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F1 GIA PPC 2014, Partícula con movimiento circular sobre un plano

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Una partícula P realiza un movimiento circular uniforme. En el instante inicial t = 0 se encuentra en el origen O de un sistema de referencia cartesiano OXYZ. En dicho instante, su velocidad y aceleración instantánea son magnitudes conocidas, descritas respectivamente por los vectores:


\vec{v}_0 = v_0\,\vec{\jmath}; \qquad \vec{a}_0 = \dfrac{\sqrt{2}}{2}a_0(-\vec{\imath} + \vec{k})

  1. Calcule el vector unitario perpendicular al plano Π que contiene a la trayectoria Γ de la partícula.
  2. Calcula el vector que indica la posición del centro C de la trayectoria, respecto al origen O.
  3. Calcula el vector rotación instantánea que caracteriza al movimiento descrito.
  4. ¿Cuánto tiempo tarda la partícula en completar una vuelta?

2 Solución

2.1 Vector normal

En un movimiento circular los vectores velocidad y aceleración están en el plano del movimiento. Para conseguir un vector perpendicular hacemos su producto vectorial


\vec{v}_0\times\vec{a}_0 = \dfrac{v_0a_0}{\sqrt{2}}(\vec{\imath}+\vec{k})

Para obtener un vector unitario dividimos este vector por su módulo. Obtenemos


\vec{n} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}(\vec{\imath}+\vec{k})

2.2 Posición del centro de la trayectoria

Para llegar desde el punto O hasta el centro de la circunferencia tenemos que mover en la dirección y sentido del vector normal a la trayectoria una distancia igual al radio de curvatura.

Nos dicen que la partícula realiza un movimiento circular uniforme. Entonces el vector aceleración es paralelo al vector normal \vec{N}, es decir


\vec{a}_N = a_N\,\vec{N}

Por tanto


\vec{N} = \dfrac{\vec{a}_0}{|\vec{a}_0|} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}(-\vec{\imath} + \vec{k})

Por otra parte, el radio de la circunferencia es igual al radio de curvatura de la trayectoria. Tenemos


R = R_{\kappa} = \dfrac{|\vec{v}_0|^2}{a_N} = \dfrac{v_0^2}{|\vec{a}_0|}
=
\dfrac{v_0^2}{a_0}

Entonces la posición del centro de la circunferencia viene dada por el vector


\overrightarrow{OC} = R_{\kappa}\vec{N} = \dfrac{v_0^2}{\sqrt{2}a_0}(-\vec{\imath} + \vec{k})

2.3 Vector rotación

El vector rotación tiene que ser perpendicular al plano de la trayectoria, es decir


\vec{\omega} = \omega\,\vec{n}

Por otro lado, la velocidad en cada instante se puede calcular a partir de \vec{\omega} y el vector de posición respecto del centro de la circunferencia


\vec{v}_0 = \vec{\omega}\times\overrightarrow{CO} = 
\left(\omega\,\vec{n}\right)\times\overrightarrow{CO}
=
\omega\dfrac{v_0^2}{a_0}\,\vec{\jmath}

Por otro lado el enunciado nos dice


\vec{v}_0 = v_0\,\vec{\jmath}

Comparando las dos expresiones tenemos que


\omega = \dfrac{a_0}{v_0}

Y el vector rotación es


\vec{\omega} = \dfrac{a_0}{\sqrt{2}v_0}(\vec{\imath} + \vec{k})

Otra forma de calcular ω es utilizar el hecho de que los módulos de \vec{\omega} y \vec{v}_0 se relacionan a través del radio de la circunferencia


|\vec{v}_0| = |\vec{\omega}|R_{\kappa}  = \dfrac{a_0}{v_0}

2.4 Tiempo empleado en dar una vuelta

El movimiento circular uniforme es periódico con período


T = \dfrac{2\pi}{\omega} = \dfrac{2\pi v_0}{a_0}

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