Entrar Página Discusión Historial Go to the site toolbox

Esfera rodando sin deslizar en un recipiente cilíndrico, F1GIA 2016-17

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Una esfera de radio R (sólido "2") se mueve en el interior de un recipiente cilíndrico de radio 2R (sólido "1"). El movimiento es tal que, en todo momento, la esfera rueda sin deslizar en los dos puntos A y B en contacto con la superficie cilíndrica (ver figura). El centro C de la esfera realiza un movimiento circular uniforme. Introducimos un sólido intermedio OX0Y0Z0, de modo que el eje OZ0 coincide en todo instante con OZ1, y el plano OX0Z0 contiene siempre al centro de la esfera C. Este plano gira alrededor de OZ0, en sentido antihorario y con velocidad angular constante Ω.

  1. Obtenga reducciones cinemáticas de todos los movimientos relativos {01}, {20} y {21}, así como sus derivadas instantáneas. Indique que tipo de movimiento son.
  2. ¿Cómo son los movimientos de pivotamiento y rodadura del sólido "2" respecto del "1" en los puntos que ocupan las posiciones de contacto A y B?.
  3. Calcula \vec{a}^{\,A}_{21}- \vec{a}^{\,B}_{21} y \vec{a}^{\,A}_{20}- \vec{a}^{\,B}_{20}.

2 Solución

2.1 Análisis de la información cinemática en el enunciado

La esfera no desliza en los puntos A y B, por tanto


\vec{v}^{\,A}_{21} =\vec{v}^{\,B}_{21} = \vec{0}.

Entonces


\Delta_{21} \equiv \overline{AB}.

El plano OX0Z0 realiza una rotación de eje permanente con velocidad angular constante. Entonces


\vec{\omega}_{01} = \Omega\,\vec{k}_{0,1},

y además


\Delta_{01} \equiv OZ_0.

El punto C es un punto fijo común de la esfera y el sólido "0". Por tanto


\vec{v}^{\,C}_{20} = \vec{0} \Longrightarrow C\in\Delta_{20}.

Como se ve en la figura de la derecha. los ejes Δ21 y Δ01 se cortan en el punto I. Entonces I\in\Delta_{20}. Y por tanto


\Delta_{20} \equiv \overline{IC}.

2.2 Reducciones cinemáticas

2.2.1 Movimiento {01}

Tenemos


\vec{\omega}_{01} = \Omega\,\vec{k}_{0,1}\,\qquad
\vec{v}^{\,O}_{01} = \vec{0}.

La velocidad de este movimiento es cero en cualquier punto del eje OZ0. La derivada temporal es


\vec{\alpha}_{01} = \left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{01}}{\mathrm{d}t}\right|_1 =
\left.\dfrac{\mathrm{d}(\Omega\,\vec{k}_1)}{\mathrm{d}t}\right|_1 = \vec{0}
\qquad
\vec{a}^{\,O}_{01} = \left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{v}^{\,O}_{01}}{\mathrm{d}t}\right|_1 =
\vec{0}

Es una rotación de eje permanente. Por eso la velocidad y aceleración de todos los puntos del eje es nula en todo instante.

2.2.2 Movimiento {21}

Sabemos que \vec{\omega}_{21}\parallel \Delta_{21}, entonces


\vec{\omega}_{21} = \omega_{21} \dfrac{1}{\sqrt{2}}\,\left(\vec{\imath}_0  +\vec{k}_0\right).

La velocidad en A es


\vec{v}^{\,A}_{21} = \vec{0}.

Y en el centro de la esfera es


\vec{v}^{\,C}_{21} = \vec{v}^{\,C}_{20} + \vec{v}^{\,C}_{01} = \vec{v}^{\,C}_{01}
=\vec{v}^{\,O}_{01} + \vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OC} =
(\Omega\,\vec{k}_0)\times(R\,\vec{\imath}_0 + R\,\vec{k}_0) =
R\Omega\,\vec{\jmath}_0.

Por otro lado,


\vec{v}^{\,C}_{21} = 
\vec{v}^{\,A}_{21} + \vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{AC} =
\left(\omega_{21}\dfrac{1}{\sqrt{2}}\,(\vec{\imath}_0+\vec{k}_0)\right)\times(R\,\vec{k}_0) =
-\dfrac{R\omega_{21}}{\sqrt{2}}\,\vec{\jmath}_0.

