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Esfera rodeada de corona esférica

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Se tiene una esfera conductora de radio a que almacena una carga Q0. Rodeándola se halla una corona esférica también conductora de radio interior 2a y exterior 4a. Esta corona se halla inicialmente aislada y descargada.

  1. Calcule el campo eléctrico en todos los puntos del espacio. Puede suponerse que las distribuciones de carga son todas uniformes.
  2. Determine el potencial al que se encuentra la esfera interior.
  3. Calcule la energía electrostática almacenada en el sistema.
  4. Suponga que se conecta la corteza exterior a tierra. Una vez que se vuelve al equilibrio electrostático, ¿cómo cambia el potencial de la esfera interior y la energía almacenada? ¿A qué se debe la diferencia de energía?

2 Campo eléctrico

Tenemos tres densidades de carga:

La que está en la esfera interior (r = a)
Esta, como indica el enunciado, almacena una carga total Q1 = Q0
La que está en la superficie del hueco (r = 2a)
Por el teorema de Faraday, la carga en la pared del hueco debe ser igual a la encerrada cambiada de signo, es decir, vale Q2 = − Q0.
La que está en la cara exterior de la corteza (r = 4a)
En principio, esta podría tener cualquier valor, pero, dado que se nos dice que la corona está aislada y descargada, su carga total debe ser nula. Puesto que en la cara del hueco hay una carga Q0, en la superficie exterior, para compensarla, debe haber una carga Q3 = + Q0

2.1 Aplicando la ley de Gauss

Puesto que se nos dice que cada una de las distribuciones es uniforme podemos hallar el campo aplicando la ley de Gauss. Tnemeos que en cada punto del espacio el campo eléctrico es radial y su módulo depende solo de la distancia al origen

\vec{E} = E(r)\vec{u}_r

Considerando una superficie esférica de radio r concéntrica con el sistema, se verifica

\oint \vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{S}= \oint E(r)\,\mathrm{d}S = E(r)S = 4\pi r^2 E(r)

De acuerdo con la ley de Gauss, esta flujo es proporcional a la carga encerrada por la superficie

\oint \vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{S} = \frac{Q_\mathrm{int}(r)}{\varepsilon_0}\qquad\Rightarrow\qquad E(r) = \frac{Q_\mathrm{int}(r)}{4\pi \varepsilon_0 r^2}\qquad\Rightarrow\qquad \vec{E} = \frac{Q_\mathrm{int}(r)}{4\pi \varepsilon_0 r^2}\vec{u}_r

La carga encerrada depende del radio de la superficie que tomemos

Exterior de la corona
Encerramos toda la carga del sistema
Q_\mathrm{int}(r>4a) = Q_1+Q_2+Q_3 = Q_0-Q_0+Q_0 = Q_0\,
y queda el campo
\vec{E} = \frac{Q_0}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\vec{u}_r
Volumen de la corona
Encerramos la carga de la esfera interior y de la pared del hueco
Q_\mathrm{int}(2a < r < 4a) = Q_1+Q_2 = Q_0-Q_0 = 0\,
siendo el campo
\vec{E} =\vec{0}\,
Interior del hueco y exterior de la esfera
Envolvemos solo la carga de la esfera
Q_\mathrm{int}(a<r<2a) = Q_1 = Q_0\,
y da
\vec{E} = \frac{Q_0}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\vec{u}_r

Interior de la esfera: No encerramos carga alguna

Q_\mathrm{int}(r<a) = 0\,
y queda
\vec{E} =\vec{0}\,


r > 4a 2a < r < 4a
a < r < 2a r < a

Reuniendo los cuatro resultados

\vec{E}=\begin{cases} \vec{0} & r < a \\ & \\ \displaystyle \frac{Q_0}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\vec{u}_r & a < r <2a \\ & \\  \vec{0} & 2a < r < 4a \\ & \\ \displaystyle \frac{Q_0}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\vec{u}_r & r> 4a\end{cases}

Vemos que resulta un campo nulo en los dos materiales conductores y equivalente al de una carga puntual en el resto del espacio.

2.2 Por superposición

A este resultado también se puede llegar por el principio de superposición. Aplicando que el campo de una esfera cargada superficialmente de manera uniforme es

\vec{E}=\begin{cases} \vec{0} & r < a \\ & \\ \displaystyle \frac{Q_0}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\vec{u}_r & r > a \end{cases}

Tenemos los tres campos individuales, producidos por cada una de las superficies cargadas,

\vec{E}_1=\begin{cases} \vec{0} & r < a \\ & \\ \displaystyle \frac{Q_0}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\vec{u}_r & r > a \end{cases}        \vec{E}_2=\begin{cases} \vec{0} & r < 2a \\ & \\ \displaystyle \frac{-Q_0}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\vec{u}_r & r > 2a \end{cases}        \vec{E}_3=\begin{cases} \vec{0} & r < 4a \\ & \\ \displaystyle \frac{Q_0}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\vec{u}_r & r > 4a \end{cases}

cuya superposición es el campo ya conocido

\vec{E}=\vec{E}_1+\vec{E}_2+\vec{E}_3 = \begin{cases} \vec{0} & r < a \\ & \\ \displaystyle \frac{Q_0}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\vec{u}_r & a < r <2a \\ & \\  \vec{0} & 2a < r < 4a \\ & \\ \displaystyle \frac{Q_0}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\vec{u}_r & r> 4a\end{cases}

3 Potencial de la esfera interior

El potencial, como el campo, lo podemos hallar tanto por integración como por superposición.

