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Esfera conductora sumergida en dieléctrico

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Una esfera conductora de radio a se encuentra conectada a una fuente de tensión de valor V0. La esfera se encuentra semisumergida en un líquido dieléctrico ideal de permitividad \varepsilon.

  1. Obtenga la expresión del potencial electrostático y del campo eléctrico en todo el espacio. Suponga que el potencial sólo depende de la distancia al centro de la esfera.
  2. Obtenga la expresión del vector desplazamiento en todo el espacio. Calcule la cantidad de carga libre en la esfera conductora.
  3. Determine las distribuciones de carga libre y de polarización que hay en el sistema descrito.
  4. Calcule la energía electrostática almacenada en el sistema.
  5. Si, sin desconectar la fuente, se retira el líquido dieléctrico, ¿cuánto cambia la energía almacenada? ¿Cuánto trabajo realiza el generador?

2 Potencial y campo eléctrico

2.1 Planteamiento general

Con el fin de facilitar la descripción del sistema bajo estudio, adoptaremos un sistema de referencia cuyo origen O coincida con el centro de la esfera condutora de radio a, y cuyo OZ sea perpendicular a la superficie plana definida por la interfaz entre el vacío y el líquido dieléctrico lineal de permitividad dieléctrica \displaystyle \varepsilon. De esta forma, la superficie \partial\mathrm{C} de la esfera conductora y la interfaz Σ entre los dieléctricos estarán descritas en coordenadas esféricas por las expresiones
\partial \mathrm{C}:\ r=a;           \Sigma: \theta=\frac{\pi}{2}\;\; (r>a)

Asumiendo que el sistema se halla en equilibrio electrostático cuando la esfera conductora está conectada a la fuente de tensión constante, se tendrá que el campo eléctrico \mathbf{E}(\mathbf{r}) es irrotacional y deriva, por tanto de un potencial electrostático \phi(\mathbf{r}),

\nabla\times\mathbf{E}=\mathbf{0}\quad\Longleftrightarrow\quad\mathbf{E}=-\nabla\phi

Además, tanto si el conductor consiste en una esfera conductora maciza, o bien presenta huecos (pero sin carga eléctrica en su interior), el campo eléctrico en toda la región r < a debe ser nulo. En consecuencia, el potencial va a ser constante, y como este campo escalar debe ser continuo, el valor del potencial en el interior de la esfera conductora va a ser igual al que tiene en \partial\mathrm{C}, que es superficie equipotencial de valor V0, fijado por la fuente. Por otra parte, considerando que el interior de la esfera (maciza o hueca) es un medio lineal que se comporta como un conductor ideal, se tendrá que el vector desplazamiento es también nulo en dicha región:

\mathbf{E}(|\mathbf{r}|<a)=\mathbf{0}\mathrm{;}\qquad\phi(|\mathbf{r}|<a)=\phi(|\mathbf{r}|=a^+)=V_0\mathrm{;}\qquad\mathbf{D}(|\mathbf{r}|<a)=\mathbf{0}

Este resultado está directamente relacionado con la ausencia de carga eléctrica neta (libre o de polarización) en los puntos del interior de la esfera; sin embargo, en la superficie conductora \partial\mathrm{C}, sí van a existir distribuciones de carga eléctrica, vinculadas a la discontinuidad de la componente normal del campo eléctrico sobre dicha superficie. Y es que entre la superficie de la esfera (a potencial V0) y el infinito (donde \phi(\mathbf{r}) se anula), existe un gradiente de potencial y, en consecuencia, un campo eléctrico \mathbf{E}(\mathbf{r}). Las fuentes escalares de este campo serán las distribuciones de carga eléctrica (libres y de polarización) existentes en la superficie de la esfera conductora, así como las cargas de polarización que pudiese haber en la región ocupada por el líquido dieléctrico; obsérvese que si éste es un dieléctrico ideal, no puede contener cargas libres. Por otra parte, en el semiespacio vacío no va a existir ningún tipo de carga eléctrica.

