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Espira con barra deslizante y generador real

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Una espira plana rectangular de autoinducción despreciable está formada por dos raíles perfectamente conductores de longitud \displaystyle b, separados una distancia a. Los raíles están conectados por uno de sus extremos a una resistencia eléctrica de valor \displaystyle R (resistencia de carga) y por el otro a un generador real de fuerza electromotriz constante \mathcal{E}_0 y resistencia interna \displaystyle R_g, según se muestra en la figura. Además, una barra perfectamente conductora se mueve con velocidad constante \mathbf{v}, manteniéndose siempre en contacto con los raíles y perpendicular a ellos. La espira se encuentra sometida a un campo magnético constante y uniforme \mathbf{B}_0, perpendicular al plano que contiene a la espira.
  1. Obtenga las fuerzas electromotrices totales en cada malla del circuito y las intensidades de corriente eléctrica que recorren las diferentes ramas.
  2. Calcule la fuerza magnética ejercida sobre la barra móvil, así como la fuerza exterior que se la ha de aplicar para que se mueva según las condiciones del enunciado. Describa la dependencia del sentido de esta fuerza con la velocidad y el sentido de movimiento de la barra.
  3. Realice un balance energético en el sistema: calcule la potencia disipada por efecto Joule en la resistencia de carga, la potencia suministrada por el generador real al resto del sistema y el trabajo que por unidad de tiempo realiza la fuerza externa (potencia mecánica).
  4. La potencia eléctrica suministrada por el generador real y la potencia mecánica realizada por la fuerza exterior, ¿son siempre positivas? Analice cómo depende el signo de éstas de la rapidez y sentido de movimiento de la barra y explique en cada caso dónde se produce y dónde se absorbe la energía en el sistema.

2 Introducción

Adoptamos un sistema de referencia cartesiano cuyas direcciones X y Z van a estar definidas, respectivamente, por la dirección de movimiento de la barra conductora y por la dirección del campo magnético uniforme. Es decir,

\mathbf{v}=v \mathbf{u}_x\ \mathrm{;}\qquad \mathbf{B}_0=B_0 
\mathbf{u}_z

En el enunciado se indica que tanto \displaystyle B_0 como \displaystyle v, van a ser valores constantes. Por otra parte, podemos considerar sin pérdida de generalidad que \displaystyle B_0 es una cantidad positiva (el sentido del eje OX es el del campo magnético); sin embargo, la celeridad \displaystyle v va a ser es un número real cuyo signo indica el sentido de movimiento de la barra conductora.

3 Fuerzas electromotrices e intensidades de corriente

La ley de Faraday establece que en la espira \partial\Sigma formada por los raíles, la resistencia de carga y el generador real se induce una fuerza electromotriz opuesta a la variación del flujo del campo magnético \mathbf{B} a través de dicha espira. Obsérvese que dicho campo es total resultante de la superposición del campo constante uniforme \mathbf{B}_0 y el creado por las corrientes eléctricas que circulen por el sistema. Sin embargo, en el enunciado se indica de que la autoinducción de la espira es despreciable; por tanto, podemos considerar que sólo el campo exterior \mathbf{B}_0 contribuye de manera significativa al flujo magnético a través de la superficie \displaystyle\Sigma cuyo borde es la espira \partial\Sigma:

\Phi_m\rfloor_{\Sigma}=\int_{\Sigma}\!\!\mathbf{B}\cdot\mathrm{d}
\mathbf{S}=\int_{\Sigma}\!\!\mathbf{B}_0\cdot\mathrm{d}
\mathbf{S}+LI\!\!\!\!\mathop{\searrow}_0\simeq\int_{\Sigma}\!\!\mathbf{B}_0\cdot\mathrm{d}
\mathbf{S}

Obsérvese que este flujo magnético es constante en el tiempo, ya que, tanto la superficie \displaystyle\Sigma como el campo magnético \mathbf{B}_0no cambian el tiempo y, además, este último es uniforme. En consecuencia, el valor neto de la fuerza electromotriz inducida en la espira \partial\Sigma es nulo.

