mathbf{r})\mathrm{d}l
En nuestro caso debemos hallar la fuerza entre dos varillas. Empleando el campo eléctrico como intermediario, podemos suponer que una de ellas (la varilla ”1“) crea el campo y la otra (la varilla ”2“) lo experimenta. Sea el segmento 1 el de carga Q1. Este segmento posee longitud L1.

Por comodidad podemos suponer como eje Z el común a ambas varillas, y situar el origen de coordenadas en el extremo de la varilla 1 más próximo a la varilla 2. Supondremos además que la segunda varilla se encuentra en el semieje z > 0, esto es que z2 > z1 para todos los puntos de las dos varillas.

3 Campo de la primera varilla

Necesitamos calcular el campo eléctrico producido por este segmento, que para una distribución lineal es

\mathbf{E})\mathbf{r}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int \lambda(\mathbf{r}')\frac{\left(\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right)}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|^3}\,\mathrm{d}l'

No necesitamos conocer el campo en todo el espacio, nos basta con hallarlo en los puntos del propio eje Z situados en z > 0, que es donde se encuentra la segunda varilla. Por tanto, podemos hacer

\mathbf{r}= z\mathbf{u}_z        \mathbf{r}'= z'\mathbf{u}_z\qquad \left(-L_1\leq z' \leq 0\right)        \mathbf{r}-\mathbf{r}'= \left(z- z'\right)\mathbf{u}_z        dl' = dz'

En cuanto a la densidad de carga, si esta es uniforme, es simplemente

\lambda_1 = \frac{Q_1}{L_1}

Todo esto nos deja la expresión del campo como

\mathbf{E}_1(z) =\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_{-L_1}^{0} \frac{Q_1}{L_1}\,\frac{\mathbf{u}_z}{(z-z')^2}\,\mathrm{d}z'

Esta integral es inmediata:

\mathbf{E}_1 = \frac{Q_1\mathbf{u}_z}{4\pi\varepsilon_0 L_1}\left.\frac{1}{z-z'}\right|_{-L_1}^{0} = 
\frac{Q_1\mathbf{u}_z}{4\pi\varepsilon_0 L_1}\left(\frac{1}{z}-\frac{1}{z+L_1}\right)

4 Fuerza sobre la segunda varilla

Una vez que tenemos el campo, podemos calcular la fuerza sobre la segunda varilla. Esta tiene también densidad uniforme

\lambda_2 = \frac{Q_2}{L_2}

y ocupa las posiciones

\mathbf{r}= z\mathbf{u}_z\qquad \left(a\leq z \leq a+L_2\right)    dl = dz

de forma que la fuerza sobre ella es

\mathbf{F}_{21} = \int_{a}^{a+L_2} \frac{Q_2}{L_2}\mathbf{E}_1(z)\,\mathrm{d}z = \frac{Q_1Q_2\mathbf{u}_z}{4\pi\varepsilon_0 L_1L_2}\int_a^{a+L_2}\left(\frac{1}{z}-\frac{1}{z+L_1}\right)\mathrm{d}z

De nuevo tenemos dos integrales inmediatas, que resultan en sendos logaritmos. Combinado los logaritmos queda finalmente

\mathbf{F}_{21} = \frac{Q_1Q_2\mathbf{u}_z}{4\pi\varepsilon_0 L_1L_2}\ln\left(\frac{(a+L_2)(a+L_1)}{a(a+L_1+L_2)}\right)

Nótese cómo no resulta Q_2\mathbf{E}_1(\mathbf{r}_2) ya que el campo \mathbf{E}_1 no contiene logaritmos por ningún lado. La fuerza sobre una distribución de carga no coincide con la fuerza sobre una carga puntual.

5 El límite de varillas puntuales

La expresión general de la fuerza depende de las cargas, los tamaños y la distancia entre las varillas. Este resultado, para el caso de que la distancia entre varillas sea mucho mayor que sus tamaños respectivos, debe coincidir con la ley de Coulomb, para la fuerza entre cargas puntuales. Podemos hallar el límite del resultado anterior y comprobar si tiende al valor correcto. Esto nos sirve como test de una condición necesaria (pero no suficiente) para que el resultado anterior sea correcto.

Desarrollando el numerador y el denominador del logaritmo y dividiendo en ambos por a2 nos queda

\mathbf{F}_{21} = \frac{Q_1Q_2\mathbf{u}_z}{4\pi\varepsilon_0 L_1L_2}\ln\left(\frac{(1+(L_1+L_2)/a+L_1L_2/a^2}{1+(L_1+L_2)/a}\right)=


=\frac{Q_1Q_2\mathbf{u}_z}{4\pi\varepsilon_0 L_1L_2}\left(\ln\left(1+\frac{L_1+L_2}{a}+\frac{L_1L_2}{a^2}\right)-
\ln\left(1+\frac{L_1+L_2}{a}\right)\right)

Ahora bien, por ser a\gg L_1,L_2 podemos aplicar la serie de Taylor del logaritmo

\ln(1+x) = x-\frac{x^2}{2}+\cdots
y resulta
\mathbf{F}_{21}\simeq\frac{Q_1Q_2\mathbf{u}_z}{4\pi\varepsilon_0 L_1L_2}\left(\frac{L_1+L_2}{a}+\frac{L_1L_2}{a^2}-\frac{1}{2}\left(\frac{L_1+L_2}{a}+\frac{L_1L_2}{a^2}\right)^2-\frac{L_1+L_2}{a}+\frac{1}{2}\left(\frac{L_1+L_2}{a}\right)^2+\cdots\right)

Si nos quedamos con los primeros términos que no se anulan mutuamente nos queda

\mathbf{F}_{21}\simeq\frac{Q_1Q_2\mathbf{u}_z}{4\pi\varepsilon_0 L_1L_2}\left(\frac{L_1L_2}{a^2}\right)=
\frac{Q_1Q_2\mathbf{u}_z}{4\pi\varepsilon_0 a^2}

que es la expresión de la ley de Coulomb para dos cargas puntuales Q1 y Q2 separadas una distancia a.

6 Fuerza sobre la primera varilla

La fuerza sobre la varilla 1 la podemos obtener por simple aplicación de la tercera ley de Newton

\mathbf{F}_{12}=-\mathbf{F}_{21} =-\frac{Q_1Q_2\mathbf{u}_z}{4\pi\varepsilon_0 L_1L_2}\ln\left(\frac{(a+L_2)(a+L_1)}{a(a+L_1+L_2)}\right)

obsérvese que este resultado no es exactamente el mismo que resulta si cambiamos Q1 por Q2 y L1 por L2 en la expresión de \mathbf{F}_{21} (si hiciéramos esto saldría con signo positivo). La razón está en que al orientar los ejes supusimos que el sentido positivo del eje Z era el que iba de la varilla 1 a la 2. Si lo que queremos es hallar la fuerza de la 2 sobre la 1 debemos cambiar Q1 por Q2, L1 por L2 y además +\mathbf{u}_z por -\mathbf{u}_z. Entonces sí se obtiene el resultado anterior, en completo acuerdo con la tercera ley de Newton.

Herramientas:

Herramientas personales
TOOLBOX
LANGUAGES
licencia de Creative Commons
Esta página fue modificada por última vez el 13:30, 3 ene 2010. - Esta página ha sido visitada 18.245 veces. - Aviso legal - Acerca de Laplace