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Fuerza entre dos hilos cargados

De Laplace

1 Enunciado

Un cable formado por dos hilos paralelos produce un campo eléctrico similar al producido por dos líneas infinitas con densidad de carga λ y − λ, situadas a una distancia D una de la otra.

Halle la fuerza que uno de los hilos produce sobre un segmento de longitud h del otro hilo.

2 Solución

Para hallar la fuerza que uno de los hilos produce sobre otro situado paralelamente a él, a una distancia D, situamos los ejes de forma que el hilo que crea el campo (el de densidad de carga + λ) coincide con el eje Z, mientras que el segundo (con densidad − λ) pasa por el punto x = D, y = 0.

Aplicando la expresión para el campo creado por un hilo infinito, el campo debido al primer hilo es

\mathbf{E}_1(x,y) = \frac{\lambda}{2\pi \varepsilon_0}\,\frac{x\mathbf{u}_x+y\mathbf{u}_y}{x^2+y^2}

y su valor en cada uno de los puntos del segundo hilo es

\mathbf{E}_1(x=D,y=0) = \frac{\lambda}{2\pi \varepsilon_0}\,\frac{D\mathbf{u}_x+0\mathbf{u}_y}{D^2+0^2} = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0D}\mathbf{u}_x

La fuerza sobre un elemento de carga del segundo hilo es

\mathrm{d}\mathbf{F}_{21}=\mathrm{d}q_2\mathbf{E}_1 = -(\lambda\,\mathrm{d}z) \left(\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0D}\mathbf{u}_x\right) = -\frac{\lambda^2\mathbf{u}_x}{2\pi\varepsilon_0D}\mathrm{d}z

Esta fuerza diferencial es independiente de la altura z a la que se encuentre el elemento (lo cual es evidente dada la simetría traslacional del sistema. Por tanto, la fuerza sobre un segmento de longitud h del segundo hilo es

\mathbf{F}_21 = \int_0^h \mathrm{d}\mathbf{F}_{21} = -\frac{\lambda^2h\mathbf{u}_x}{2\pi\varepsilon_0D}

Esta fuerza va en el sentido de -\mathbf{u}_x, siendo \mathbf{u}_x el vector que va del primer hilo perpendicularmente al segundo. Esto quiere decir que la fuerza es atractiva, como corresponde a dos hilos cargados con signos opuestos.

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