2.2 Ecuación para el potencial

En el espacio exterior a la esfera conductora , ocupado por sendos medios que presentan comportamiento dieléctrico lineal, las ecuaciones que determinan los campos electrostáticos y la relación constitutiva que los relaciona son

\nabla\cdot\mathbf{D}=\rho_l(\mathbf{r})\ \mathrm{;}        \nabla\times\mathbf{E}=\mathbf{0}\ \mathrm{;}        \mathbf{D}(\mathbf{r})=\varepsilon(\mathbf{r}) \mathbf{E}(\mathbf{r})

donde ρl es la densidad volumétrica de carga eléctrica libre y \varepsilon(\mathbf{r}) es la permitividad dieléctrica del medio. Según se discutió en el apartado anterior, no puede haber carga eléctrica libre en la región exterior a la esfera conductora(r > a); además, dicha región puede considerarse como un medio inhomogéneo formado por el semiespacio vacío y el ocupado por el líquido dieléctrico. Por tanto, se tendrá que

\displaystyle\rho_l(r>a)=0\ \mathrm{;}        \varepsilon(\mathbf{r})=\left\{\begin{array}{l}\varepsilon_0\mathrm{;}\;\;\;\mathrm{si}\;\; r>a\;\;\mathrm{y}\;\; 0\le\theta<\pi/2\\ \\ \varepsilon\mathrm{;}\;\;\;\mathrm{si}\;\;  r>a\;\;\mathrm{y}\;\; \pi/2<\theta\le\pi\end{array}\right.

Teniendo en cuenta ahora que el campo eléctrico es irrotacional y, por tanto, deriva de un potencial electrostático, la ecuación de la divergencia del vector desplazamiento lleva al siguiente resultado:

\nabla\cdot\mathbf{D}=0\quad\Longrightarrow\quad    \nabla\cdot\left[\varepsilon(\mathbf{r})\nabla\phi\right]=0\quad\Longrightarrow\quad\left\{\begin{array}{l}\nabla\cdot(\varepsilon_0\nabla\phi)=0\mathrm{;}\;\;\;\mathrm{en}\;\; r>a\;\;\mathrm{y}\;\; 0\le\theta<\pi/2\\ \\ \nabla\cdot(\varepsilon\nabla\phi)=0\mathrm{;}\;\;\;\mathrm{en}\;\;  r>a\;\;\mathrm{y}\;\; \pi/2<\theta\le\pi\end{array}\right.

Y como las permitividades \varepsilon_0 y \varepsilon son constantes en su correspondiente semiespacio, ambas ecuaciones llevan a que el potencial electrostático verifica la ecuación de Laplace, tanto en el vacío como en el líquido dieléctrico.

\nabla^2\phi(\mathbf{r})=0\ \mathrm{;}\;\;\; \forall\;\; |\mathbf{r}|>a

En principio cabría pensar que la solución a esta ecuación podría ser una distinta en cada dieléctrico; sin embargo, en el enunciado se indica que el potencial es sólo función de la variable r. Es decir, el valor del potencial en un punto sólo va a depender de la distancia \ r a que se encuentre del centro de la esfera, independientemente del semiespacio en que se halle. Como se puede comprobar en el anexo final, ésta no va a ser una mera suposición que permite obtener un resultado analítico sencillo, más o menos aproximado a la solución exacta, sino que lleva a dicha solución exacta.

En definitiva, la solución al problema del potencial para \ r>a es una función de la forma \ \phi(r), que verifica la ecuación de Laplace y las condiciones de contorno fijadas en sistema:

\frac{1}{r^2}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}\left(r^2\frac{\mathrm{d}\phi}{\mathrm{d}r}\right)=0\mathbf{,}\;\;\;\mathrm{para}\;\;r>a\mathbf{;}\qquad\phi(r=a)=V_0\mathbf{;}\;\;\;\phi(r\rightarrow\infty)=0

2.3 Potencial eléctrico

Puesto que el punto singular correspondiente al valor \ r=0 no pertenece al dominio donde se busca la solución de la anterior ecuación diferencial, la integral primera de ésta será

r^2\frac{\mathrm{d}\phi}{\mathrm{d}r}=-A\mathrm{,}\;\;\; \mathrm{cte.}

La función solución al problema del potencial en la región dieléctrica inhomogénea, exterior a la esfera conductora, será de la forma

\frac{\mathrm{d}\phi}{\mathrm{d}r}=-\frac{A}{r^2}\;\;\Longrightarrow\;\;\phi(r)=\frac{A}{r}+B\mathrm{,}

donde las constantes \ A y \ B se determinan a partir de las condiciones de contorno:

\left.\begin{array}{r}\displaystyle \phi(r=a)=\frac{A}{a}+B=V_0\\ \\ \phi(r\rightarrow\infty)=B=0\end{array}\right\}\, \Longrightarrow\;A=V_0 a \mathrm{;}\;\;\;B=0

Este resultado, junto con el discutido en el apartado dedicado al planteamiento general del problema, nos lleva a formular la función de campo

\phi(\mathbf{r})=\phi(r)=\left\{\begin{array}{l}V_0\mathrm{;}\;\;\;r\le a\\ \\ \displaystyle\frac{V_0\ a}{r}\mathrm{;}\;\;\;r > a\end{array}\right.

que describe el potencial electrostático creado en todos los puntos del espacio por el sistema bajo estudio.

