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Fuerza de Lorentz sobre una esfera en rotación

De Laplace

Contenido

1 Introducción

Suponemos una distribución de carga que posee simetría esférica alrededor de un punto central \mathbf{r}_C, de forma que su densidad de carga verifica

\rho(\mathbf{r})=\rho(r')\,        \mathbf{r}'=\mathbf{r}-\mathbf{r}_C\qquad r'=|\mathbf{r}'|

Suponemos que esta distribución de carga está localizada, de forma que tiende a cero rápidamente cuando r' crece

Esta distribución de carga se mueve rígidamente, de forma que la velocidad de cada punto puede escribirse como

\mathbf{v}(\mathbf{r})=\mathbf{v}_C+\vec{\omega}\times\mathbf{r}'

Asimismo, esta distribución se encuentra en el seno de un campo electromagnético externo, de forma que cada elemento de carga se encuentra sometido a una fuerza

\mathrm{d}\mathbf{F}=\rho(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times\mathbf{B})\,\mathrm{d}\tau

2 Fuerza sobre la distribución

La fuerza neta sobre la distribución de carga será la resultante de las fuerzas diferenciales

\mathbf{F}=\int \mathrm{d}\mathbf{F}=\int\rho(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times\mathbf{B})\,\mathrm{d}\tau

Veamos cada contribución por separado.

2.1 Fuerza eléctrica

La fuerza eléctrica sobre la distribución será

\mathbf{F}_\mathrm{e}=\int \rho\mathbf{E}\,\mathrm{d}\tau

Podemos calcular una expresión aproximada para esta fuerza aplicando que la distribución de carga está localizada en torno a su centro, de manera que podemos sustituir el campo eléctrico por su desarrollo en serie de Taylor en torno al centro de la distribución

\mathbf{E}(\mathbf{r})=\mathbf{E}_C = \mathbf{r}'\cdot\mathbf{E}_C+\frac{1}{2}\mathbf{r}'\mathbf{r}':\nabla\nabla\mathbf{E}_C + \cdots

donde \mathbf{E}_C, \nabla\mathbf{E}_C, \nabla\nabla\mathbf{E}_C son constantes iguales al valor del campo y sus derivadas sucesivas en el centro de la distribución.

De esta forma la fuerza eléctrica viene dada por la serie

\mathbf{F}_\mathrm{e}= \int \rho \mathbf{E}_C\,\mathrm{d}\tau+ \int \rho \mathbf{r}'\cdot\nabla\mathbf{E}_C\,\mathrm{d}\tau + \frac{1}{2}\int \rho \mathbf{r}'\mathbf{r}':\nabla\nabla\mathbf{E}_C\,\mathrm{d}\tau+\cdots

y, sacando las constantes fuera de las integrales

\mathbf{F}_\mathrm{e}=Q\mathbf{E}_C+(\mathbf{p}\cdot\nabla)\mathbf{E}+\frac{1}{2}\mathsf{Q}:\nabla\nabla\mathbf{E}_C+\cdots

donde

Q=\int\rho\,\mathrm{d}\tau        \mathbf{p}=\int\rho\,\mathbf{r}'\,\mathrm{d}\tau        \mathsf{Q}=\int \rho\mathbf{r}'\mathbf{r}'\,\mathrm{d}\tau

Aquí Q es la carga neta de la distribución. \mathbf{p} es el momento dipolar, el cual se anula debido a la simetría de la distribución.

El término \mathsf{Q} es un tensor. Por la simetría de la distribución, este tensor es realmente un escalar, ya que

Q_{ik}=\int \rho x'_ix'_k\,\mathrm{d}\tau=0\qquad(i\neq k)

y

Q_{ii}=\int \rho {x'_i}^2\,\mathrm{d}\tau = \frac{1}{3}\int \rho r'^2 \,\mathrm{d}\tau = \gamma QR^2 \qquad (i=k)

aquí γ es un coeficiente que depende de la forma concreta de la distribución. Para una esfera cargada uniformemente en volumen vale 1/5, para una cargada en superficie es 1/3, para un decaimiento exponencial vale 4. Reuniendo los dos resultados

