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Espira doble rotatoria

De Laplace

1 Enunciado

Se construye una espira doble, soldando una barra a una espira cuadrada de lado 3a\,. La barra une dos lados opuestos y está situada a una distancia a\, de uno de los lados. Tanto la barra como la espira

cuadrada están hechas de un alambre metálico de sección A y conductividad σ.

La espira gira en torno de la barra con velocidad angular ω, en el seno de un campo magnético uniforme \mathbf{B}_0, perpendicular a la barra. En t = 0 el plano de la espira es perpendicular al campo magnético.

  1. Calcule la corriente que circula en cada alambre como función del tiempo.
  2. Halle la energía disipada en un periodo de revolución. ¿En qué se va esta energía? ¿De donde procede?

2 Corrientes en la espira

Podemos modelar este sistema como un circuito con dos mallas. Se trata de hallar la resistencia de cada rama y la fuerza electromotriz en cada malla. La aplicación de las leyes de Kirchhoff nos da la corriente en cada alambre.

Si llamamos R\, a la resistencia de un tramo de longitud a\,

R=\frac{a}{\sigma S}

entonces el circuito está formado por tres conductores filiformes, con resistencias proporcionales a R\,.

Para el rectángulo de anchura a\,, la resistencia del tramo exterior es R_1=5R\,, la de la barra común es R_2=3R\,. La resistencia del tramo exterior de la otra malla es R_3=7R\,.

La fuerza electromotriz en cada malla se obtiene aplicando la ley de Faraday.

Considerando en ambas mallas el sentido de recorrido indicado en la figura, la f.e.m. es, en cada caso

\mathcal{E}_1 = -\frac{\mathrm{d}\Phi_{m1}}{\mathrm{d}t}=-\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(3B_0a^2\cos(\omega t)\right)= 3B_0a^2\omega \,\mathrm{sen}(\omega t) = \mathcal{E}_0\,\mathrm{sen}(\omega t)
\mathcal{E}_2 = -\frac{\mathrm{d}\Phi_{m2}}{\mathrm{d}t}=-\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(6B_0a^2\cos(\omega t)\right)= 2\mathcal{E}_0\,\mathrm{sen}(\omega t)

Al estar rotando el sistema en un campo uniforme, el resultado es la generación de corriente alterna en cada malla.

Aplicando ahora las leyes de Kirchhoff en cada malla obtenemos el sistema de ecuaciones

I_1+I_2+I_3=0\,


3RI_2-5RI_1=\mathcal{E}_0\,\mathrm{sen}(\omega t)


7RI_3-3RI_2 =2\mathcal{E}_0\,\mathrm{sen}(\omega t)

con solución

I_1= -\frac{16\mathcal{E}_0\,\mathrm{sen}(\omega t)}{71R}

I_2= -\frac{3\mathcal{E}_0\,\mathrm{sen}(\omega t)}{71R}

I_3= \frac{19\mathcal{E}_0\,\mathrm{sen}(\omega t)}{71R}

3 Energía disipada

La energía disipada en el circuito se va en forma de calor por efecto Joule, siendo la potencia disipada instantáneamente

P = \sum_i R_iI_i^2 = 5RI_1^2+3RI_2^2 + 7RI_3^2 = \frac{54\mathcal{E}_0^2}{71R}\,\mathrm{sen}^2(\omega t)

Para hallar la energía disipada en un periodo calculamos la integral

W_d = \int_0^T P\,\mathrm{d}t = \frac{54\mathcal{E}_0^2}{71R}\int_0^T \,\mathrm{sen}^2(\omega t)\,\mathrm{d}t =\frac{27\mathcal{E}_0^2T}{71R}

Sustituyendo el valor de \mathcal{E}_0

W_d =\frac{486\pi a^4B_0^2\omega}{71R}

Esta energía se va en forma de calor. Es introducida en el sistema por el agente mecánico que hace girar la espira, ya que éste debe vencer las fuerzas magnéticas que el campo ejerce sobre las corrientes inducidas.

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