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Esfera dieléctrica en un campo externo

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Supóngase que se tiene una esfera de radio R un material dieléctrico (de permitividad \varepsilon) alrededor de la cual hay vacío. En puntos alejados de la esfera hay impuesto un campo eléctrico uniforme \mathbf{E}_0. Halle el potencial y el campo eléctrico en el interior y el exterior de la esfera.

Sugerencia: El campo eléctrico dentro de la esfera es uniforme. Sabiendo esto, aplique el resultado conocido para dicho caso.

2 Solución

2.1 Solución iterativa

Admitiendo que sabemos que una esfera polarizada uniformemente produce en su interior el campo

\mathbf{E}=-\frac{\mathbf{P}}{3\varepsilon_0}

se trata de aplicar este resultado a un problema diferente.

Vaya por delante que este mismo problema se puede resolver de forma mucho más sistemática empleando un desarrollo en polinomios de Legendre de la solución. Aquí trataremos de llegar a este mismo resultado de una forma más intuitiva.

Tenemos una esfera sometida a un campo que lejos de ella es uniforme. Si el dieléctrico no afectara al campo aplicado, este campo sería también uniforme en los puntos de la esfera. Al actuar sobre los dipolos que la constituyen producirá una polarización también uniforme, resultando una polarización

\mathbf{P}_0=\varepsilon_0\chi\mathbf{E}_0

El problema no acaba aquí, pues al polarizarse la materia, los dipolos que hay en la misma producirán su propio campo eléctrico, que habrá que sumar al externo. Esta corrección en el campo valdrá

\mathbf{E}_1=-\frac{\mathbf{P}_0}{3\varepsilon_0}=-\frac{\chi}{3}\mathbf{E}_0

en todos los puntos del interior de la esfera. Según esto, la materia no está sometida sólo al campo \mathbf{E}_0, sino a la suma de \mathbf{E}_0 y \mathbf{E}_1. A la polarización habrá que sumar, por tanto, una corrección

\mathbf{P}_1=\varepsilon_0 \chi \mathbf{E}_1

y esta polarización adicional originará una nueva corrección al campo

\mathbf{E}_2=-\frac{\mathbf{P}_1}{3\varepsilon_0}=-\frac{\chi}{3}\mathbf{E}_1=
\left(\frac{\chi}{3}\right)^2\mathbf{E}_0

El proceso sigue entonces añadiendo más y más términos, hasta tener una serie infinita de ellos. El campo total será la suma de esta serie.

\mathbf{E}=\mathbf{E}_0+\mathbf{E}_1+\mathbf{E}_2+\cdots=
\left(1-\frac{\chi}{3}+\left(\frac{\chi}{3}\right)^2+\cdots\right)\mathbf{E}_0

De forma quizás un tanto sorprendente, la serie es sumable (Aunque para que sea convergente debe cumplirse que χ < 3. No obstante el resultado es correcto incluso para susceptibilidades superiores a este valor.). La expresión entre paréntesis es el desarrollo en potencias de la llamada serie geométrica

\frac{1}{1+x}=1-x+x^2-x^3+\cdots

por lo que el campo total es

\mathbf{E}=\frac{1}{1+\chi/3}\mathbf{E}_0=\frac{3}{3+\chi}\mathbf{E}_0

Introduciendo la permitividad de la esfera

\varepsilon{}=\varepsilon_0(1+\chi)

queda

\mathbf{E}=\frac{3\varepsilon_0}{2\varepsilon_0+\varepsilon{}}\mathbf{E}_0

Éste es el campo en el interior de la esfera. Es uniforme y proporcional al campo externo, pero no igual a éste. En el exterior tendremos la suma de un campo uniforme \mathbf{E}_0 y el de una esfera polarizada uniformemente con

\mathbf{P}=\varepsilon_0\chi\mathbf{E}=\frac{3\varepsilon_0^2\chi}{2\varepsilon_0+\varepsilon{}}\mathbf{E}_0

El campo debido a esta esfera en el exterior de la misma es igual al que crearía un dipolo puntual situado en el centro y que concentrara la polarización de la esfera.

La razón de que esta solución sea más “intuitiva” que la basada en los polinomios de Legendre, es que puede entenderse la misma en términos de una relación causa-efecto. El campo eléctrico polariza la esfera y la polarización produce campo eléctrico.

2.2 Solución directa

Este problema puede resolverse sin necesidad de hacerlo iterativamente. El campo dentro de la esfera será la suma del campo externo más el debido a la polarización

\mathbf{E}=\mathbf{E}_0+\mathbf{E}_p

Si sabemos de antemano que va a resultar una polarización uniforme podemos escribir

\mathbf{E}_p=-\frac{\mathbf{P}}{3\varepsilon_0}   \Rightarrow   \mathbf{E}=\mathbf{E}_0-\frac{\mathbf{P}}{3\varepsilon_0}

Por tratarse de un dieléctrico lineal, la polarización es proporcional al campo total dentro de la esfera

\mathbf{P}=\varepsilon_0\chi \mathbf{E}

y resulta la ecuación

\mathbf{E}=\mathbf{E}_0-\frac{\chi}{3}\mathbf{E}

Despejando el campo en el interior de la esfera

\mathbf{E}=\frac{1}{1+\chi/3}\mathbf{E}_0=\frac{3\varepsilon_0}{2\varepsilon_0+\varepsilon{}}\mathbf{E}   \Rightarrow   \mathbf{P}=\varepsilon_0\chi \mathbf{E}

Una vez que conocemos la polarización, podemos determinar el campo exterior a partir de la superposición del campo externo y el de un dipolo.

Nótese que, para resolverlo directamente, es imprescindible saber que la solución corresponde a una polarización uniforme, mientras que calculando la serie, surge de forma natural.

2.3 Comentarios

Puede observarse que el campo en el dieléctrico siempre es menor que el campo externo, y para \varepsilon_0\to\infty tiende a cero, como ocurriría en una esfera conductora. De hecho, en muchos aspectos, un dieléctrico de alta permitividad es semejante a un conductor.

En este desarrollo es esencial el que tengamos una esfera y que sepamos qué campo produce una esfera polarizada. Si tuviéramos, por ejemplo, un cubo dieléctrico, podríamos decir que el campo externo produce una polarización \mathbf{P}_0=\varepsilon_0 \chi \mathbf{E}_0, pero de ahí no podríamos seguir pues no sabemos que campo produce un cubo polarizado uniformemente.

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