\mathsf{Q}=\gamma Q R^2 \mathsf{I}\,

o, empleando subíndices

\int \rho x'_ix'_j\,\mathrm{d}\tau = \gamma QR^2 \delta_{ij}

Llevando esto a la expresión de la fuerza, queda

\mathbf{F}_e = Q\mathbf{E}_C + \frac{\gamma}{2}QR^2\mathsf{I}:\nabla\nabla\mathbf{E}+\cdots

pero la contracción del tensor unidad con el gradiente del gradiente es simplemente el laplaciano

\mathbf{F}_e = Q\mathbf{E}_C + \frac{\gamma}{2}QR^2\nabla^2\mathbf{E}+\cdots

Ahora, para un campo eléctrico externo estático y debido a cargas en posiciones no coincidentes con la distribución (como es el caso del campo de un núcleo sobre un electrón), el laplaciano del campo eléctrico se anula y la fuerza se reduce a

\mathbf{F}=Q\mathbf{E}_C

Hay que señalar que el término en QR2 no es un término cuadrupolar. El término cuadrupolar se refiere a la componente simétrica de traza nula. El término que sale aquí se debe a que el centro de fuerzas eléctricas no coincide con el centro de la distribución.

2.2 Fuerza magnética

La fuerza magnética sobre la distribución será

\mathbf{F}_\mathrm{m}=\int \rho\mathbf{v}\times\mathbf{B}\,\mathrm{d}\tau

Sustituyendo la expresión de la velocidad

\mathbf{F}_\mathrm{m}=\int\rho(\mathbf{v}_C+\vec{\omega}\times\mathbf{r}')\times\mathbf{B}\,\mathrm{d}\tau

Para el primer término tenemos

\mathbf{F}_{m1}=\int \rho\mathbf{v}_C\times\mathbf{B}\,\mathrm{d}\tau = \mathbf{v}_C\times\int\rho \mathbf{B}\,\mathrm{d}\tau

Aquí podemos hacer el mismo desarrollo que para el campo eléctrico y nos queda

\mathbf{F}_{m1}=Q\mathbf{v}_C\times\mathbf{B}_C + \frac{\gamma QR^2}{2}\mathbf{v}_C\times(\nabla^2\mathbf{B})

De nuevo, si este campo magnético se debe a fuentes situadas fuera de la distribución (como el núcleo sobre un electrón), el laplaciano del campo magnético es nulo y este término se reduce a

\mathbf{F}_{m1}=Q\mathbf{v}_C\times\mathbf{B}_C

Para el segundo término desarrollamos el doble producto vectorial

\mathbf{F}_{m2}=\int \rho (\vec{\omega}\cdot\mathbf{B})\mathbf{r}'\,\mathrm{d}\tau-\int \rho \vec{\omega}(\mathbf{r}'\cdot\mathbf{B})\,\mathrm{d}\tau=\mathbf{F}_{m21}+\mathbf{F}_{m22}

Aplicando ahora la serie de Taylor para el campo magnético

\mathbf{B}=\mathbf{B}_C+\mathbf{r}'\cdot\nabla\mathbf{B}_C+\frac{1}{2}\mathbf{r}'\mathbf{r}':\nabla\nabla\mathbf{B}

obtenemos en primer lugar

\mathbf{F}_{m21}=\int \rho (\vec{\omega}\cdot\mathbf{B}_C)\mathbf{r}'\,\mathrm{d}\tau+\int_\rho(\vec{\omega}\cdot(\mathbf{r}'\cdot\nabla\mathbf{B}))\mathbf{r}'\,\mathrm{d}\tau

En primer término es nulo, por la simetría. Para el segundo, empleando subíndices

F_{m21i}=\int \rho x_i\omega_j(x'_k\partial_k B_j)\,\mathrm{d}\tau = \gamma QR^2 \delta_{ik} \omega_j\partial_k B_j = \gamma QR^2 \partial_i(\omega_jB_j)\,

o, en forma vectorial

\mathbf{F}_{m21} = \gamma QR^2 \nabla(\vec{\omega}\cdot\mathbf{B})

Para \mathbf{F}_{m22} tenemos, igualmente

\mathbf{F}_{m22}=-\int \rho \vec{\omega}(\mathbf{r}'\cdot\mathbf{B})\,\mathrm{d}\tau =-\vec{\omega}\int \rho\mathbf{r}'\cdot(\mathbf{r}'\cdot\nabla)\mathbf{B}_C)\,\mathrm{d}\tau