Sin embargo, la barra conductora móvil en contacto con los railes determina sendos circuitos, \partial \Sigma_1 y \partial \Sigma_2, ambos de forma variable, en los que sí podrán inducirse fuerzas electromotrices por variación del flujo magnético. Calculemos los flujos magnéticos a través de cada uno de ellos, considerando de nuevo que las autoinducciones e inducciones mutuas en dichos circuitos son despreciables y que, por tanto, sólo el campo \mathbf{B}_0 tiene una contribución significativa. Tomando los diferenciales de superficie en todos sus puntos con la dirección y sentido del campo magnético, se tendrá:

\begin{array}{l}\mathrm{d} \mathbf{S}_1=\mathrm{d} \mathbf{S}_2=\mathrm{d}S\ \mathbf{u}_z\\ \\ \displaystyle \Phi_m\rfloor_{\Sigma_1}=\int_{\Sigma_1}\!\!\mathbf{B}_0\cdot\mathrm{d} \mathbf{S}_1=B_0\int_{\Sigma_1}\!\!\mathrm{d}S
=B_0 a x(t) \\ \\ \displaystyle\Phi_m\rfloor_{\Sigma_2}=\int_{\Sigma_2}\!\!\mathbf{B}_0\cdot\mathrm{d}
\mathbf{S}_2=B_0\int_{\Sigma_2}\!\!\mathrm{d}S=B_0 a [b-x(t)]
\end{array}

Como puede comprobarse, ambos flujos parciales son funciones del tiempo al serlo también la variable geométrica x(t) que indica la posición de la barra móvil a lo largo del tiempo. Según la ley de Faraday, el cambio temporal de dichos flujos da lugar a la aparición de sendas fuerzas electromotrices inducidas en los circuitos \partial \Sigma_1 y \partial\Sigma_2:

\begin{array}{l}\displaystyle\mathcal{E}_1^\mathrm{ind}=-\frac{\mathrm{d}\Phi_m}{\mathrm{d}t}\bigg\rfloor_{\Sigma_1}=-B_0 a\ \frac{\mathrm{d}x(t)}{\mathrm{d}t}=-B_0 a v\\ \\ \displaystyle\mathcal{E}_2^\mathrm{ind}=-\frac{\mathrm{d}\Phi_m}{\mathrm{d}t} \bigg\rfloor_{\Sigma_2}=-B_0 a\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\big[b-x(t)\big]=B_0 a v\end{array}

En las expresiones anteriores se ha tenido en cuenta que la derivada temporal de la variable x(t) es, precisamente, la celeridad $v$ que caracteriza al movimiento rectilíneo uniforme de la barra. Nótese que estas f.e.m. inducidas son opuestas, lo cual es coherente con la consideración inicial de que la f.e.m. neta inducida en la espira (sin la barra móvil), debe ser nula.

Por otra parte, tal como se muestra en el circuito equivalente de la siguiente figura, el sentido de estas fuerzas electromotrices ha de ser consistente con el sentido propuesto para la intensidad de corriente que recorre cada circuito que, a su vez, está determinado por el sentido adoptado para los diferenciales de superficie en Σ1 y Σ2.

Obsérvese que en el circuito \partial\Sigma_1, dicho sentido coincide con el determinado por la fuerza electromotriz \mathcal{E}_0 del generador real. Por tanto, la fuerza electromotriz total en esta malla es igual a la suma de aquélla y de la inducida; por otra parte, aplicando la segunda ley de Kirchoff obtenemos la ecuación del circuito para esta malla:

\mathcal{E}_\mathrm{fem}\rfloor_{\partial \Sigma_1}=\mathcal{E}_0+\mathcal{E}_1^\mathrm{ind}=\mathcal{E}_0-avB_0    \longrightarrow\quad    \mathcal{E}_0-avB_0=I_1 R_g

pues toda la caída de tensión se producirá en la resistencia interna del generador, ya que los raíles y la barra móvil se consideran conductores perfectos.

