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F1 GIA SPC 2015, Nave en órbita alrededor de la Tierra

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Una pequeña nave espacial de masa m, que en primera aproximación puede considerarse como cuerpo puntual P, se encuentra en las inmediaciones de un planeta lejano de radio Rp y masa M, de manera que la energía potencial gravitatoria de la nave en una determinada posición es:


U_g(r) = -\dfrac{mMG}{r}

siendo |\overrightarrow{OP}| la distancia desde el centro O del planeta hasta la nave P, y G la constante gravitatoria universal. Inicialmente, la nave describe una órbita circular de radio ro, a una altura ho = Rp / 12 sobre la superficie del planeta. Sometida exclusivamente a la acción gravitatoria del planeta, la nave orbita a velocidad constante vo. En un determinado instante, la nave pone en marcha su motor para ascender a otra órbita circular de radio rf, concéntrica y coplanaria a la anterior, que se encuentra a una altura hf = Rp / 10, respecto de la superficie del planeta. Una vez estabilizada en la nueva órbita, la nave la recorrerá con velocidad constante vf, sólo sometida a la fuerza de gravedad ejercida por el planeta. La nave cuenta con un sofisticado motor electrostático alimentado por energía nuclear, que permite que la masa m permanezca constante.

  • Encuentre la relación que verifican los módulos de las velocidades en las órbitas inicial y final.
  • Si, considerando la nave como partícula, ΔUg es su incremento de energía potencial gravitatoria al pasar de la órbita r = ro a la órbita r = rf, y ΔK es la diferencia de energía cinética entre las dos órbitas, ¿Cuál es la relación entre el trabajo realizado por el motor, Wmot en el proceso de cambio de órbita y ΔUg y ΔK?
  • Para el cambio de órbita, la nave sigue una trayectoria plana caracterizada por la ecuación en coordenadas polares Γ:r = r(θ), y según la ley horaria r(t), expresadas a continuación


\Gamma: r(\theta) = r_o\,e^{\theta}; \qquad
r(t) = r_o\,(1+Ct), \, \mathrm{con}\quad C = \dfrac{v_o}{\sqrt{2}r_o}

Si la fuerza ejercida por el motor durante dicho cambio de órbita se expresa en la base de las coordenadas polares, \vec{\Phi}_{\mathrm{mot}} = \Phi_r\,\vec{u}_r +\Phi_{\theta}\,\vec{u}_{\theta} , ¿cómo ha de ser la ley horaria verificada por Φr para que la nave realice el movimiento descrito? </p>

  • Durante el cambio de órbita, ¿qué le ocurre al módulo del momento cinético de la nave, \vec{L}_O , medido desde el centro del planeta: su valor es constante o varía durante el movimiento?


2 Solución

2.1 Relación entre las celeridades

En cada órbita la nave realiza un movimiento circular uniforma. Entonces la aceleración debe tener componente normal. Cómo sólo está sometida a la acción de la gravedad del planeta, esta aceleración normal debe ser igual al valor de g(r) para el valor correspondiente del radio. Así, para cada radio tenemos


g_o = g(r_o) = \dfrac{v_o^2}{r_o}
\qquad
g_f = g(r_f) = \dfrac{v_f^2}{r_f}

Por otro lado, el valor de la aceleración de la gravedad para cada radio es


g_o = \dfrac{GM}{r_o^2}
\qquad
g_f = \dfrac{GM}{r_f^2}

De las primeras expresiones obtenemos


\dfrac{g_o}{g_f} = \dfrac{v_o^2 r_f}{v_f^2r_o}

y de las segundas


\dfrac{g_o}{g_f} = \dfrac{r_f^2}{r_o^2}

Igualando las dos expresiones para el cociente go / gf llegamos a


\dfrac{v_f^2}{v_o^2} = \dfrac{r_o}{r_f}

de donde


\dfrac{v_f}{v_o} = \sqrt{\dfrac{r_o}{r_f}}

Ahora hay que tener cuidado. El enunciado nos da las alturas de la nave en cada órbita, es decir, las distancias a la superficie del planeta. Los radios de las órbitas son


r_o = R_p + h_p = R_p + \dfrac{1}{12}\,R_p = \dfrac{13}{12}\,R_p

y


r_f = R_p + h_p = R_p + \dfrac{1}{10}\,R_p = \dfrac{11}{10}\,R_p

Entonces, la relación entre las celeridades es


\dfrac{v_f}{v_o} = \sqrt{\dfrac{13}{12}\,\dfrac{10}{11}} = 0.992

2.2 Trabajo realizado por el motor

El teorema de las fuerzas vivas nos dice que la variación de la energía cinética es igual al trabajo neto realizado por todas las fuerzas que actúan sobre la partícula. En el cambio de órbita hay dos fuerzas actuando sobre la nave, la del motor y la gravitatoria. Tenemos entonces

ΔK = Wmot + Wg

Por otro lado, el trabajo realizado por la gravedad es Wg = − ΔUg. Despejando en la expresión anterior tenemos