Empleando de nuevo subíndices

F_{m22i} = -\omega_i \int \rho x'_jx'_k\partial_k B_j\,\mathrm{d}\tau = -\omega_i \gamma QR^2 \delta_{jk}\partial_kB_j=-\omega_i \gamma QR^2 \partial_jB_j\,

En forma vectorial

\mathbf{F}_{m22}=-\vec{\omega}\gamma QR^2 \nabla\cdot\mathbf{B}

pero la divergencia del campo magnético es siempre nula, por lo que este término se anula. Nos queda por tanto la fuerza magnética

\mathbf{F}_m = Q\mathbf{v}_C\times\mathbf{B}_C+ \gamma QR^2\nabla(\vec{\omega}\cdot\mathbf{B})

2.3 Fuerza total

Sumando las fuerzas eléctrica y magnética obtenemos la fuerza neta

\mathbf{F}=Q(\mathbf{E}_C+\mathbf{v}_C\times\mathbf{B}_C)+\gamma QR^2 \nabla(\omega\cdot\mathbf{B})

Si las fuentes del campo eléctrico y magnético coinciden con lso puntos de la distribución, habrá que añadir los términos correspondientes a los laplacianos de los campos.

3 Momento sobre la distribución

De manera análoga se halla el momento de las fuerzas respecto al centro de la distribución. Este momento será

\mathbf{M}_C=\int \mathbf{r}'\times\mathrm{d}\mathbf{F}=\int\rho\mathbf{r}'\times(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times\mathbf{B})\,\mathrm{d}\tau

Como con la fuerza, consideraremos cada momento por separado

3.1 Torque eléctrico

Para el término eléctrico, aplicando de nuevo la serie de Taylor nos queda

\mathbf{M}_e=\int\rho\mathbf{r}'\mathbf{E}\,\mathrm{d}\tau=
\int \rho\mathbf{r}'\times(\mathbf{E}_C+(\mathbf{r}'\cdot\nabla)\mathbf{E}_C)\,\mathrm{d}\tau

El primer término se anula, por la simetría de la distribución. Para el segundo, empleando subíndices

M_i = \int \rho \varepsilon_{ijk}x'_jx'_r\partial_r E_k = \gamma Q R^2 \varepsilon_{ijk} \delta_{jr} \partial_rE_k = \gamma QR^2 \varepsilon_{ijk}\partial_jE_k

o, en forma vectorial,

\mathbf{M}_e= \gamma QR^2\nabla\times\mathbf{E}

Pero, si el campo externo es estacionario, este rotacional se anula y

\mathbf{M}_e=\mathbf{0}

3.2 Torque magnético

Para el torque de origen magnético sustituimos la expresión de la velocidad

\mathbf{M}_m = \int \rho \mathbf{r}'\times((\mathbf{v}_c+\vec{\omega}\times\mathbf{r}')\times\mathbf{B})\,\mathrm{d}\tau

Desglosamos en los diferentes términos e introducimos la serie de Taylor del campo magnético.

En primer lugar tenemos

\mathbf{M}_{m1}=\int \rho\mathbf{r}'\times(\mathbf{v}_C\times\mathbf{B})\,\mathrm{d}\tau = \int \rho\mathbf{r}'\times(\mathbf{v}_C\times(\mathbf{B}_C+\mathbf{r}'\cdot\nabla\mathbf{B}_C)\,\mathrm{d}\tau

Como de costumbre, el primer término, lineal en \mathbf{r}' se anula por la simetría. Para el segundo desarrollamos el doble producto vectorial

\mathbf{M}_{m1}=\mathbf{v}_C\int \rho(\mathbf{r}'\cdot((\mathbf{r}'\cdot\nabla)\mathbf{B})\,\mathrm{d}\tau-\int\rho(\mathbf{r}'\cdot\mathbf{v}_C)(\mathbf{r}'\cdot\nabla\mathbf{B}_C)\,\mathrm{d}\tau