El circuito \partial\Sigma_2 está constituido por dichos medios conductores y la resistencia de carga R. La única f.e.m. es la inducida, teniéndose, por tanto,

\mathcal{E}_\mathrm{fem}\rfloor_{\partial \Sigma_2}=\mathcal{E}_2^\mathrm{ind}=avB_0    \longrightarrow    \displaystyle avB_0=I_2 R

Las anteriores ecuaciones permiten determinar las intensidades de corriente en las ramas del sistema. Las respectivas intensidades de corriente eléctrica que recorren el generador real y la resistencia de carga son,

I_1=\frac{\mathcal{E}_0-avB_0}{R_g}\ \mathrm{;}\qquad \qquad I_2=\frac{avB_0}{R}

de manera que el valor y el signo de v van a determinar el sentido de ambas corrientes: la intensidad I2 que recorre la resistencia de carga será positiva (según el sentido prefijado) si la barra se mueve hacia la resistencia de carga, y negativa si se desplaza hacia el generador. Por su parte, la corriente I1 será positiva o negativa dependiendo de que la velocidad de la barra sea menor o mayor, respectivamente, que el valor crítico,

v_0=\frac{\mathcal{E}_0}{aB_0}

Para determinar la intensidad de corriente eléctrica Ib que recorre la barra conductora aplicamos la primera ley de Kirchoff en el nodo correspondiente a uno de los puntos de contacto barra-raíl:

I1IbI2 = 0       \Rightarrow        I_\mathrm{b}=I_1-I_2=\frac{\mathcal{E}_0}{R_g}-avB_0\left(\frac{1}{R_g}+\frac{1}{R}\right)

4 Fuerzas sobre la barra móvil

Acabamos de comprobar que, cuando la barra se mueve, ésta es recorrida por una corriente eléctrica de intensidad Ib entre los puntos de contacto con los raíles C y D. Y como la barra conductora está sometida al campo magnético \mathbf{B}_0, éste ejercerá sobre ella una fuerza magnética,

\mathbf{F}_m=\int_\mathrm{barra}\!\!\!I_\mathrm{b}\mathrm{d}\mathbf{r}\times\mathbf{B}_0

Como el campo mangnetostático es uniforme y la intensidad de corriente es la misma en todos los puntos de la barra, se tendrá también la misma fuerza infinitesimal actuando sobre todos ellos:

\mathrm{d}\mathbf{F}_m=I_\mathrm{b}\mathrm{d}\mathbf{r}\times\mathbf{B}_0=I_\mathrm{b}B_0\mathrm{d}y\ (\mathbf{u}_y\times\mathbf{u}_z)=I_\mathrm{b}B_0\mathrm{d}y\ \mathbf{u}_x

Este sistema de fuerzas infitinesimales paralelas e iguales, aplicadas entre los puntos C y D de la barra, no va a producir cambios en en su momento cinético, sólo en su cantidad de movimiento. Es decir, la fuerza magnética no puede provocar giros en la barra, sólo que se acelere su su centro de masa. En otras palabras, la acción del campo magnético sobre la barra tiene momento nulo respecto de su centro de masas, y una resultante no nula cuyo valor es:

\mathbf{F}_\mathrm{m}=\int_C^D\!\!\!I_\mathrm{b}\mathrm{d}\mathbf{r}\times\mathbf{B}_0=\mathbf{u}_x\ I_\mathrm{b}B_0\int_0^a\!\!\!\mathrm{d}y        \longrightarrow        \mathbf{F}_\mathrm{m}=aB_0I_\mathrm{b}\ \mathbf{u}_x=aB_0\left(I_1-I_2\right)\ \mathbf{u}_x

Obsérvese que, en las condiciones del enunciado, esta fuerza es constante en dirección, módulo y sentido, depediendo estos últimos del valor de \displaystyle v, ya que este determina el valor y el sentido de la corriente eléctrica Ib. Pero si fuese ésta la única fuerza que actúa sobre la barra, ésta tendría un movimiento acelerado. Por tanto, para que se mueva con velocidad constante es necesario aplicar otra fuerza exterior \mathbf{F}_\mathrm{ext}, tal que,

\mathbf{F}_\mathrm{ext}+\mathbf{F}_\mathrm{m}=m\ \frac{\mathrm{d}\mathbf{v}}{\mathrm{d}t}=\mathbf{0}       \Rightarrow       \mathbf{F}_\mathrm{ext}=-\mathbf{F}_\mathrm{m}=-aB_0I_\mathrm{b}\ \mathbf{u}_x=aB_0\left(I_2-I_1\right)\ \mathbf{u}_x

