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Fórmulas posiblemente con dimensiones incorrectas

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Teniendo en cuenta las dimensiones calculadas en el problema anterior, indique cuáles de las siguientes expresiones son necesariamente incorrectas:

a) \displaystyle W = \frac{1}{2}mv^2 + gy
b) \displaystyle v=\frac{x-1}{t-2}
c) \displaystyle P = m\frac{(v^2/R - a)}{(t-x/v)}(x-\pi R^2)
d) \displaystyle \int_0^T \vec{F}\,\mathrm{d}t = \frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}t}\vec{v}+ m\vec{a}t
e)\displaystyle \int_{t_1}^{t_2}\frac{P-\vec{v}\cdot(\vec{a}+\vec{p}/m)}{v^2}\,\mathrm{d}t = \frac{m(t-2/t)}{v}
f) \displaystyle \int_0^T (P-\vec{F}\cdot\vec{v})\,\mathrm{d}t = mgh + \frac{p^2}{2m}
g) \vec{r}\times\vec{L} = R^2\vec{p}
h) \displaystyle \vec{M} = \vec{r}\times\vec{F}+\vec{v}\times\vec{p}

2 Caso (a)

Para que una fórmula sea dimensionalmente correcta los dos miembros de la ecuación deben tener las mismas dimensiones, y lo mismo debe ocurrir con cada uno de los sumandos de las sumas o diferencias que aparezcan en ella.

En el primer caso

W = \frac{1}{2}mv^2 + gy

tenemos que el trabajo tiene dimensiones de masa por velocidad al cuadrado

[W]= M L^2T^{-2}\,

De los términos del segundo miembro, el primero tiene claramente las mismas dimensiones que este

\left[\frac{1}{2}mv^2\right] = [m][v]^2 = M(LT^{-1})^2 = ML^2T^{-2}\,

mientras que el segundo tiene las dimensiones de una aceleración por una distancia

[gy] = [a][y] = \left(LT^{-2}\right)L = L^2T^{-2}\,

Puesto que aquí no hay ninguna potencia de la masa, que si aparece en los otros dos términos, esta fórmula es necesariamente incorrecta.

3 Caso (b)

La formula

\displaystyle v=\frac{x-1}{t-2}

podría parecer correcta a primera vista. Después de todo, la velocidad tiene dimensiones de distancia dividida por tiempo. Sin embargo no es correcta. La razón está en ese “1” y ese “2” del numerador y el denominador. Si no se dice otra cosa, un número, como el 2, es una cantidad adimensional. Por tanto en el denominador estamos restando una cantidad adimensional a una que sí tiene dimensiones (tiempo), lo que viola el principio de homogeneidad.

Para que una fórmula de este tipo (de las que aparecen a menudo en problemas de libros de texto) sea correcta, debe especificarse previamente que se sobreentiende que todas las unidades están en el SI, de forma que el 1 del numerador quiere decir en realidad "1\thinsp;m" y el 2 del denominador es en realidad “2\thinsp;s”.

Si no se hace así, o se usan unidades que no son del SI, es muy posible que los cálculos de un problema conduzcan a error. Por ejemplo, si se dice que la densidad del agua es “1”, y nada más, y se sustituye así en las fórmulas, casi seguro van a obtenerse resultados incorrectos, ya que realmente es “1\thinso;g/cm³” (o, en el SI 1000\thinsp;kg/m³)


4 Caso (c)

En la expresión

P = m\frac{(v^2/R - a)}{(t-x/v)}(x-\pi R^2)

aparecen muchos factores que habría que analizar por separado. Sin embargo, es fácil ver que esta fórmula es incorrecta. En el último factor tenemos la combinación

(x-\pi R^2)\,

en la cual se suma una longitud (de dimensión L) con un área (de dimensión L2), lo cual es incorrecto y por ello toda la fórmula está mal.


5 Caso (d)

En la fórmula

\int_0^T \vec{F}\,\mathrm{d}t = \frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}t}\vec{v}+ m\vec{a}t

aparece una integral, que no es más que una suma de muchas cantidades muy pequeñas. Como toda suma, los sumandos deben ser dimensionalmente equivalentes y el resultado tiene las mismas dimensiones que cualquiera de ellos. En este caso

\left[\int_0^T \vec{F}\,\mathrm{d}t\right] = [F][t]=MLT^{-1}

En el segundo miembro tenemos, para el primer sumando

\left[\frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}t}\right] = \frac{[m]}{[t]}[v] = \frac{M}{T}LT^{-1} = M LT^{-2}

Estas dimensiones no coinciden con las del primer miembro, por lo que ya no hace falta seguir. Esta fórmula es necesariamente incorrecta.

6 Caso (e)

Para la fórmula

\int_{t_1}^{t_2}\frac{P-\vec{v}\cdot(\vec{a}+\vec{p}/m)}{v^2}\,\mathrm{d}t = \frac{m(t-2/t)}{v}

el razonamiento es idéntico al del caso (c). En el numerador del segundo miembro se resta de un tiempo (de dimensión T) la inversa de un tiempo (de dimensión T − 1) lo cual no es admisible y no hace falta seguir.


7 Caso (f)

Para la fórmula

\int_0^T (P-\vec{F}\cdot\vec{v})\,\mathrm{d}t = mgh + \frac{p^2}{2m}

Analizamos en primer lugar el paréntesis del integrando

[P] = ML^2T^{-3}\,        \left[\vec{F}\cdot\vec{v}\right] = [F][v] = (MLT^{-2})(LT^{-1}) = ML^2T^{-3}

por lo que la suma es dimensionalmente correcta. Las dimensiones de la integral son

\left[\int_0^T (P-\vec{F}\cdot\vec{v})\,\mathrm{d}t\right] =[P][t] = ML^2T^{-2}

Para el segundo miembro, el primer sumando tiene por dimensiones

[mgh] = [m][g][h] = M(LT^{-2})L = ML^2 T^{-2}\,

que son las mismas del primer miembro. Para el segundo sumando

\left[\frac{p^2}{2m}\right] = \frac{[p]^2}{[m]} = \frac{(MLT^{-1})^2}{M} = ML^2T^{-2}

Por tanto, la fórmula es dimensionalmente correcta.

8 Caso (g)

En este

\vec{r}\times\vec{L} = R^2\vec{p}

el primer miembro tiene dimensiones de un momento cinético por una distancia

\left[\vec{r}\times\vec{L}\right] = [r][L] = L(ML^2T^{-1}) = ML^3T^{-1}

y el segundo de una cantidad de movimiento por una superficie

\left[R^2\vec{p}\right] = L^2(MLT^{-1}) = ML^3T^{-1}

Puesto que las dimensiones de los miembros son coincidentes, esta fórmula puede ser correcta. Lo que no quiere decir que lo sea.


9 Caso (h)

En el tercer caso

\vec{M} = \vec{r}\times\vec{F}+\vec{v}\times\vec{p}

El primer miembro es el momento de una fuerza, que tiene la misma ecuación dimensional que el trabajo

[M]= M L^2 T^{-2}\,

En el segundo miembro tenemos, para el primer término

\left[\vec{r}\times\vec{F}\right] = [r][F]=L(MLT^{-2}) = M L^2T^{-2}

y para el segundo

\left[\vec{v}\times\vec{p}\right]= [v][p]= (LT^{-1})(MLT^{-1}) = ML^2T^{-2}

Puesto que todos los términos tienen las mismas dimensiones, la fórmula puede ser correcta.

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