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Fuerza eléctrica en sistema de cuatro cargas puntuales (GIA)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Dos cargas eléctricas puntuales idénticas de valor Q, ocupan sendos puntos A y C que, en un sistema de referencia OXYZ, tienen coordenadas cartesianas A(a,0,0) y C( − a,0,0). Otras dos cargas idénticas entre sí y de valor q, ocupan los puntos B y D del eje OY, cuyas coordenadas cartesianas son B(0,b,0) y D(0, − b,0). La geometría

del sistema es tal que la distancia que separa dos carta contiguas es

|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{BC}|=|\overrightarrow{CD}|=|\overrightarrow{DA}|=\left(a^2+b^2\right)^{1/2}=2 \sqrt{ab}

No existen más cargas eléctricas, a parte de las cuatro que constituyen el sistema descrito.

  1. ¿Qué relación deben verificar la cantidades de Q y q de las respectivas cargas puntuales descritas en el sistema para que la fuerza eléctrica resultante que actúa sobre la carga que ocupa el punto A sea nula, \vec{F}_e(Q;A)=\vec{0}?
  2. En las condiciones del apartado anterior, ¿cómo es la fuerza eléctrica resultante que actúa sobre cada una de las otras tres cargas?

2 Solución

Introducción

La ley de Coulomb establece describe cómo es la fuerza de interacción entre dos cargas eléctricas puntales, con valores q1 y q2, situadas en sendos puntos P1y P2 del espacio vacío cuyas posiciones, respecto del origen O de uns sistema de referencia fijo OXYZ, están determinadas por los vectores \ \overrightarrow{OP}_1=\vec{r}_1\ y \ \overrightarrow{OP}_2=\vec{r}_2. El módulo, la dirección y el sentido de la fuerza \vec{F}_{12} que la carga q2 ejerce sobre q1, responden a la expresión vectorial

\displaystyle \vec{F}_{12}=k_e\ q_1 q_2\ \frac{\vec{r}_1-\vec{r}_2}{|\vec{r}_1-\vec{r}_2|^3}

donde ke es el correspondiente factor de escala, denominado constante electrostática y cuyo valor dependerá del sistema de unidades utilizado. Si las magnitudes físicas se expresan en el Sistema Internacional, el valor de esta constante es \ k_e=(4\pi\ \varepsilon_0)^{-1}\cong 9\times 10^9\, \mathrm{N}\mathrm{m}^2/\mathrm{C}^2.

Las fuerzas de interacción entre cargas eléctricas verifica, el principio de acción y reacción por lo que, simultáneamente se tendrá que la fuerza ejercida por la carga q1 sobre la q2 será opuesta a la anterior; es decir, \ \vec{F}_{21}=-\vec{F}_{12}.

Por otra parte, la fuerza eléctrica verifica el principio de superposición. por tanto, si se tiene un sistema formado por un conjunto de N cargas puntuales, \{q_1,q_2,\ldots,q_N\}, situadas en los puntos respectivos \{P_1,P_2,\ldots,P_N\} del espacio vacío, la fuerza eléctrica total ejercicida por dicho sistema sobre otra carga puntual q0 situada en un punto P0 del espacio, es igual a la suma vectorial de las fuerzas que cada una de las cargas qi (con i=1,\ldots, N) ejercerían por sí solas sobre q0:

\displaystyle \vec{F}_e(q_0;P_0)=\sum_{i=1}^N\ \vec{F}_{0i}=k_e\ q_0 \sum_{i=1}^N q_i\ \frac{\vec{r}_0-\vec{r}_i}{|\vec{r}_0-\vec{r}_i|^3}

donde \ \overrightarrow{OP}_0=\vec{r}_0\ y \ \overrightarrow{OP}_i=\vec{r}_i, para i=1,2,\ldots,N.

2.1 Condición para fuerza nula sobre la carga en A

En el ejercicio se propone un sistema formado por cuatro cargas eléctricas, iguales dos a dos,
q_A=q_C=Q\,\mathrm{;}\;\; q_B=q_D=q

situadas en los vértices A, B, C y D, de dimensiones conocidas y tales que, si se utiliza el sistema de referencia cartesiano indicado en la figura, las posiciones de estos cuatro puntos están dadas por los vectores:

\left.\begin{array}{c} \overrightarrow{OA}=\vec{r}_A=a\!\ \vec{\imath}=-\vec{r}_C=\overrightarrow{CO}\\ \\ \overrightarrow{OB}=\vec{r}_B=b\!\ \vec{\jmath}=-\vec{r}_D=\overrightarrow{DO}\end{array}\right\}\; \,\mathrm{con}\;\; |\vec{r}_{A,C}-\vec{r}_{B,D}|=2\!\ \sqrt{a b}

En virtud del principio de superposción y de la ley de Coulomb se tendrá que la fuerza eléctrica resultante que actúa sobre la carga Q situada en el punto A es:

\vec{F}_e(Q;A)=\vec{F}_{AB}+\vec{F}_{AC}+\vec{F}_{AD}=k_e Q \!\ \left\{q\ \frac{\vec{r}_A-\vec{r}_B}{|\vec{r}_A-\vec{r}_B|^3}+Q\ \frac{\vec{r}_A-\vec{r}_C}{|\vec{r}_A-\vec{r}_C|^3}+ q\ \frac{\vec{r}_A-\vec{r}_D}{|\vec{r}_A-\vec{r}_D|^3}\right\}

Obsérvese que al considerar a dicha carga como puntual, la fuerza eléctrica que actúa sobre ellas se puede escribir en términos del campo eléctrico resultante de la superposición de los campos creados por las otras tres cargas del sistema en el punto A:

\vec{F}_e(Q;A)=k_e Q \!\ \left\{q\ \frac{\vec{r}_A-\vec{r}_B}{|\vec{r}_A-\vec{r}_B|^3}+Q\ \frac{\vec{r}_A-\vec{r}_C}{|\vec{r}_A-\vec{r}_C|^3}+ q\ \frac{\vec{r}_A-\vec{r}_D}{|\vec{r}_A-\vec{r}_D|^3}\right\}=Q\!\ \left\{\vec{E}_B(\vec{r}_A)+ \vec{E}_C(\vec{r}_A)+\vec{E}_D(\vec{r}_A)\right\}=Q\!\ \vec{E}(A)


Teniendo en cuenta que los puntos A y C están separados por una distancia 2a, y que las distancias de A a B y a D son ambas 2\!\ (ab)^{3/2}...

\vec{F}_e(Q;A)=k_e Q \!\ \left[Q\ \frac{\vec{r}_A-\vec{r}_C}{8\!\ a^3}+q\ \frac{2\!\ \vec{r}_A-\vec{r}_B-\vec{r}_D}{8\!\ (ab)^{3/2}}\right]=k_e Q \!\ \left[Q\ \frac{2\!\ \vec{r}_A}{8\!\ a^3}+q\ \frac{2\!\ \vec{r}_A}{8\!\ (ab)^{3/2}}\right]=Q\!\ \vec{E}(A)

... pues, en el sistema bajo estudio, los vectores \vec{r}_A y \vec{r}_C son opuestos, al igual que \vec{r}_B y \vec{r}_D. Por tanto, para que la fuerza eléctrica resultante sobre la carga sitada en A sea nula, es necesario que las cantidades Q y q verifiquen una relación muy concreta, que hace que sea nulo en dicho punto el campo eléctrico resultante, debido a la existencia de cargas iguales de valor q en los puntos B y D, y una segunda carga Q y C:

\frac{Q}{q}=-\frac{a^3}{(ab)^{3/2}}=-\left(\frac{a}{b}\right)^{3/2} \;\Longrightarrow\,\;\vec{E}(A)=\vec{E}_B(\vec{r}_A)+ \vec{E}_C(\vec{r}_A)+\vec{E}_D(\vec{r}_A)=k_e \!\ \left[Q\ \frac{2\!\ \vec{r}_A}{8\!\ a^3}+q\ \frac{2\!\ \vec{r}_A}{8\!\ (ab)^{3/2}}\right]=\vec{0}

... y en consecuencia:

\vec{F}_e(Q;A)=Q\!\ \vec{E}(A)=\vec{0}

Nótese que las cargas Q y q deben tener signos distintos.

2.2 Fuerza eléctrica en las otras cargas

Calculamos las fuerzas eléctricas ejercidas sobre las otras cargas del sistema considerando que se verfica la relación anterior. Por razones de simetría, se puede argumentar que la fuerza sobre la carga situada en el punto C ha de ser también nula. Obsérvese que si empleamos un sistema de referencia cartesiano OX^\prime YZ tal que \vec{\imath}{}^\prime=-\vec{\imath}, la posición A en este nuevo sistema es equivalente a la posición C en el sistema OXYZ. Y como los módulos de los vectores que describen la fuerzas resultantes son escalares y no pueden depender del sistema de referencia, las fuerzas deben ser nulas tanto en A como en C.