2.4 Campo eléctrico

Como ya se discutió en el planteamiento general del problema, el campo electrostático es, en cada punto el vector opuesto al gradiente del potencial; por tanto,

\mathbf{E}(\mathbf{r})=-\nabla\phi(\mathbf{r})=\left\{\begin{array}{l}\mathbf{0}\mathrm{;}\;\;\;r< a\\ \\ \displaystyle-\frac{\mathrm{d}\phi}{\mathrm{d}r}\ \mathbf{u}_r=\frac{V_0\ a}{r^2}\ \mathbf{u}_r\mathrm{;}\;\;\;r>a\end{array}\right.

3 Vector desplazamiento y carga libre

3.1 Vector desplazamiento

Asumiendo que todos los medios son lineales (incluido el interior de la esfera), se tendrá,

\mathbf{D}(\mathbf{r})=\varepsilon(\mathbf{r}) \mathbf{E}(\mathbf{r})=\left\{\begin{array}{l}\mathbf{0}\mathrm{;}\;\;\;r<a\\ \\ \displaystyle\varepsilon_0\ \frac{V_0\ a}{r^2}\ \mathbf{u}_r\mathrm{;}\;\;\; r>a\;\;\mathrm{y}\;\; 0\le\theta<\pi/2\\ \\ \displaystyle\varepsilon\ \frac{V_0\ a}{r^2}\ \mathbf{u}_r\mathrm{;}\;\;\; r>a\;\;\mathrm{y}\;\; \pi/2<\theta\le\pi\end{array}\right.

3.2 Carga libre en la esfera

Para determinar la cantidad total de carga eléctrica libre en la esfera conductora aplicamos la ley de Gauss en un volumen \ \tau, en cuyo interior se encuentre dicho elemento. Como se argumentó en el planteamiento general, la región exterior (\ r>a) es un dieléctro inhomogéneo ideal que no contendrá cargas libres, por tanto, el flujo del vector desplazamiento a través de la superficie cerrada \ \partial\tau (superficie virtual que encierra al volumen \ \tau) será igual a la carga libre total que hay en la esfera conductora. Además, como ésta se encuentra en equilibrio electrostático, toda esa carga libre estará distribuida en la superficie esférica \ \partial\mathrm{C}:

\oint_{\partial\tau}\!\mathbf{D}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}=Q_\mathrm{lib}\big\rfloor_\tau=Q_\mathrm{lib}\big\rfloor_{\partial\mathrm{C}}

El único requerimiento para la superficie cerrada Puesto que el vector desplazamiento tiene dirección radial en todos sus puntos, y que el único requerimento para la superficie cerrada \ \partial\tau es que debe encerrar por completo a la esfera conductora, tomaremos como tal a una superficie esférica de radio arbitrario \ r, que debe ser mayor que el radio de la esfera, \ a. Esto permite calcular fácilmente el flujo de \ \mathbf{D}(\mathbf{r}) a su través, teniendo en cuenta que la componente de dicho vector presenta distinta definición en cada uno de los semiespacios dieléctricos.

Sea \ Q la cantidad total de carga libre en la superficie de la esfera conductora; se tendrá que,


\left.\begin{array}{l}\displaystyle Q=\oint_{\partial\tau}\!\mathbf{D}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}\\ \\ \displaystyle \mathrm{d}\mathbf{S}\big\rfloor_{\partial\tau}=r^2\mathrm{sen}\,\theta\,\mathrm{d}\theta \mathrm{d}\varphi\ \mathbf{u}_r\;\;(r>a)\end{array}\right\}\;\Longrightarrow     Q= \int_0^{2\pi}\!\!\mathrm{d}\varphi\int_0^{\pi/2}\!\!\varepsilon_0 V_0 \ a\ \mathrm{sen}\,\theta\,\mathrm{d}\theta\, + \, \int_0^{2\pi}\!\!\mathrm{d}\varphi\int_{\pi/2}^\pi\!\!\varepsilon V_0 \ a\ \mathrm{sen}\,\theta\,\mathrm{d}\theta=2\pi (\varepsilon_0+\varepsilon)a V_0

Y puesto que no hay más carga libre en el sistema, podemos definir la capacidad eléctrica de la esfera conductora como la relación entre la carga \ Q que acumula y el potencial al que se encuentra; es decir,

