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F1 GIA SPC 2015, Muelle vertical sometido a impacto

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Una partícula P de masa m=100\,\mathrm{g} y sometida a la acción de la gravedad \vec{g}=-g\,\vec{k} , se encuentra en equilibrio suspendida de un resorte ideal de características desconocidas. En un determinado instante que estableceremos como inicial, t = 0, la partícula recibe un impacto de corta duración, en la dirección vertical, a partir del cuál realiza un movimiento oscilatorio armónico simple en dicha dirección, según la ley horaria


z(t) = A\,\mathrm{sen}\,(\omega t)

siendo la amplitud A=2.0\,\mathrm{cm} y el período T=1.26\,\mathrm{s} .

  1. ¿Cuál es el valor de la constante recuperadora del resorte?
  2. ¿Qué velocidad inicial adquiere la partícula tras el impacto?
  3. Si el tiempo de duración del impacto que pone en movimiento el sistema es aproximadamente la décima parte del período de la oscilación, ¿cuál es el valor de la intensidad de la fuerza constante aplicada en dicho impacto?

2 Solución

2.1 Constante elástica

La masa se mueve sobre el eje vertical sometida a la acción de la gravedad y del resorte. Al aplicar la segunda ley de Newton, obtenemos la ecuación diferencial que describe el movimiento


\ddot{s} = -\dfrac{k}{m}s

donde s es la distancia de la masa a la posición de equilibrio estática (la posición de la masa cuando no oscila). Esta es la ecuación de un movimiento armónico simple con frecuencia


\omega = \sqrt{\dfrac{k}{m}}

El período de las oscilaciones es


T = \dfrac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\dfrac{k}{m}}

Los datos que nos da el enunciado son el valor de la masa y del período. Despejamos la constante elástica para obtener


k = \dfrac{m}{4\pi^2T^2} = 2.5\,\mathrm{N/m} = 25\,\mathrm{mN/cm}

Calculamos también el valor de la frecuencia angular


\omega = \dfrac{2\pi}{T} = 5.0\,\mathrm{rad/s}

2.2 Velocidad tras el impacto

Derivando respecto al tiempo la ley horaria z(t) obtenemos la velocidad de la masas en cada instante


v(t) = \dot{z} = A\omega\cos(\omega t)

En el instante inicial la velocidad es


v(0) = v_0= A\omega = 10\,\mathrm{cm/s}

2.3 Fuerza durante el impacto

El impulso mecánico es igual a la variación de cantidad de movimiento de la masa en el impacto. Suponiendo que la fuerza aplicada durante el impacto es constante en el tiempo tenemos


\Delta p = F_0\,\Delta t

El enunciado nos dice que \Delta t= T/10 = 0.126\,\mathrm{s} . La masa pasa del reposo a moverse con velocidad v0, por tanto la variación de cantidad de movimiento es

Δp = mv0

Entonces, la fuerza media aplicada durante el impacto es


F_0 = \dfrac{\Delta p}{\Delta t} = \dfrac{10mv_0}{T} = 80\,\mathrm{mN}

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