Wmot = ΔK + ΔUg

Veamos cual es la relación entre las energías potencial y gravitatoria para una altura dada. En el apartado anterior hemos visto que


g_o = \dfrac{v_o^2}{r_o} = \dfrac{GM}{r_o^2}
\Longrightarrow
v_o^2  = \dfrac{GM}{r_o}

La energía cinética es


K_o = \dfrac{m}{2}v_o^2 = \dfrac{m}{2}\dfrac{GM}{r_o} = -\dfrac{1}{2}U_o

donde hemos usado que Uo = − GM / ro, como se indica en el enunciado. Es decir, para cada órbita tenemos

K = − U / 2

Entonces la variación de energía cinética entre las dos órbitas es


\Delta K = K_f - K_o = -\dfrac{1}{2}U_f + \dfrac{1}{2}U_o = 
-\dfrac{1}{2}\,(U_f-U_o) = -\dfrac{1}{2}\Delta U_g

Por tanto, el trabajo realizado por el motor es


W_{\mathrm{mot}} = -\dfrac{1}{2}\,\Delta U_g + \Delta U_g = \dfrac{1}{2}\Delta U_g

2.3 Componente radial de la fuerza durante el cambio de órbita

Aplicando la Segunda Ley de Newton tenemos


m\vec{a} = m\vec{g} + \vec{\Phi}_{\mathrm{mot}}

Donde \vec{\Phi}_{\mathrm{mot}} es la fuerza ejercida por el motor. Despejando tenemos


\vec{\Phi}_{\mathrm{mot}} = m\vec{a} - m\vec{g}

Vamos a expresar esos dos términos en polares. Para la aceleración tenemos


m\vec{a} = m\,(\ddot{r} - r\dot{\theta}^2)\,\vec{u}_r + m\,(2\dot{r}\dot{\theta} + r\ddot{\theta})\,\vec{u}_{\theta}

Sólo nos interesa la parte radial. Para calcularla necesitamos las leyes horarias de r y θ. El enunciado no dice que


r(t) = r_0\,(1+Ct)

pero también


r(t) = r_0\,e^{\theta(t)}

Igualando las dos expresiones llegamos a

θ(t) = ln(1 + Ct)

Podemos calcular las derivadas necesarias


\begin{array}{l}
\dot{r} = C\\
\\
\ddot{r} = 0\\
\\
\dot{\theta} = \dfrac{C}{1+Ct}
\end{array}

y el término de aceleración queda


ma_r = m\,(\ddot{r} - r\dot{\theta}^2) = -\dfrac{mv_o^2}{2r_o}\,\dfrac{1}{1+Ct}

Hemos usado que C=v_o/\sqrt{2}r_o . Para el término de gravedad tenemos


m\vec{g} = -\dfrac{mGM}{r^2}\,\vec{u}_r

Esta fuerza es puramente radial. En el apartado anterior hemos visto que


GM = v_o^2r_o

Entonces


m\vec{g} = -\dfrac{mv_o^2r_o}{r^2}\,\vec{u}_r = -\dfrac{mv_o^2}{r_o}\,\dfrac{1}{(1+Ct)^2}

Ahora podemos calcular la componente radial de la fuerza ejercida por el motor


\Phi_r = ma_r -mg = \dfrac{mv_o^2}{2r_o}\,\dfrac{1-Ct}{(1+Ct)^2}

2.4 Variación del momento cinético respecto al centro del planeta

Usando coordenadas polares el vector de posición y la velocidad de la nave son


\begin{array}{l}
\vec{r} = r\,\vec{u}_r
\\
\vec{v} = \dot{r}\,\vec{u}_r + r\dot{\theta}\,\vec{u}_{\theta}
\end{array}

El momento cinético respecto al centro del planeta es


\vec{L}_O = \vec{r}\times(m\vec{v}) = mr^2\dot{\theta}\,vec{k} =
Cmr_o^2\,(1+Ct)\,\vec{k}

Derivando respecto al tiempo tenemos


\dfrac{\mathrm{d}|\vec{L}_O|}{\mathrm{d}t}
=
mr_o^2C^2 = \dfrac{mv_o^2r_o}{2}

Por otro lado, el módulo de la velocidad es


|\vec{v}|^2 = \dot{r}^2 + r^2\dot{\theta}^2 = 2r_o^2C^2 = r_ov_o^2

Con lo que la energía cinética es


K = \dfrac{1}{2}m|\vec{v}|^2 = \dfrac{mv_o^2r_o}{2}

Vemos que se cumple


\dfrac{\mathrm{d}|\vec{L}_O|}{\mathrm{d}t}=
mr_o^2C^2 = \dfrac{mv_o^2r_o}{2}

Por otro lado, el módulo de la velocidad es


|\vec{v}|^2 = \dot{r}^2 + r^2\dot{\theta}^2 = 2r_o^2C^2 = r_ov_o^2

Con lo que la energía cinética es


K = \dfrac{1}{2}m|\vec{v}|^2 = \dfrac{mv_o^2r_o}{2}

Vemos que se cumple


\dfrac{\mathrm{d}|\vec{L}_O|}{\mathrm{d}t}
=
K

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