C_{\partial\mathrm{C}}=\left.\frac{Q_\mathrm{lib}}{V}\right|_{\partial\mathrm{C}}=\frac{Q}{V_0}=2\pi(\varepsilon_0+\varepsilon) a

4 Distribuciones de carga

4.1 Densidades de carga libre

Como ya hemos argumentado varias veces, la carga libre en el sistema sólo puede encontrarse en la superficie conductora; por tanto, la función densidad volumétrica de carga libre, \ \rho_l(\mathbf{r}), es nula en todo el espacio. De hecho, éste es el dato clave que utilizamos para llegar a la conclusión de que el potencial electrostático en \ r>a verifica la ecuación de Laplace. Por tanto, la solución al problema del potencial y los campos \ \mathbf{E}(\mathbf{r}) y \ \mathbf{D}(\mathbf{r}) que se obtienen a partir de dicha solución, deben ser tales que la divergencia del vector desplazamiento se anule en todos los puntos del espacio.

\rho_l(\mathbf{r})=0\mathrm{,}\;\;\;\forall\; \mathbf{r}    \Longrightarrow\quad \nabla\cdot\mathbf{D}(\mathbf{r})=0\mathrm{,}\;\;\;\forall\; \mathbf{r}

Es decir, podemos asegurar que la expresión formulada en el apartado 3.1 para \ \mathbf{D}(\mathbf{r}) no sería correcta si no verificase esta propiedad, pues iría en contra de la hipótesis inicial de ausencia total de distribución volumétrica de carga libre.


La distribución de carga libre en la superficie conductora \ \partial\mathrm{C} está determinada por la discontinuidad que en el valor \ r=a presenta la componente de \ \mathbf{D}(\mathbf{r}) que es normal a dicha superficie:

\sigma_l\big\rfloor_{\partial\mathrm{C}}=\mathbf{n}\cdot\left[\mathbf{D}\big\rfloor_{r=a^+}-\mathbf{D}\big\rfloor_{r=a^-}\right]_{\partial\mathrm{C}}\mathrm{;}\qquad\mathrm{siendo}\;\;\;\mathbf{n}\big\rfloor_{\partial\mathrm{C}}=\mathbf{u}_r(\theta,\varphi)

En la expresión del apartado 3.1 vemos que el vector desplazamiento es nulo en \ r=a^- (interior de la esfera), y normal a la superficie esférica en \ r=a^+; además, el valor de dicho vector en los puntos de la porción de superficie esférica rodeada de vacío (semiesfera superior), es constante y distinto del que tiene sobre la semiesfera en contacto con el líquido:

\sigma_l\big\rfloor_{\partial\mathrm{C}}=\mathbf{u}_r\cdot\mathbf{D}(\mathbf{r})\big\rfloor_{r=a^+}=\left\{
\begin{array}{l} \displaystyle\frac{\varepsilon_0\ V_0}{a}\ \mathrm{;}\;\;\; 0\le\theta<\pi/2\\ \\ \displaystyle\frac{\varepsilon\ V_0}{a}\ \mathrm{;}\;\;\; \pi/2<\theta\le\pi\end{array}\right.

4.2 Densidades de carga de polarización

Para determinar las distribuciones de carga de polarización tendremos en cuenta que la densidad (volumétrica o superficial) de carga eléctrica total un punto es igual a la suma de las densidades de carga libre y de polarización:

\rho_e(\mathbf{r})=\rho_l(\mathbf{r})+\rho_p(\mathbf{r})\mathrm{;}\qquad\sigma_e(\mathbf{r})=\sigma_l(\mathbf{r})+\sigma_p(\mathbf{r})

Acabamos de calcular la densidades de carga libre y las de carga eléctrica total se obtienen a partir de la divergencia del campo eléctrico y sus discontinuidades en las superficies que separan medios distintos. Utilizando la expresión del campo eléctrico formulada en el apartado 2.4, se obtiene,

\rho_e(\mathbf{r})=\varepsilon_0\ \nabla\cdot\mathbf{E}(\mathbf{r})=0\mathrm{,}\;\;\;\forall\; \mathbf{r}\quad\Longrightarrow    \rho_p(\mathbf{r})=\rho_e(\mathbf{r})-\rho_l(\mathbf{r})=0\mathrm{,}\;\;\;\forall\; \mathbf{r}