Analíticamente...

\vec{F}_e(Q;C)=\vec{F}_{CA}+\vec{F}_{CB}+\vec{F}_{CD}=k_e Q \!\ \left\{q\ \frac{\vec{r}_C-\vec{r}_A}{|\vec{r}_C-\vec{r}_A|^3}+Q\ \frac{\vec{r}_C-\vec{r}_B}{|\vec{r}_C-\vec{r}_B|^3}+ q\ \frac{\vec{r}_C-\vec{r}_D}{|\vec{r}_C-\vec{r}_D|^3}\right\}

... y sin más que tener en cuenta que \vec{r}_A=-\vec{r}_C y que \vec{r}_B=-\vec{r}_D...

\vec{F}_e(Q;C)=k_e Q \!\ \left\{q\ \frac{-\vec{r}_A+\vec{r}_C}{|\vec{r}_A-\vec{r}_C|^3}+Q\ \frac{-\vec{r}_A+\vec{r}_D}{|\vec{r}_A-\vec{r}_D|^3}+ q\ \frac{-\vec{r}_A+\vec{r}_B}{|\vec{r}_A-\vec{r}_B|^3}\right\}= -\vec{F}_{AC}-\vec{F}_{AD}-\vec{F}_{AB}=-\vec{F}_e(Q;A)

... independientemente de los valores de Q y q. Pero si éstos verifican la relación determinada en el apartado anterior, se tendrá:

\vec{F}_e(Q;C)=-\vec{F}_e(Q;A)=\vec{0}

Obsérvese que, aplicando las relaciones de vectores opuestos verificadas por los vectores posición de los vértices del rombo, se obtendrá que la fuerzas resultantes en B y D también va a ser opuestas:

\vec{F}_e(q;B)=\vec{F}_{BA}+\vec{F}_{BC}+\vec{F}_{BD}=k_e q \!\ \left\{Q\ \frac{\vec{r}_B-\vec{r}_A}{|\vec{r}_B-\vec{r}_A|^3}+Q\ \frac{\vec{r}_B-\vec{r}_C}{|\vec{r}_B-\vec{r}_C|^3}+ q\ \frac{\vec{r}_B-\vec{r}_D}{|\vec{r}_B-\vec{r}_D|^3}\right\}= -\vec{F}_{DC}-\vec{F}_{DA}-\vec{F}_{DB}=-\vec{F}_e(q;D)

Por tanto, basta con determinar la fuerza eléctrica resultante ejercida sobre q en B o D. Teniendo en cuenta de nuevo los valores de las distancias entre las cargas y la geometría del sistema (concretamente, que -\vec{r}_C=\vec{r}_A, y que -\vec{r}_D=\vec{r}_B)...

\left.\begin{array}{l}|\vec{r}_B-\vec{r}_A|=|\vec{r}_B-\vec{r}_C|= 2\!\ \sqrt{ab}\\ \\ |\vec{r}_B-\vec{r}_D|= 2\!\ b\end{array}\right\} \,\Longrightarrow\, \vec{F}_e(q;B)=k_e q \!\ \left[Q\ \frac{2\!\ \vec{r}_B-\vec{r}_A-\vec{r}_C}{8\!\ (ab)^{3/2}}+ q\ \frac{\vec{r}_B-\vec{r}_D}{8\!\ b^3}\right]= k_e \ \frac{q^2}{4} \ \left[\frac{Q}{q}\ \frac{1}{(ab)^{3/2}}+  \frac{1}{ b^3}\right]\!\ \vec{r}_B

Si se utiliza la relación entre valores de carga determinada en el apartado anterior (para que las fuerzas resultante en A y C sean nulas)...

\frac{Q}{q}\ \frac{1}{(ab)^{3/2}}+  \frac{1}{ b^3}=-\frac{a^{3/2}}{a^{3/2}\!\ b^3}+ \frac{1}{ b^3}=0\;\Longrightarrow\;\vec{F}_e(q;B)=\vec{0}=-\vec{F}_e(q;D)

Es decir, con la geometría descrita en el enunciado y la relación entre los valores de carga determinados en el apartado anterior, la mera interacción eléctrica permitiría que todas las partículas cargadas del sistema estuviesen en equilibrio estático, pues las fuerzas eléctricas resultantes en cada una de ellas son nulas: ¡¡es un sistema electrostático autoequilibrado!!

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