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Fuerza en anilla ensartada en varillas

De Laplace

1 Enunciado

Para el sistema de la anilla ensartada en dos varillas, calcule la fuerza que cada una de las barras ejerce cada instante sobre la anilla, suponiendo ´esta de masa m, (a) despreciando el peso, (b) considerando el peso en la dirección de OY negativo. Tenga en cuenta que cada barra solo puede ejercer fuerza perpendicularmente a sí misma, no a lo largo de ella.

Archivo:anilla-dos-varillas.png

2 Sin considerar el peso

Conocemos el movimiento de la anilla; se ve en este problema y en este otro: describe un movimiento circular uniforme en torno al punto medio de los dos anclajes, siendo su velocidad angular y el radio de giro L / 2. La ecuación horaria del movimiento es, respecto al anclaje de la izquierda,

\vec{r}(t) = L\cos^2(\Omega t)\vec{\imath}+L\cos(\Omega t)\mathrm{sen}(\Omega t)\vec{\jmath}

o, expresada en coordenadas polares respecto a este mismo punto

\rho = L\cos(\Omega t)\qquad\qquad \theta = \Omega t

La fuerza neta que actúa sobre la anilla nos la da la segunda ley de Newton

\vec{F}=m\vec{a}=m\frac{\mathrm{d}^2\vec{r}}{\mathrm{d}t^2}

que en coordenadas polares queda

\vec{F}=m\vec{a}=m\left(\ddot{\rho}-\rho\dot{\theta}^2\right)\vec{u}_\rho + m\left(2\dot{\rho}\dot{\theta}+\rho\ddot{\theta}\right)\vec{u}_\theta

Si no consideramos el peso, las fuerzas que actúan sobre la anilla se deben exclusivamente a las dos varillas

\vec{F}=\vec{F}_L+\vec{F}_R

La varilla de la derecha ejerce sobre la anilla una fuerza \vec{F}_R. Esta fuerza es siempre perpendicular a la propia varilla (ya que ésta no puede impedir que la anilla) se mueva a lo largo de ella. Pero la perpendicular a la varilla de la derecha es justamente la dirección de la varilla de la izquierda, que a su vez es la dirección radial desde O. Por tanto

\vec{F}_R = \vec{F}_\rho = m(\ddot{\rho}-\rho\dot{\theta}^2)\vec{u}_\rho

Calculamos los términos que aparecen en esta expresión

\rho = L\cos(\Omega t)\qquad\qquad \dot{\rho}=-L\Omega\,\mathrm{sen}(\Omega t)\qquad\qquad \ddot{\theta}=-L\Omega^2\cos(\Omega t)
\theta = \Omega \qquad\qquad\dot{\theta}=\Omega\qquad\qquad \ddot{\theta}=0

y por tanto

\vec{F}_R = m\left(-L\Omega^2\cos(\Omega t)-L\Omega^2\cos(\Omega t)\right)\vec{u}_\rho=-2mL\Omega^2\cos(\Omega t)\vec{u}_\rho

Asimismo, la fuerza ejercida por la varilla de la izquierda \vec{F}_L va en la dirección perpendicular a ella misma. Por tanto \vec{F}_L va en la dirección de \vec{u}_\theta y es igual a

\vec{F}_L = m(2\dot{\rho}\dot{\theta}+\rho\ddot{\theta})\vec{u}_\theta = -2mL\Omega^2\mathrm{sen}(\Omega t)\vec{u}_\theta

3 Incluyendo el peso

Cuando se considera el peso, el cálculo es similar, ya que podemos aplicar el principio de superposición. Incluyendo el peso, la ecuación de movimiento queda

\vec{F}_L+\vec{F}_R + m\vec{g} = m\vec{a}

o, equivalentemente,

\vec{F}_L+\vec{F}_R = m\vec{a} - m\vec{g}

Incluso si consideramos el peso, la aceleración es la misma que en el apartado anterior, ya que el movimiento de la anilla está gobernado por las barras. la anilla tiene 0 grados de libertad.

Como en el apartado anterior

\vec{F}_R=F_\rho\vec{u}_\rho\qquad\qquad \vec{F}_L=F_\theta\vec{u}_\theta

Lo único que nos resta hacer es descomponer el peso en sus componentes polares. Esto se consigue empleando la relación entre bases:

\vec{\jmath}=\mathrm{sen}(\theta)\vec{u}_\rho+\cos(\theta)\vec{u}_\theta

y por tanto

m\vec{g}=-mg\vec{\jmath} = -mg\,\mathrm{sen}(\theta)\vec{u}_\rho-mg\cos(\theta)\vec{u}_\theta

Sumando esto a los resultados que ya teníamos nos queda

\vec{F}_R =\left( -2mL\Omega^2\cos(\Omega t)-mg\,\mathrm{sen}(\Omega t)\right)\vec{u}_\rho
\vec{F}_L =\left( -2mL\Omega^2\mathrm{sen}(\Omega t)-mg\,\mathrm{cos}(\Omega t)\right)\vec{u}_\theta

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