Para determinar las distribuciones superficiales de este tipo de cargas, calcularemos primero la densidades superficiales de carga eléctrica total, ligadas a las discontinuidades del campo eléctrico. Éste sufre un salto en la superficie eléctrica conductora \ \partial\mathrm{C}, pues pasa de ser nulo en \ r=a^-, a ser normal a dicha superficie y de igual valor en todos sus puntos:

\sigma_e(\mathbf{r})\big\rfloor_{\partial\mathrm{C}}=
\varepsilon_0\ \mathbf{n}\cdot\left[\mathbf{E}\big\rfloor_{r=a^+}-\mathbf{E}\big\rfloor_{r=a^-}\right]_{\partial\mathrm{C}}\quad\Longrightarrow\quad\sigma_e(\mathbf{r})\big\rfloor_{\partial\mathrm{C}}=\varepsilon_0\ \mathbf{u}_r
\cdot\mathbf{E}\big\rfloor_{r=a^+}=\frac{\varepsilon_0\ V_0}{a}\mathrm{,}\;\;\;\forall\;\;\theta

La distribución de carga eléctrica de polarización en la superficie de contacto entre los medios dieléctricos y la esfera conductora se obtiene restando la densidades superficiales de carga eléctrica total y de carga libre en dicha superficie:

\sigma_p(\mathbf{r})\big\rfloor_{\partial\mathrm{C}}=\sigma_e(\mathbf{r})\big\rfloor_{\partial\mathrm{C}}-\sigma_l(\mathbf{r})\big\rfloor_{\partial\mathrm{C}}=\left\{
\begin{array}{l} \displaystyle\frac{\varepsilon_0\ V_0}{a}-\frac{\varepsilon_0\ V_0}{a}=0\ \mathrm{;}\;\;\; 0\le\theta<\pi/2\\ \\ \displaystyle\frac{V_0}{a}\ (\varepsilon_0-\varepsilon)\ \mathrm{;}\;\;\; \pi<\theta\le\pi\end{array}\right.

Pero en el sistema existe otra superficie donde puediera haber carga eléctricas de polarización: la interfaz \ \Sigma que separa el vacío y el líquido dieléctrico. Al tratarse de medios dieléctricos ideales, no habrá cargas eléctricas libres en dicha superficie, de manera que la densidad superficial de cargas de polarización coincidirá con la de carga eléctrica total y, por tanto, con la discontinuidad del campo eléctrico en la dirección normal a la interfaz dieléctrica. Pero el campo eléctrico es continuo en todos los puntos del espacio exterior a la esfera conductora; además, al ser radial, es tangencial a la superficie \ \Sigma, de manera que,

\mathbf{E}\big\rfloor_{\theta=\frac{\pi}{2}^+}=\mathbf{E}\big\rfloor_{\theta=\frac{\pi}{2}^-}\quad\Longrightarrow    

 

\sigma_p(\mathbf{r})\big\rfloor_{\Sigma}=\sigma_e(\mathbf{r})\big\rfloor_{\Sigma}=\varepsilon_0\ \mathbf{n}\cdot\left[\mathbf{E}\big\rfloor_{\theta=\frac{\pi}{2}^+}-\mathbf{E}\big\rfloor_{\theta=\frac{\pi}{2}^-}\right]_{\Sigma}=0


En resumen, no existen cantidades netas de cargas de polarización distribuidas en volumen. Este tipo de cargas sólo se encuentran en la superficie semiesférica correspondiente al contacto entre la esfera conductora y el líquido dieléctrico del semiespacio inferior. Además, esta densidad superficial de carga de polarización tendrá signo opuesto al del valor \ V_0 del potencial de la esfera, pues siempre se verificará que la permitividad dieléctrica del vacío es menor que la del líquido.


Otro posible procedimiento para determinar las distribuciones de cargas de polarización consiste en determinar el campo de polarización a partir de las expresiones obtenidas para los campos \ \mathbf{E}(\mathbf{r}) y \ \mathbf{D}(\mathbf{r}), y luego calcular su divergencia en todo el espacio y sus discontinuidades en las superficies que separan medios distintos:

\mathbf{P}(\mathbf{r})=\mathbf{D}(\mathbf{r})-\varepsilon_0\ \mathbf{E}(\mathbf{r})\quad\Longrightarrow\quad\rho_p(\mathbf{r})=-\nabla\cdot\mathbf{P}(\mathbf{r})\mathrm{;}\qquad\sigma_p(\mathbf{r})\big\rfloor_{S}=-\mathbf{n}\cdot\left[\mathbf{P}(\mathbf{r}^+)-\mathbf{P}(\mathbf{r}^-)\right]_{S}