 

Como en el caso de la fuerza magnética, la magnitud y sentido de la fuerza exterior aplicada dependen de la intensidad de corriente que recorre la barra y, por tanto, de su velocidad \displaystyle v. A partir de la expresión para la intensidad de corriente en la barra, podemos fijar un nuevo valor crítico de su velocidad,

\displaystyle v_c=\frac{\mathcal{E}_0}{aB_0R_g\left(\frac{1}{R_g}+\frac{1}{R}\right)}=v_0\ \frac{R}{R_g+R}

para el cuál cambia el sentido de la fuerza exterior aplicada \mathbf{F}_\mathrm{ext}=F_\mathrm{ext}(v)\ \mathbf{u}_x:

F_\mathrm{ext}(v)=-aB_0I_\mathrm{b}(v)\;\Longrightarrow\;\begin{cases}F_\mathrm{ext}(v)<0\mathrm{;}&\mathrm{si}\quad v<v_c\\ \\
F_\mathrm{ext}(v)>0\mathrm{;}&\mathrm{si}\quad v>v_c\end{cases}

5 Potencias instantáneas

5.1 Potencia disipada en la resistencia de carga

Debido al efecto Joule la cantidad de energía que por unidad de tiempo se disipa en la resistencia de carga \displaystyle R en forma de calor es:

\frac{\mathrm{dQ}_\mathrm{Jou}}{\mathrm{d}t}\bigg\rfloor_R=P_\mathrm{Jou}=R(I_2)^2=\frac{a^2v^2B_0^2}{R}>0

Obsérvese que esta potencia disipada es siempre positiva, independientemente del signo de \displaystyle v, o lo que es lo mismo, sea cual sea el sentido del movimiento de la barra.

5.2 Potencia suministrada por el generador

La potencia o cantidad de energía que por unidad de tiempo suministra el generador al resto del sistema es igual a la que aquél suministraría comportándose como un dispositivo ideal, menos la que disipa en su resistencia interna:

\frac{\mathrm{dW}_\mathrm{gen}}{\mathrm{d}t}\bigg\rfloor_\mathrm{real}=P_\mathrm{gen}^\mathrm{ideal}-P_\mathrm{dis}=P_\mathrm{gen}^\mathrm{real}       \Rightarrow       P_\mathrm{gen}^\mathrm{real}=\mathcal{E}_0I_1-R_g(I_1)^2= \frac{avB_0(\mathcal{E}_0-avB_0)}{R_g}

Aunque no tiene incidencia alguna en el resultado del ejercicio, puntualizaremos que la potencia que se disipa en el generador real,

P_\mathrm{dis}=R_g(I_1)^2= \frac{(\mathcal{E}_0-avB_0)^2}{R_g}

no lo hace necesariamente en forma de calor, sino que puede utilizar otros mecanismos además del efecto Joule, como vibraciones, ruido u otros procesos de transformación energética. La clave está en que \displaystyle R_g no es una resistencia eléctrica real, sino un parámetro circuital equivalente.

5.3 Potencia mecánica

Recordemos cuánto vale el trabajo realizado por unidad de tiempo por la fuerza externa aplicada sobre la barra. En cada instante de tiempo, el trabajo infinitesimal realizado por la fuerza externa sobre la barra, que se mueve con velocidad v es,

\delta W_\mathrm{ext}=\mathbf{F}_\mathrm{ext}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}=\mathbf{F}_\mathrm{ext}\cdot\mathbf{v}\ \mathrm{d}t

Por tanto, la potencia mecánica instantánea desarrollada por dicha fuerza es:

\frac{\mathrm{d}W_\mathrm{ext}}{\mathrm{d}t}=\mathbf{F}_\mathrm{ext}\cdot\mathbf{v}=P_\mathrm{mec}       \Rightarrow       P_\mathrm{mec}=-avB_0I_\mathrm{b}=aB_0v \left[avB_0\left(\frac{1}{R_g}+\frac{1}{R}\right)-\frac{\mathcal{E}_0}{R_g}\right]

