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F1 GIA PPC 2014, Partícula colgando de dos muelles en ángulo recto

De Laplace

1 Enunciado

Los resortes AP y BP , tienen longitudes naturales l1 = 2a y l2 = 2a, respectivamente, pero se desconoce el valor de sus correspondientes constantes recuperadoras k1 y k2. Cada resorte tiene uno de sus extremos conectados a sendos puntos fijos A y B de un plano horizontal, que se hallan separados una distancia de valor 5a. Los extremos libres de los resortes se conectan a una partícula P. La masa de dicha partıcula tiene un valor m tal que el sistema alcanza el equilibrio estático. En dicha situación, se comprueba que las direcciones AP y BP son perpendiculares entre sí y que la AP forma un ángulo θ con la horizontal, tal que su coseno vale 3 / 5.

  1. ¿Que relación verifican las constantes recuperadoras de los resortes?
  2. Encuentre cuanto vale la masa en función de las constantes de los resortes.

2 Solución

2.1 Fuerzas que actúan sobre la partícula

La partícula está sometida a la acción de tres fuerzas activas: su peso, la del muelle anclado en A y la del muelle anclado en B. Por otro lado, su posición no esta sometida a ninguna restricción, es decir, es libre. Por tanto, no hay fuerzas de reacción vincular. La figura de la derecha indica las fuerzas que actúan sobre la partícula y su dirección.

Vamos a expresar esas fuerzas en función de la posición de la partícula utilizando los ejes indicados en la figura. El peso es


m\vec{g} = mg\,\vec{\imath}

Los muelles tienen longitud natural no nula. Para el muelle anclado en A la fuerza puede calcularse como


\vec{F}_A = -k_1(l_A - l_1)\,\vec{u}_{AP}

Aquí, lA es la elongación del muelle, y \vec{u}_{AP} es un vector unitario sobre la recta que une los puntos A y P. La elongación del muelle es la longitud del segmento \overline{AP}. Del triángulo rectángulo APB obtenemos


\overline{AP} = 5a\cos\theta = 3a

El vector unitario \vec{u}_{AP} forma un ángulo θ con el eje AY. Su proyección en los ejes es


\vec{u}_{AP} = \mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath} + \cos\theta\,\vec{\jmath}

Teniendo en cuenta que l1 = 2a, la fuerza es


\vec{F}_A = -k_1a (\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath} + \cos\theta\,\vec{\jmath})

Hacemos lo mismo para el muelle anclado en B. Tenemos


\vec{F}_B = -k_2(l_B-l_2)\,\vec{u}_{BP}

La elongación es


\overline{BP} = 5a\,\mathrm{sen}\,\theta

Obtenemos el valor de \mathrm{sen}\,\theta a partir del coseno


\mathrm{sen}\,\theta = \sqrt{1-\cos^2\theta} = \dfrac{4}{5}

Por tanto


\overline{BP} = 4a

El vector es


\vec{u}_{BP} = (\cos\theta\,\vec{\imath} - \mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath})

Teniendo en cuenta que el enunciado nos dice que l2 = 3a, la fuerza \vec{F}_B queda


\vec{F}_B = -k_2a(\cos\theta\,\vec{\imath} - \mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath})

La condición de equilibrio es que la suma de las fuerzas sea cero


m\vec{g} + \vec{F}_A + \vec{F}_B = \vec{0}

De esta ecuación vectorial obtenemos dos ecuaciones escalares, una por cada componente


\begin{array}{ll}
(X): & mg -k_1a\,\mathrm{sen}\,\theta - k_2a\cos\theta\\
&\\
(Y): & -k_1a\cos\theta + k_2a\,\mathrm{sen}\,\theta
\end{array}

De la segunda ecuación obtenemos


\dfrac{k_1}{k_2} = \dfrac{\mathrm{sen}\,\theta}{\cos\theta} = 
\dfrac{4}{3}

De la otra ecuación obtenemos el valor de la masa


m = \dfrac{a}{5g}(4k_1+3k_2)

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