5 Energía almacenada

Puesto que en los apartados 2.4 y 3.1 tenemos las expresiones del campo eléctrico y el vector desplazamiento, podemos calcular la energía electrostática total almacenada \ U_e, integrando en todo el espacio la función densidad de energía, \ u_e(\mathbf{r}), la cuál describe la cantidad de energía electrostática por unidad de volumen que hay en cada punto. Teniendo en cuenta que los campos \ \mathbf{E}(\mathbf{r}) y \ \mathbf{D}(\mathbf{r}) son nulos dentro de la esfera conductora, y que fuera de ella hay medios dieléctricos lineales, se tendrá que,

u_e(\mathbf{r})=\left\{\begin{array}{l}0\mathrm{;}\;\;\;r<a\\ \\ \displaystyle\frac{1}{2}\ \mathbf{E}\cdot\mathbf{D}\mathrm{;}\;\;\;r>a \end{array}\right.\quad\Longrightarrow\quad U_e=\frac{1}{2}\int_{r>a}\!\mathbf{E}\cdot\mathbf{D}\ \mathrm{d}\tau

Teniendo en cuenta que los campos están expresados en coordenadas esféricas y utilizando la expresión del elemento de volumen en dichas coordenadas, se obtiene

U_e=\frac{\varepsilon_0 V_0^2 a^2}{2}\int_0^{2\pi}\!\!\!\mathrm{d}\varphi\int_0^{\pi/2}\!\!\! \mathrm{sen}\,\theta\,\mathrm{d}\theta\int_a^\infty\!\!\frac{\mathrm{d}r}{r^2}\;\; + \;\; \frac{\varepsilon V_0^2 a^2}{2}\int_0^{2\pi}\!\!\!\mathrm{d}\varphi\int_{\pi/2}^{\pi}\!\!\! \mathrm{sen}\,\theta\,\mathrm{d}\theta\int_a^\infty\!\!\frac{\mathrm{d}r}{r^2}=\pi (\varepsilon_0+\varepsilon)a V_0^2

Puede comprobarse se obtiene este mismo resultado a partir de la distribución de carga libre en el sistema y del potencial: como sólo hay carga libre sobre la superficie conductora \ \partial\mathrm{C}, y ésta es una equipotencial \ldots

U_e=\frac{1}{2}\int_{\partial\mathrm{C}}\!\!\sigma_l\phi\mathrm{d}S=\frac{1}{2}V_0Q_\mathrm{lib}\big\rfloor_{\partial\mathrm{C}}=\frac{1}{2}C_{\partial\mathrm{C}}V_0^2=\pi  (\varepsilon_0+\varepsilon)a V_0^2

6 Variación de energía y trabajo del generador

Si se retira el líquido dieléctrico, manteniendo la esfera conectada al generador, la carga eléctrica libre seguirá estando localizada en la superficie conductora, aunque cambiando tanto la distribución como la cantidad de carga: ahora, la esfera a potencial \ V_0 estará completamente rodeada de vacío; es decir, se halla inmersa en un medio homogéneo, de forma que la carga libre se distribuirá uniformemente. Además, la cantidad de carga eléctrica libre (y la energía eléctrostática, por tanto), estará determinada por el nuevo valor de la capacidad eléctrica del conductor esférico de radio \ a y del potencial a que se halla:

Q^\prime_\mathrm{lib}\big\rfloor_{\partial\mathrm{C}}=Q^\prime=C^\prime_{\partial\mathrm{C}}V_0=4\pi\varepsilon_0a\ V_0\quad\Longrightarrow    
U^\prime_e=\frac{1}{2}V_0Q^\prime_\mathrm{lib}\big\rfloor_{\partial\mathrm{C}}=\frac{1}{2}C^\prime_{\partial\mathrm{C}}V_0^2=2\pi  \varepsilon_0 a V_0^2

Por ser la energía electrostática un función de estado, su variación en el proceso de retirada del líquido dieléctrico será igual a la diferencia entre los valores de esta magnitud después y antes de quitarlo, independientemente de las características del proceso:


\Delta U_e=U^\prime_e-U_e=2\pi \varepsilon_0 a V_0^2-\pi  (\varepsilon_0+\varepsilon)a V_0^2=\pi(\varepsilon_0-\varepsilon)a V_0^2<0

Es decir, al retirar el líquido dieléctrico ha disminuido la energía del sistema. Esto indica que el campo eléctrico ha realizando trabajo durante el proceso.


