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F1 GIA SPC 2013, Disco rotando alrededor de barra vertical

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Un disco de radio \sqrt{2}R y espesor no despreciable (sólido "2") se mueve respecto de un plano fijo \Pi_1\equiv OX_1Y_1 (sólido "1"). En cada instante, un punto del perímetro de la base inferior del disco está en contacto con el plano Π1, mientras que el diametralmente opuesto, se apoya sobre el eje fijo OZ1. En todo momento, las bases del disco forman un ángulo π / 4 con el plano Π1. El movimiento del disco es tal que rueda sin deslizar sobre dicho plano, en el punto de contacto A. Además, el centro C de la base inferior realiza un movimiento circular de radio R en torno al eje OZ1, en sentido horario y con velocidad de módulo constante v0. Para analizar el movimiento, se sugiere utilizar un sólido ("0") consistente en un sistema de referencia OX0Y0Z0 tal que OZ0 = OZ1 en todo instante y que se mueve de manera que el eje CC' del disco (cuya prolongación pasa por O) se encuentra en reposo en el plano OY0Z0.

  1. Trace los ejes de rotación de los movimientos {01}, {20} y {21} en el instante representado e identifique los tipos de movimiento.
  2. Encuentre la reducción cinemática y su derivada para el movimiento {21}.

2 Solución

2.1 Ejes de rotación y tipos de movimiento

La figura muestra los ejes de cada uno de los movimientos. Hay varias formas de justificar que esos son los ejes. Una posibilidad es la siguiente.

El enunciado dice que el eje OZ0 coincide en todo momento con el eje OZ1, por tanto, el eje de rotación del movimiento {01} es el OZ_0\equiv OZ_1 . Este movimiento es una rotación permanente pues el eje Δ01 es un eje fijo, siempre coincide con el ejeOZ1, que está en reposo.

Para el eje Δ20 podemos observar que los puntos C y C' están siempre en plano OY0Z0 y son puntos fijos del sólido. Es decir, son puntos fijos de los sólidos "0" y "2", por tanto, \vec{v}^{\,C}_{20} = \vec{0} y \vec{v}^{\,C'}_{20} = \vec{0} . Por tanto, el eje Δ20 pasa por esos dos puntos. Este movimiento es también una rotación permanente, pues el eje pasa por los mismos puntos del sólido "0".

El enunciado también nos dice que el disco rueda sin deslizar en A, es decir, \vec{v}^{\,A}_{21}=0 y, por tanto, el punto A tiene que estar en el eje Δ21. Por otro lado, el eje Δ21 debe pasar por el punto de corte de los ejes Δ01 y Δ20, es decir, el punto O. Por tanto tenemos \Delta_{21}\equiv OY_0 . Este movimiento es una rotación instantánea, pues el eje pasa por puntos diferentes del sólido "2" en cada instante. Otra forma de localizar este eje es imaginar un varilla solidaria con el disco que una los puntos C y O. Al girar el disco, el punto O de la varilla no se movería, es decir, \vec{v}^{\,O}_{21}=\vec{0} y tiene que estar en el eje.

2.2 Reducción cinemática

Aunque en la prueba sólo se pedía la reducción y su derivada para el movimiento {21}, vamos a calcularlas para los tres movimientos.

Analicemos la información cinemática que tenemos de los apartados anteriores y del enunciado. A partir de la identificación de los ejes tenemos las direcciones de los tres vectores rotación.


\vec{\omega}_{01} = \omega_{01}\,\vec{k}_0, \qquad
\vec{\omega}_{21} = \omega_{21}\,\vec{\jmath}_0, \qquad
\vec{\omega}_{20} = \omega_{20}\,\vec{u}_{OC}

El vector \vec{u}_{CO} es el vector unitario sobre la recta OC. El enunciado nos dice que el disco rueda sin deslizar en el punto A, por tanto \vec{v}^{\,A}_{21}=\vec{0} . También podemos fijarnos en el punto C. Es un punto especial del disco pues realiza un movimiento circular, y pertenece a la vez al sólido "0" y al "2", es decir


\vec{v}^{\,C}_{20} =  \vec{0}, 
\qquad
\vec{v}^{\,C}_{21} = v_0\,\vec{\imath}_0

Con esta información, analizamos los tres movimientos.

2.2.1 Movimiento {01}

Tenemos \vec{\omega}_{01} = \omega_{01}\,\vec{k}_0 y también \vec{v}^{\,O}_{01} = \vec{0} . Necesitamos la velocidad en otro punto, por ejemplo el C. Aplicando la composición de velocidades tenemos


\vec{v}^{\,C}_{21} = \vec{v}^{\,C}_{20} + \vec{v}^{\,C}_{01}
\Longrightarrow
\vec{v}^{\,C}_{01} = \vec{v}^{\,C}_{21} = v_0\,\vec{\imath}

Ahora usamos la ecuación del campo de velocidades del movimiento {01} para determinar el vector rotación


\vec{v}^{\,C}_{01} = \vec{v}^{\,O}_{01} + \vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OC}

Como la base del disco forma un ángulo π / 4 con la horizontal, vemos que


\overline{OC} = \overline{BC} = \sqrt{2}R

y el ángulo que forma \overrightarrow{OC} con la horizontal es π / 4. Por tanto


\overrightarrow{OC} = \sqrt{2}R\,\left(\cos(\pi/4)\,\vec{\jmath}_0 + \mathrm{sen}\,(\pi/4)\,\vec{k}_0\right)
=
R\,\vec{\jmath}_0 + R\,\vec{k}_0