5.4 Balance energético

Si comparamos los valores de las tres potencias instantáneas que acabamos de calcular, se obtiene que no son independientes entre sí. Puede comprobarse que, en todo instante se verifica,

P_\mathrm{mec}=-P_\mathrm{gen}^\mathrm{real}+P_\mathrm{Jou}

Sin embargo, según se vió en el tema de inducción electromagnética, en este balance energético faltaría el término correspondiente a la potencia magnética; es decir, la cantidad de energía extra que por unidad de tiempo es necesario aportar para establecer el sistema de corrientes eléctricas. Pero como dicha energía magnética dependerá de las posibles autoinducciones e inducciones mutuas presentes en la espira, y hemos considerado que éstas son despreciables, el correspondiente término de potencia magnética tampoco aparecerá en el balance energético:

\left.\begin{array}{l}\displaystyle P_\mathrm{mec}+P_\mathrm{gen}^\mathrm{real}=P_\mathrm{Jou}+\frac{\mathrm{d}W_\mathrm{m}}{\mathrm{d}t}\\ \\ \displaystyle\frac{\mathrm{d}W_\mathrm{m}}{\mathrm{d}t}\simeq 0\end{array}\right\}       \Rightarrow       P_\mathrm{mec}+P_\mathrm{gen}^\mathrm{real}=P_\mathrm{Jou}>0

En definitiva, podemos concluir que la potencia disipada en forma de calor en la resistencia de carga va a ser igual al valor neto de las energías suministradas en la unidad de tiempo por el generador real y por la fuerza externa. Nótese que estas dos potencias instantáneas puede ser positivas o negativas, en función del valor de la velocidad de la barra. Veamos esto en el siguiente apartado.

6 Análisis de las potencias instantáneas

6.1 Potencia suministrada por el generador

A partir de la expresión instantánea obtenida para la potencia suministrada por el generador real, se observa que ésta puede ser positiva o negativa en función del valor de \displaystyle v:

P_\mathrm{gen}^\mathrm{real}(v)=\frac{avB_0(\mathcal{E}_0-avB_0)}{R_g}       \Rightarrow       \begin{cases}P_\mathrm{gen}^\mathrm{real}(v)<0\mathrm{,} & \mathrm{si}\quad v<0\quad \mathrm{\acute{o}}\quad v>v_0 \\ \\
P_\mathrm{gen}^\mathrm{real}(v)>0\mathrm{,} & \mathrm{si}\quad 0<v<v_0 \end{cases}

Es decir, el generador real sólo suministra energía neta al sistema cuando la barra se mueve hacia la resistencia de carga (\displaystyle v positiva), a una velocidad inferior al valor crítico \displaystyle v_0 calculado en el apartado 2.1. En caso contrario, la potencia del generador es negativa, lo que significa que éste no suministra energía al sistema, sino que la absorbe, cargándose así la batería \mathcal{E}_0. Puede comprobarse que la función P_\mathrm{gen}^\mathrm{real}=P_\mathrm{gen}^\mathrm{real}(v) se corresponde con una parábola invertida que corta al eje de abcisa en los valores \displaystyle v=0 y \displaystyle v=v_0.

6.2 Potencia mecánica de la fuerza externa

El trabajo realizado por unidad de tiempo por la fuerza externa puede ser positivo o negativo dependiendo de si el sentido de ésta es el mismo o el opuesto al sentido de movimiento de la barra. La expresión obtenida en el apartado 2.3.3 indica que el comportamiento de la potencia mecánica frente al valor de la velocidad de la barra se corresponde con una parábola no invertida que corta al eje de abcisa en los valores \displaystyle v=0 y \displaystyle v=v_c; es decir,

P_\mathrm{mec}(v)=\mathbf{F}_\mathrm{ext}\cdot\mathbf{v}=aB_0v \left[avB_0\left(\frac{1}{R_g}+\frac{1}{R}\right)-\frac{\mathcal{E}_0}{R_g}\right]       \Rightarrow       \begin{cases}P_\mathrm{mec}(v)<0\mathrm{,} & \mathrm{si}\quad 0<v<v_c  \\ \\
P_\mathrm{mec}(v)>0\mathrm{,} & \mathrm{si}\quad v<0\quad \mathrm{\acute{o}}\quad v>v_c\end{cases}