3.1 Por integración

Por integración,puede calcularse como

V_B - V_A= -\int_A^B \vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{r}

En este caso el punto inicial es el infinito (origen de potencial), el final la superficie de la esfera interior, cuyo potencial queremos calcular y como camino de integración tomamos uno rectilíneo, de forma que el campo eléctrico y \mathrm{d}\vec{r} sean vectores paralelos. Esto nos deja con

V_1 = -\int_\infty^a E(r)\mathrm{d}r

Puesto que el campo depende de la posición, esta integral debe dividirse en tres tramos

V_1 = -\int_{\infty}^{4a}\frac{Q_0}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\mathrm{d}r-\int_{4a}^{2a}0\,\mathrm{d}r-\int_{2a}^a\frac{Q_0}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\mathrm{d}r

lo que nos da

V_1 = \frac{Q_0}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{1}{4a}+\frac{1}{a}-\frac{1}{2a}\right)

quedando finalmente

V_1 = \frac{3Q_0}{16\pi\varepsilon_0a}

3.2 Por superposición

Si lo queremos calcular por superposición, aplicamos que el potencial debido a una superficie esférica de radio b que almacena una carga Q es

V(r) = \begin{cases}\displaystyle \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0b} & r \leq b \\ & \\ \displaystyle \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0r} & r > b\end{cases}

Entonces, puesto que queremos hallar el potencial de la esfera interior, que se encuentra contenida tanto por la pared del hueco como por la superficie exterior de la corona, como por ella misma, su potencial será

V_1 = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{Q_1}{a}+\frac{Q_2}{2a}+\frac{Q_3}{4a}\right)

Sustituyendo los valores de las cargas

Q_1 = Q_0\qquad\qquad Q_2 = -Q_0\qquad\qquad Q_3 =Q_0

queda el resultado que ya conocemos

V_1 = \frac{Q_0}{4\pi\varepsilon_0 a}\left(1 -\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\right)=\frac{3Q_0}{16\pi\varepsilon_0a}

4 Energía electrostática

La energía electrostática de un sistema de conductores puede calcularse como la suma

U=\frac{1}{2}Q_1V_1+\frac{1}{2}Q_2V_2+\cdots

En este caso tenemos solo dos conductores, y la carga del segundo es nula, por lo que la suma se reduce a

U_\mathrm{e} = \frac{1}{2}Q_1V_1+0 = \frac{1}{2}Q_0\left(\frac{3Q_0}{16\pi\varepsilon_0a}\right) = \frac{3Q_0^2}{32\pi\varepsilon_0a}

5 Conexión a tierra

Cuando se conecta la corona a tierra, su potencial pasa a ser cero, mientras que su carga cambia.

Una vez conectada a tierra, tenemos que su superficie exterior está al mismo potencial que el infinito. Puesto que el campo eléctrostático siempre va de mayor a menor potencial y nunca de un potencial al mismo potencial, esto quiere decir que el campo eléctrico en el exterior de la corona se anula.

Si el campo en el exterior es nulo, esto quiere decir que la carga en la superficie exterior de la corona se anula

Q_3 = 0\,

No así la carga en la pared del hueco, que por el teorema de Faraday sigue siendo igual a la carga interior cambiada de signo

Q_1 = Q_0\qquad \qquad Q_2 = -Q_0


A partir de aquí, puede volverse a calcular el campo por superposición o por ley de Gauss, resultando

\vec{E}=\vec{E}_1+\vec{E}_2+\overbrace{\vec{E}_3}^{=\vec{0}} = \begin{cases} \vec{0} & r < a \\ & \\ \displaystyle \frac{Q_0}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\vec{u}_r & a < r <2a \\ & \\  \vec{0} & r > 2a \end{cases}

Para el potencial de la esfera podemos integrar este campo o aplicar de nuevo superposición y llegamos al voltaje de la esfera

V_1' = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{Q_0}{a}+\frac{-Q_0}{2a}+\frac{0}{4a}\right) = \frac{Q_0}{8\pi\varepsilon_0a}

Para hallar la energía electrostática tenemos de nuevo dos términos, pero el segundo vuelve a ser nulo porque, aunque la corona tiene una carga neta, su potencial es ahora cero. Por ello

U'_\mathrm{e}=\frac{1}{2}Q_1V_1' + 0 = \frac{Q_0^2}{16\pi\varepsilon_0a}

La variación en la energía almacenada vale

\Delta U_\mathrm{e}=U'_\mathrm{e}-U_\mathrm{e}=\frac{Q_0^2}{\pi\varepsilon_0a}\left(\frac{1}{16}-\frac{3}{32}\right)=-\frac{Q_0^2}{32\pi\varepsilon_0 a}

La energía almacenada disminuye porque hay disipación. Esta disipación se debe a la conexión a tierra. Como resultado de esta conexión se produce una corriente, mientras las cargas que estaban en la superficie exterior se van al infinito. Esta corriente disipa energía en forma de calor cuyo valor corresponde al déficit obtenido.

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