Separamos los dos términos. Para el primero, empleando subíndices


M_i = v_i \int\rho(x'_j x'_k\partial_kB_j)\,\mathrm{d}\tau = \gamma QR^2 v_i \delta_{jk}\partial_k B_j = \gamma QR^2 v_i \partial_jB_j

o, en forma vectorial

\mathbf{M}_{m11}=\gamma QR^2 \mathbf{v}(\nabla\cdot\mathbf{B}) = \mathbf{0}

Para el segundo, empleando también subíndices

M_i = \int \rho(v_jx'_jx'_k\partial_kB_i)\,\mathrm{d}\tau = \gamma Q R^2 v_j\delta_{jk}\partial_k B_i = \gamma QR^2 v_j\partial_jB_i

Vectorialmente

\mathbf{M}_{m1}=\gamma QR^2 (\mathbf{v}_C\cdot\nabla)\mathbf{B}_C

Para el segundo término del torque magnético, en primera aproximación nos basta con el campo en el centro de la distribución de carga

\mathbf{M}_{m2} = \int \rho \mathbf{r}'\times((\vec{\omega}\times\mathbf{r}')\times\mathbf{B}_C)\,\mathrm{d}\tau =\int \rho \mathbf{r}'\times((\vec{\omega}\cdot\mathbf{B})\mathbf{r}'-(\mathbf{r}'\cdot\mathbf{B})\vec{\omega})\,\mathrm{d}\tau


En el primer producto vectorial aparece \mathbf{r}'\times\mathbf{r}', que se anula. En el segundo

M_i = -\int \rho\varepsilon_{ijk}x'_jx'_rB_r\omega_k\,\mathrm{d}\tau = -\gamma QR^2 \varepsilon_{ijk}\delta_{jr}B_r\omega_k = -\gamma QR^2 \varepsilon_{ijk}B_j\omega_k

En forma vectorial

\mathbf{M}_{m2}=\gamma QR^2 \vec{\omega}\times\mathbf{B}_C\,

Sumando los dos términos obtenemos el torque debido al campo magnético

\mathbf{M}_m = \gamma QR^2((\mathbf{v}_C\cdot\nabla)\mathbf{B}_C +\vec{\omega}\times\mathbf{B}_C)\,

3.3 Torque total

Puesto que el torque de origen eléctrico es nulo, el magnético es el total

\mathbf{M}=\mathbf{M}_e+\mathbf{M}_m = \gamma QR^2((\mathbf{v}_C\cdot\nabla)\mathbf{B}_C +\vec{\omega}\times\mathbf{B}_C)\,

4 Ecuaciones de movimiento

Aplicando las ecuaciones de la dinámica para un cuerpo rígido tenemos, para la posición del centro de masas

M \frac{\mathrm{d}\mathbf{v}_C}{\mathrm{d}t} = \mathbf{F}=Q(\mathbf{E}_C+\mathbf{v}_C\times\mathbf{B}_C)+\gamma QR^2 \nabla(\omega\cdot\mathbf{B})

y para el momento cinético

I\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}}{\mathrm{d}t}=\mathbf{M}=\gamma QR^2((\mathbf{v}_C\cdot\nabla)\mathbf{B}_C +\vec{\omega}\times\mathbf{B}_C)\,

donde hemos aplicado que, por la simetría del sistema, el tensor de inercia es un escalar y por tanto el momento cinético es proporcional a la velocidad angular

Vemos que estas ecuaciones incluyen un término de velocidad angular en la fuerza y uno de velocidad lineal en el momento, por lo que acoplan traslación y rotación.

Si admitimos que la distribución de masas es la misma que la de cargas, se cumple la relación

I = 2\gamma M R^2\,

Sin embargo, la dependencia en R2 del momento de inercia hace que se simplifique este factor en la ecuación del momento y quede

M\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}}{\mathrm{d}t}= Q((\mathbf{v}_C\cdot\nabla)\mathbf{B}_C +\vec{\omega}\times\mathbf{B}_C)\,

y vemos que esta ecuación no es consistente con la de la fuerza (que retiene términos de orden superior. Una aproximación correcta debe incluir términos de orden superior e integrales del tipo

Q_{ijkr}=\int \rho x'_ix'_jx'_kx'_r\,\mathrm{d}\tau

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