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Esfera conectada a resistencias (GIOI)

De Laplace

Contenido

1 Esfera conectada a resistencias

Una esfera metálica de radio b está conectada a tres resistencias iguales de valor R. Una de estas resistencias está conectada por su otro extremo a una fuente de tensión V0 > 0 y las otras dos resistencias tienen su otro extremo conectado a tierra. En un instante dado la tensión a la que se encuentra la esfera es 3V0 / 4. Para ese instante…

  1. ¿Está aumentando o disminuyendo la carga de la esfera? ¿Cuánto valen Q y dQ⁄dt?
  2. ¿Cuánto vale la energía almacenada en ese instante en el sistema?
  3. ¿Cuánto vale la potencia que se disipa por efecto Joule?

2 Variación de la carga

En la esfera entran o salen cargas por los cables de conexión. En este caso no se puede aplicar directamente la ley de Kirchhoff para los nodos y decir que lo entra es igual a lo que sale, ya que la esfera posee capacidad de almacenar carga.

La carga almacenada en ese instante la da la capacidad de la esfera, que forma un condensador con el infinito

Q = C(V-0) = 4\pi\varepsilon_0 b \frac{3V_0}{4}=3\pi\varepsilon_0 b V_0

De acuerdo con la ley de conservación de la carga

\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}=-\oint \vec{J}\cdot\mathrm{d}\vec{S}

La densidad de corriente se produce solo en los cables que alimentan la esfera. Este flujo, incluyendo el signo, es la suma de las corrientes que entran en la esfera

\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}=\sum_i I_i

Cada una de estas intensidades cumple la ley de Ohm

I_1=\frac{V_0-3V_0/4}{R}=\frac{V_0}{4R}\qquad\qquad I_2=I_3=\frac{0-3V_0/4}{R}=-\frac{3V_0}{4R}

es decir, por uno de los cables entra carga en la esfera y por dos de ellos salen. La suma de las tres intensidades da

\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}=\frac{V_0}{4R}-\frac{3V_0}{4R}-\frac{3V_0}{4R}=-\frac{5V_0}{4R}

Al ser negativa la derivada, la carga de la esfera en ese instante está disminuyendo.

Este comportamiento se puede modelar con un circuito. Este circuito no se limita a las tres resistencias conectadas a la esfera. Además hay que modelar el hecho de que la esfera almacena carga. Esto se consigue añadiendo un condensador, que representa al que la esfera forma con el infinito. La primera ley de Kirchhoff se cumple si añadimos la corriente que entra en ese condensador y sale del nodo

\sum_i I_i= \frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}=C\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t}

3 Energía almacenada

La energía almacenada en el sistema es la de un conductor

U_e = \frac{1}{2}QV=\frac{1}{2}(3\pi\varepsilon_0 V_0)\left(\frac{3V_0}{4}\right)=\frac{9\pi\varepsilon_0}{8}V_0^2

4 Potencia consumida

La potencia consumida por efecto Joule es la suma de las de las tres resistencias

P=\frac{(V_0-3V_0/4)^2}{R}+\frac{(0-3V_0/4)^2}{R}+\frac{(0-3V_0/4)^2}{R} = \frac{19V_0^2}{16R}

Esta potencia no coincide con la que está entrando en el sistema a través de las resistencias

\dot{W}_\mathrm{in}=\sum_i I_iV_i = I_1 V_1+I_2 \overbrace{V_2}^{=0}+I_3 \overbrace{V_3}^{=0} = \frac{V_0^2}{4R}

Vemos que se está consumiendo más energía que la que está entrando. El resto de la energía consumida procede de la disminución en la energía almacenada, que se está reduciendo al disminuir la carga.

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