La energía suministrada por el generador la podemos calcular a partir de su potencia instantánea (energía suministrada en la unidad de tiempo). La integral de esta magnitud a lo largo del proceso de retirada del líquido proporcionará la energía total que suministra. Si la fuerza electromotriz del generador es \mathcal{E}_g, y proporciona una intensidad de corriente \ I, se tendrá

\frac{dW_g}{dt}=P_g(t)=\mathcal{E}_g(t)I(t)\quad\Longrightarrow\quad\Delta W_g=\int_{t_i}^{t_f}\!P_g(t)dt

En el caso que nos ocupa (en que supondremos que la resistencia interna del generador es despreciable), la fuerza electromotriz es \ V_0, y la intensidad de corriente será igual a la cantidad de carga libre que “sale” del generador, por unidad de tiempo. Entonces,

P_g(t)=V_0\ \frac{dQ_\mathrm{lib}}{dt}\quad\Longrightarrow\quad\Delta W_g=V_0\ \int_{Q_\mathrm{lib}^i}^{Q_\mathrm{lib}^f}\!\! dQ_\mathrm{lib}\quad\Longrightarrow    \Delta W_g=V_0\Delta Q_\mathrm{lib}\big\rfloor_{\partial\mathrm{C}}=V_0(Q^\prime-Q)=2\pi(\varepsilon_0-\varepsilon)a V_0^2=2\Delta U_e<0

Es decir, la energía suministrada por el generador es negativa, lo que significa que, durante el proceso, una cantidad neta de carga eléctrica libre ha “entrado” en el generador desde la esfera conductora. Obsérvese que esto es compatible con el resultado obtenido anteriormente de que la energía electrostática ha disminuido: el campo eléctrico ha trabajado para “meter” la carga en el generador, disminuyendo así la energía electrostática inicialmente almacenada. Sin embargo, el trabajo realizado por el campo eléctrico (que será \ |\Delta U_e|), sólo es la mitad del trabajo necesario para devolver la carga libre al generador, \ |\Delta W_g|. La otra mitad del trabajo habrá sido aportada por una fuerza de carácter externo, que ha sido necesario aplicar para retirar el líquido dieléctrico.

7 Anexo: discusión sobre la simetría de la solución

Obsérvese que el sistema bajo estudio no tiene simetría esférica, pues ésta es rota por la discontinuidad entre el vacío y el líquido dieléctrico, que se verfica en el plano \ \theta=\pi/2 (es decir, en \ z=0). No obstante, sí presenta simetría cilíndrica, pues las propiedades del sistema van a ser invariantes en la coordenada \varphi. Por tanto, el potencial electrostático podrá ser, en principio, función de las coordenadas cilíndricas, \ \phi(\rho,z), o bien \ \phi(r,\theta) si utilizamos las esféricas. Obsérvese que la existencia de soluciones distintas en cada medio,

\phi(r,\theta)=\left\{\begin{array}{l}\phi_\mathrm{vac}(r)\mathrm{;}\;\;\;\mathrm{en}\;\; r\ge a\;\;\mathrm{y}\;\; 0\le\theta<\pi/2\\ \\ \phi_\mathrm{liq}(r)\mathrm{;}\;\;\;\mathrm{en}\;\;  r\ge a\;\;\mathrm{y}\;\; \pi/2<\theta\le\pi\end{array}\right.

está indicando una dependencia implícita de la solución con el parámetro \ \theta.

Sin embargo, revisemos las condiciones de contorno que debe verificar el potencial. En la superficie esférica conductora debe valer \ V_0, mientras que cuando \ r\rightarrow \infty dicho campo escalar debe anularse, independientemente del valor de \ \theta:

\phi_\mathrm{vac}(r=a)=\phi_\mathrm{liq}(r=a)=V_0\mathrm{;}\qquad\phi_\mathrm{vac}(r\rightarrow\infty)=\phi_\mathrm{liq}(r\rightarrow\infty)=0

Por otra parte, el potencial debe ser continuo en la interfaz \ \Sigma que separa el vacío y el líquido dieléctrico, de manera que

\phi_\mathrm{vac}(r)\big\rfloor_{\theta=\frac{\pi}{2}^-}=\phi_\mathrm{liq}(r)\big\rfloor_{\theta=\frac{\pi}{2}^+}\;\;\;\forall\;\; r>a

Luego si las soluciones al potencial en el vacío y en el líquido verifican la misma ecuación (la ecuación de Laplace) y las mismas condiciones de contorno, sus expresiones deben ser idénticas. O lo que es lo mismo, podemos proponer una función \ \phi(r), que sólo depende de la distancia \ r al punto \ O, como solución al problema del potencial en el espacio exterior a la esfera conductora.

