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Espira cuadrada rotatoria en un campo magnético

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Una espira cuadrada de lado a=2\,\mathrm{cm}, de hilo de cobre de sección A=0.5\,\mathrm{mm}^2 gira con frecuencia f=400\,\mathrm{Hz} en el interior de un campo magnético uniforme de módulo B_0=200\,\mathrm{mT}. El eje de giro es perpendicular al campo magnético.
  1. Determine la corriente que se induce en la espira.
  2. Calcule la potencia instantánea disipada en la espira y la energía total disipada en un periodo de giro.

2 Cálculo de la intensidad

Éste es un ejemplo elemental de generador de corriente alterna. La corriente se obtiene por aplicación directa de la ley de Faraday
\mathcal{E}=-\frac{\mathrm{d}\Phi_m}{\mathrm{d}t}

El flujo magnético es igual a

\Phi_m=\int_S\mathbf{B}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}=\mathbf{B}_0\cdot\mathbf{n}S

por ser \mathbf{B}_0 uniforme. El producto escalar es igual al producto de los módulos por el coseno del ángulo que forman, el cual varía uniformemente con el tiempo

\Phi_m=B_0a^2\cos(\omega t)\,

Derivando obtenemos la fuerza electromotriz.

\mathcal{E}=B_0a^2\omega\,\mathrm{sen}(\omega t)=\mathcal{E}_0\mathrm{sen}(\omega t)

Vemos que este sistema se comporta como un generador de corriente alterna. Sustituyendo los valores numéricos

\omega = 800\pi\,\mathrm{s}^{-1} = 2513\,\mathrm{s}^{-1}\,


\mathcal{E}_0=0.20\,\mathrm{V}

La corriente que circula por la espira es igual a

I=\frac{\mathcal{E}}{R}=\frac{B_0a^2\omega}{R}\mathrm{sen}(\omega t)

donde la resistencia vale

R=\frac{4a}{\sigma A} = 2.7\,\mathrm{m}\Omega

y la amplitud de la intensidad

I_0=\frac{\mathcal{E}_0}{R}=\frac{B_0aA\sigma\omega}{4} = 74\,\mathrm{A}

3 Cálculo de la potencia

Podemos calcular la potencia disipada en el conductor por aplicación de la ley de Joule

P=I^2R = \mathcal{E}I = \mathcal{E}_0I_0\,\mathrm{sen}^2(\omega t)

Esta potencia es oscilante, pero siempre positiva. La energía total disipada en un periodo es positiva

W_d = \int_0^T P\,\mathrm{d}t = \mathcal{E}_0I_0\int_0^T \mathrm{sen}^2(\omega t)\mathrm{d}t =
\frac{\mathcal{E}_0I_0T}{2}

Sustituyendo los valores numéricos resulta, para la potencia máxima

P_0=\mathcal{E}_0I_0=14.9\,\mathrm{W}

y para la energía disipada en un periodo

W_d= 19\,\mathrm{mJ}

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