El producto vectorial es


\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OC} = 
\left(\omega_{01}\,\vec{k}_0\right) \times \left(R\,\vec{\jmath}_0 + R\,\vec{k}_0\right) = -\omega_{01}R\,\vec{\imath}_0

Igualando con \vec{v}^{\,C}_{01} tenemos


\vec{\omega}_{01} = -\dfrac{v_0}{R}\,\vec{k}_0

y la reducción cinemática es


\vec{\omega}_{01} = -\dfrac{v_0}{R}\,\vec{k}_0,
\qquad
\vec{v}^{\,O}_{01} = \vec{0}

Podemos calcular su derivada temporal. Tenemos


\vec{\alpha}_{01} = \left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{01}}{\mathrm{d}t}\right|_{1} = 
-\dfrac{v_0}{R}\left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{k}_{0}}{\mathrm{d}t}\right|_{1} = \vec{0}

El vector \vec{k}_0 y el \vec{k}_1 son el mismo, por lo que no cambia observado desde el sólido "1". Por otro lado, al ser una rotación permanente , la velocidad de los puntos del eje es siempre nula, es decir


\vec{a}^{\,O}_{01} = \vec{0}

2.2.2 Movimiento {21}

Sabemos que \vec{\omega}_{21} = \omega_{21}\vec{\jmath}_0 , y conocemos las velocidades en los puntos A y C. Podemos usar el teorema de Chasles aplicado al movimiento {21} para determinar el vector rotación.


\vec{v}^{\,C}_{21} =  \vec{v}^{\,A}_{21} + \vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{AC}

El vector geométrico \overrightarrow{AC} es


\overrightarrow{AC} = \sqrt{2}R\,\left(-\cos(\pi/4)\,\vec{\jmath}_0 + \mathrm{sen}\,(\pi/4)\,\vec{k}_0\right)
=
-R\,\vec{\jmath}_0 + R\,\vec{k}_0

El producto vectorial es


\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{AC} = 
\left(\omega_{21}\,\vec{\jmath}_0\right) \times \left(-R\,\vec{\jmath}_0 + R\,\vec{k}_0\right) = \omega_{21}R\,\vec{\imath}_0

Entonces, la reducción cinemática en el punto C es


\vec{\omega}_{21} = \dfrac{v_0}{R}\,\vec{\jmath}_0,
\qquad
\vec{v}^{\,C}_{21} = v_0\,\vec{\imath}_0

y en el punto A


\vec{\omega}_{21} = \dfrac{v_0}{R}\,\vec{\jmath}_0,
\qquad
\vec{v}^{\,A}_{21} = \vec{0}

Para calcular su derivada temporal es más fácil usar la reducción en C. Para la aceleración angular tenemos


\vec{\alpha}_{21} = \left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{21}}{\mathrm{d}t}\right|_{1} = 
\dfrac{v_0}{R}\left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{\jmath}_{0}}{\mathrm{d}t}\right|_{1} =  
\dfrac{v_0}{R} \left(\vec{\omega}_{01}\times\vec{\jmath}_0\right)
=
\dfrac{v_0^2}{R^2}\,\vec{\imath}_0

El punto C es especial, porque su velocidad siempre es \vec{v}^{\,C}_{21} = v_0\,\vec{\imath}_0 . Podemos entonces derivarla para calcular la aceleración


\vec{a}^{\,C}_{21} = 
\left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{v}^{\,C}_{21}}{\mathrm{d}t}\right|_1
=
v_0\,\left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{\imath}_{0}}{\mathrm{d}t}\right|_1
=
v_0\,\left(\vec{\omega}_{01}\times\vec{\imath}_0\right)
=
-\dfrac{v_0^2}{R}\,\vec{\jmath}_0

Ahora podemos usar la ecuación del campo de aceleraciones del movimiento {21} para calcular \vec{a}^{\,A}_{21}


\vec{a}^{\,A}_{21} = \vec{a}^{\,C}_{21} + \vec{\alpha}_{21}\times\overrightarrow{CA} + 
\vec{\omega}_{21}\times(\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{CA})

Teniendo en cuenta que \overrightarrow{CA} = -\overrightarrow{AC} tenemos


\vec{a}^{\,A}_{21} = \dfrac{2v_0^2}{R}\,\vec{k}_0

2.2.3 Movimiento {20}

Resolvemos este movimiento usando las leyes de composición de la composición {21} = {20} + {21}. Para el vector rotación instantánea tenemos


\vec{\omega}_{21} = \vec{\omega}_{20} + \vec{\omega}_{01}
\Longrightarrow
\vec{\omega}_{20} = \vec{\omega}_{21} - \vec{\omega}_{01}  
=
\dfrac{v_0}{R}\,\left(\vec{\jmath}_0 - \vec{k}_0\right)

Tenemos la velocidad en C para este movimiento


\vec{v}^{\,C}_{20} =  \vec{0}

Para la aceleración angular


\vec{\alpha}_{21} = \vec{\alpha}_{20} + \vec{\alpha}_{01} + 
\vec{\omega}_{01}\times\vec{\omega}_{20}
\Longrightarrow
\vec{\alpha}_{20} = \vec{\alpha}_{21} - \vec{\alpha}_{01} - 
\vec{\omega}_{01}\times\vec{\omega}_{20}
=
\vec{0}

Por último, vemos que


\vec{a}^{\,C}_{20} = \vec{0}

Pues el punto C es un punto fijo de los sólidos "2" y "0" y por tanto \vec{v}^{\,C}_{20} es siempre nula.

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