Comprobemos ahora que los campos vectoriales que se derivan de este potencial verifican correctamente las condiciones de continuidad y salto en la interfaz \ \Sigma: \theta=\pi/2:

\mathbf{n}\times\left[\mathbf{E}\big\rfloor_{\theta=\frac{\pi}{2}^+}-\mathbf{E}\big\rfloor_{\theta=\frac{\pi}{2}^-}\right]_\Sigma=\mathbf{0}\ \mathrm{;}\qquad
\mathbf{n}\cdot\left[\mathbf{D}\big\rfloor_{\theta=\frac{\pi}{2}^+}-\mathbf{D}\big\rfloor_{\theta=\frac{\pi}{2}^-}\right]_\Sigma=\sigma_l\big\rfloor_\Sigma

donde \ \mathbf{n} es el vector normal a dicha superficie, en el sentido creciente de la variable \ \theta; es decir,

\mathbf{n}\big\rfloor_\Sigma=\mathbf{u}_\theta(\theta=\pi/2;\varphi)=-\mathbf{u}_z

Por su parte, \ \sigma_l\big\rfloor_\Sigma, es la densidad superficial de carga eléctrica libre en \ \Sigma. Por tratarse de una interfaz entre dos medios considerados como dieléctricos ideales, esta densidad va a ser nula en todos los puntos de dicha superficie.

El campo eléctrico que se deriva del potencial \ \phi(r) va a ser radial y, por tanto, paralelo a la interfaz \ \Sigma en todos sus puntos. Si el potencial es la misma función \ \phi(r) para todo el espacio, la componente radial (la única), no es función de \ \theta y se tendrá,

\mathbf{E}(\mathbf{r})=-\nabla \phi (r)=E(r)\mathbf{u}_r(\theta,\varphi)\;\;\;\Longrightarrow

 

\Longrightarrow\;\;\;\mathbf{E}(\mathbf{r})\big\rfloor_{\theta=\frac{\pi}{2}^+}=E(r)\mathbf{u}_r(\pi/2,\varphi)=\mathbf{E}(\mathbf{r})\big\rfloor_{\theta=\frac{\pi}{2}^-}

verificándose, por tanto, la continuidad de la componente del campo eléctrico que es tangencial a la interfaz \ \Sigma.

En cuanto al vector desplazamiento, también va tener la dirección radial en cada punto, sin embargo, su componente en dicha dirección va a depender del medio:

\mathbf{D}(\mathbf{r})=\varepsilon(\mathbf{r})\mathbf{E}(\mathbf{r})=\left\{\begin{array}{l}\varepsilon_0E(r)\mathbf{u}_r(\theta,\varphi)\mathrm{;}\;\;\;\mathrm{en}\;\; r>a\;\;\mathrm{y}\;\; 0\le\theta<\pi/2\\ \\ \varepsilon E(r)\mathbf{u}_r(\theta,\varphi)\mathrm{;}\;\;\;\mathrm{en}\;\;  r>a\;\;\mathrm{y}\;\; \pi/2<\theta\le\pi\end{array}\right.

 

Por tanto, el vector desplazamiento es tangente al plano \ \Sigma: \theta=\pi/2, aunque el módulo va a ser distinto a un lado y otro:

 

\mathbf{D}(\mathbf{r})\big\rfloor_{\theta=\frac{\pi}{2}^+}=\varepsilon E(r)\mathbf{u}_r(\pi/2,\varphi)\neq\varepsilon_0 E(r)\mathbf{u}_r(\pi/2,\varphi)=\mathbf{D}(\mathbf{r})\big\rfloor_{\theta=\frac{\pi}{2}^-}

Es decir, sufre una discontinuidad en dicha superficie. La ausencia de carga libre en la interfaz entre el vacío y el líquido dieléctrico tiene como consecuencia que las componentes normales del vector desplazmamiento deben ser continuas, lo cuál es compatible con el resultado anterior donde obtuvimos que dicho vector va a ser puramente tangencial, de manera que

-\mathbf{u}_z=\mathbf{n}\big\rfloor_\Sigma\perp\mathbf{D}(\mathbf{r})\big\rfloor_{\theta=\frac{\pi}{2}^\pm}\;\;\;\Longrightarrow\;\;\;
\mathbf{u}_z\cdot\left[\mathbf{D}\big\rfloor_{\theta=\frac{\pi}{2}^+}-\mathbf{D}\big\rfloor_{\theta=\frac{\pi}{2}^-}\right]_\Sigma=0

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