La interpretación física de este resultado es que cuando la barra se mueve hacia la resistencia de carga a una velocidad inferior al valor crítico \displaystyle v_c calculado en el apartado 2.2, los vectores \mathbf{F}_\mathrm{ext} y \mathbf{v} son opuestos (\displaystyle P_\mathrm{mec} negativa). Esto significa que la fuerza exterior actúa frenando a la barra y, por consiguiente, es la fuerza magnética la que la obliga a moverse.

Por el contrario, para que la barra se mueva con cualquier valor de velocidad constante hacia el generador, o hacia la resistencia de carga a una velocidad mayor que el valor \displaystyle v_c, es necesario aplicar una fuerza externa en el sentido de movimiento que desarrolla una potencia mecánica positiva. En este caso, es la fuerza magnética la que realiza la acción de frenado para que la barra se mueva con velocidad constante.

6.3 Balance energético

Según los resultados anteriores, en el balance energético instantáneo podemos distinguir cuatro situaciones distintas para otros tantos rangos de velocidad de la barra:

6.3.1 Caso A: v < 0

Cuando la barra se mueve hacia el generador (a cualquier valor de velocidad constante), la energía en cada instante es suministrada por la fuerza externa que actúa sobre la barra, pero sin aumentar su energía cinética, pues su velocidad es constante.

Por tanto, esta potencia mecánica ha de ser gastada en el sistema: una parte se disipa en forma de calor en la resistencia de carga (efecto Joule) y otra es absorbida por el generador real que, como hemos visto, desarrollará una potencia negativa:

P_\mathrm{mec}=P_\mathrm{Jou}+|P_\mathrm{gen}^\mathrm{real}|

6.3.2 Caso B: 0 < v < vc

Cuando la barra se mueve hacia la resistencia de carga a una velocidad inferior al valor crítico \displaystyle v_c, el generador real sumistra energía al sistema, parte de la cuál se disipará por efecto Joule en la resistencia de carga. Pero además, la energía suministrada tiene como consecuencia la existencia de corrientes eléctricas en el sistema y, en particular, en la barra que se verá sometida a una fuerza magnética que haría aumentar su energía cinética.

Sin embargo, la barra se mueve con velocidad constante al ser frenada por la fuerza exterior que suministrará, por tanto, una potencia mecánica negativa (absorbe energía).

Es decir, parte de la energía suministrada por el generador es empleada en mover la barra contra la acción de la fuerza exterior. El resto de energía suministrada se disipa en forma de calor en la resistencia \displaystyle R, pues la energía cinética de la barra debe permanecer constante:

P_\mathrm{gen}^\mathrm{real}=|P_\mathrm{mec}|+P_\mathrm{Jou}

6.3.3 Caso C: vc < v < v0

En este rango de velocidades, las potencias instantáneas \displaystyle P_\mathrm{mec} y P_\mathrm{gen}^\mathrm{real} son ambas positivas; es decir, tanto el generador real como la fuerza exterior suministran energía al sistema.

Como la barra no cambia su energía cinética al ser su velocidad constante, toda la suminstrada debe disiparse por efecto Joule en la resistencia de carga:

P_\mathrm{gen}^\mathrm{real}+P_\mathrm{mec}=P_\mathrm{Jou}

6.3.4 Caso D: v0 < v

Finalmente, cuando la barra se mueve hacia la resistencia de carga una velocidad mayor que el valor crítico \displaystyle v_0, la potencia mecánica sigue siendo positiva, mientras que la del generador real se hace negativa. Es decir, es la fuerza exterior aplicada a la barra la que suministra energía al sistema. Y para que la energía cinética de aquélla permanezca constante, la suministrada debe consumirse instantáneamente. Para ello, una parte de disipa en forma de calor en la resistencia de carga, y otra parte es absorbida por el generador real. Es decir, se repite la situación del caso A:

P_\mathrm{mec}=P_\mathrm{Jou}+|P_\mathrm{gen}^\mathrm{real}|

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