Comparando obtenemos


\omega_{21} = -\sqrt{2}\Omega.

Una reducción cinemática es


\vec{\omega}_{21} = -\Omega\,(\vec{\imath}_0 + \vec{k}_0)
\qquad
\vec{v}^{\,I}_{21} = \vec{0}.

Calculamos la derivada del vector rotación, utilizando la fórmula de Poisson


\vec{\alpha}_{21} = \left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{21}}{\mathrm{d}t}\right|_1
=
\left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{21}}{\mathrm{d}t}\right|_0
+ \vec{\omega}_{01}\times\vec{\omega}_{21}=
-\Omega^2\,\vec{\jmath}_0.

El punto I está siempre en el eje Δ21, por tanto su velocidad es siempre nula. Entonces


\vec{a}^{\,I}_{21} = \vec{0}.

El movimiento es una rotación pura de eje instantáneo. El eje Δ21 se mueve respecto al sólido "1".

2.2.3 Movimiento {20}

Usamos las leyes de composición del movimiento {21}={20}+{01}


\vec{\omega}_{20} = \vec{\omega}_{21} - \vec{\omega}_{01} = -\Omega\,(\vec{\imath}_0+2\vec{k}_0)

Una posible reducción cinemática es


\vec{\omega}_{20} = -\Omega\,(\vec{\imath}_0+2\vec{k}_0)
\qquad
\vec{v}^{\,C}_{20} = \vec{0}.

Derivamos el vector rotación


\vec{\alpha}_{20} = \left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{20}}{\mathrm{d}t}\right|_0
=\vec{0}.

Y


\vec{a}^{\,C}_{20} = \vec{0}.

El movimiento es una rotación pura de eje permanente, pues el eje Δ20 pasa siempre por los mismos puntos del sólido "0".

2.3 Pivotamiento y rodadura

En un punto dado el pivotamiento viene dado por la componente perpendicular a la superficie del vector rotación. En el punto A el vector normal es \vec{n}_A = \vec{k}_0, mientras que en el punto B es \vec{n}_B=\vec{\imath}_0. Entonces


\begin{array}{lcll}
A & \to & \vec{\omega}_{\mathrm{piv}} = -\Omega\,\vec{k}_0, & \vec{\omega}_{\mathrm{rod}} = -\Omega\,\vec{\imath}_0,\\
B & \to & \vec{\omega}_{\mathrm{piv}} = -\Omega\,\vec{\imath}_0, & \vec{\omega}_{\mathrm{rod}} = -\Omega\,\vec{k}_0.
\end{array}

2.4 Cálculo de diferencias de aceleraciones

Usamos en cada caso la ecuación del campo de aceleraciones del movimiento correspondiente. Para el primer caso


\vec{a}^{\,A}_{21} - \vec{a}^{\,B}_{21} = \vec{\alpha}_{21}\times\overrightarrow{BA} + \vec{\omega}_{21}\times(\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{BA})

El segundo término es nulo pues \overrightarrow{BA} \parallel \vec{\omega}_{21}. El vector geométrico es


\overrightarrow{BA} = -R\,\vec{\imath}_0 - R\vec{k}_0

Entonces


\vec{a}^{\,A}_{21} - \vec{a}^{\,B}_{21} = R\Omega^2(\vec{\imath}_0 - \vec{k}_0).

Para el otro caso


\vec{a}^{\,A}_{20} - \vec{a}^{\,B}_{20} = \vec{\alpha}_{20}\times\overrightarrow{BA} + \vec{\omega}_{20}\times(\vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{BA})

Ahora el primer término es nulo, pues \vec{\alpha}_{20}=\vec{0}. Operando llegamos a


\vec{a}^{\,A}_{20} - \vec{a}^{\,B}_{20} = R\Omega^2(2\vec{\imath}_0 - \vec{k}_0).

Herramientas:

Herramientas personales
TOOLBOX
LANGUAGES
licencia de Creative Commons
Esta página fue modificada por última vez el 11:32, 15 oct 2018. - Esta página ha sido visitada 1.050 veces. - Aviso legal - Acerca de Laplace