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F1 GIA SPC 2013, Satélite girando alrededor de la Tierra

De Laplace

1 Enunciado

Un satélite meteorológico realiza un movimiento circular uniforme en torno a la Tierra, describiendo ́una órbita circular a una altura de 850 km sobre la superficie. Considerando que la única fuerza significativa que actúa sobre el satélite es la debida al campo gravitatorio terrestre, ¿cuántas vueltas a la Tierra efectúa al cabo del día?


2 Solución

Si el satélite realiza un movimiento circular uniforme, su aceleración es puramente normal y vale

as = ω2Rs

Donde ω es la velocidad angular y Rs es el radio de la órbita del satélite respecto al centro de la Tierra, es decir


R_s = R_T + h = 6370 + 850 \,\mathrm{km} = 7220\,\mathrm{km}

Por otro lado, si la única fuerza que actúa sobre el satélite es la gravedad terrestre, la segunda Ley de Newton nos dice


F = m_sa \Rightarrow \dfrac{G M m_s}{R_s^2} = m_s a_s

La masa del satélite se va y nos queda que la velocidad angular es


\omega = \sqrt{\dfrac{GM}{(R_T+h)^3}}

El período de rotación del satélite es


T = \dfrac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\dfrac{(R_T+h)^3}{GM}}
=
6.09\times10^3\,\mathrm{s}

El número de vueltas que da es la duración del día dividido por este valor T


N = \dfrac{24\,\mathrm{h}}{T} \approx 14

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