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Esfera conductora con dos huecos esféricos

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

En una esfera metálica de radio R se han hecho dos cavidades, también esféricas, de radio R / 2. Concéntricas con cada una de estos huecos se hallan sendas esferas metálicas de radio R / 4. No hay más conductores en el sistema. Suponga que la esfera exterior se encuentra aislada y descargada; una de las esferas interiores se encuentra aun potencial V0 y la otra se encuentra a tierra. ¿Cuál es la carga en cada conductor? ¿Y el potencial?

Halle la energía almacenada en el sistema.

Imagen:tresesferas.png

2 Coeficientes de capacidad

El problema se reduce a la determinación de los coeficientes de capacidad del sistema. Conocidos éstos, con los datos del problema pueden determinarse las cargas y potenciales restantes.

La forma más sencilla de determinar la relación QV es a través del circuito equivalente. Tenemos tres conductores: la esfera exterior (que denominaremos “2”), la esfera a potencial V0 (“1”) y la que está a tierra (“3”).

En el circuito, cada conductor representa a un nodo. En principio, entre cada par de conductores se encuentra un condensador \overline{C}_{ik}, más los que conectan a cada uno con el infinito, \overline{C}_{ii}. Sin embargo, el conductor 2 apantalla al 1 y al 3, tanto entre sí como con el infinito (no puede haber líneas de campo que vayan del 1 al 3 o al exterior), por tanto,

\overline{C}_{11}=\overline{C}_{33}=\overline{C}_{13}=0

A su vez, el conductor 1 forma con el conductor 2 un condensador esférico, de radio interior R / 4 y exterior R / 2. Lo mismo ocurre entre el 3 y el 2. Aplicando la fórmula para la capacidad de un condensador esférico C=4\pi\varepsilon_0 a b/(b-a), resulta

\overline{C}_{12}=\overline{C}_{23}=\frac{4\pi\varepsilon_0(R/2)(R/4)}{R/2-R/4}=2\pi\varepsilon_0 R

Podemos demostrar este resultado. Para calcular el coeficiente C21 debemos suponer el conductor 1 (una de las esferas interiores) a potencial unidad y el resto a tierra. En este caso, no hay campo eléctrico ni en el exterior del conductor 2, ni en el hueco entre el 2 y el 3, por estar todas las superficies a tierra.

En el hueco entre el conductor 1 y el 2 debemos resolver la ecuación de Laplace

\nabla^2\phi=0

con las condiciones de contorno

\phi=1\qquad \left(r_1=\frac{R}{4}\right)        \phi=0\qquad \left(r_1=\frac{R}{2}\right)

siendo r1 la distancia medida desde el centro de la esfera interior.

Al existir simetría de revolución dentro del hueco, la solución de la ecuación de Laplace es

\phi = M + \frac{N}{r_1}

Imponiendo las condiciones de contorno

1=M+ \frac{N}{R/4}        0 = M + \frac{N}{R/2}

queda el potencial

\phi=\frac{R}{2r_1}-1

La carga en la esfera interior, que por definición es el coeficiente C11 la hallamos a partir del flujo a través de una superficie que la envuelva.

C_{11} = \varepsilon_0 \oint_{S_1}\mathbf{E}_1{\cdot}\mathrm{d}\mathbf{S}_1 =
\varepsilon_0\oint\left(\frac{R}{2r_1^2}\mathbf{u}_{r_1}\right){\cdot}\left(r_1^2\,\mathrm{d}\Omega\mathbf{u}_{r_1}\right)=
2\pi\varepsilon_0 R

siendo el diferencial de ángulo sólido. Esto nos da el coeficiente C_{11}=2\pi\varepsilon_0 R. Como este conductor 1 se encuentra en influencia total con el 2, C_{12}=-C_{11}=-2\pi\varepsilon_0 R. La capacidad equivalente entre los dos nodos será \overline{C}_{12}=-C_{12}=2\pi\varepsilon_0 R.

Por último queda por determinar la capacidad \overline{C}_{22}. Ésta corresponde a las líneas que van del conductor 2 al infinito. El problema exterior es equivalente al de una sola esfera, cuya capacidad (calculable a partir de la de un condensador esférico haciendo b\to\infty) vale

\overline{C}_{22}=4\pi\varepsilon_0 R

Con esto queda completada la relación entre cargas y capacidades. En general

Q_1=2\pi\varepsilon_0 R(V_1-V_2)    Q_2=4\pi\varepsilon_0 RV_2+2\pi\varepsilon_0
R((V_2-V_1)+(V_2-V_3))=2\pi\varepsilon_0 R(-V_1+4V_2-V_3)        Q_3=2\pi\varepsilon_0 R(V_3-V_2)

En forma matricial

\begin{pmatrix}Q_1 \\ Q_2 \\ Q_3\end{pmatrix} = 2\pi\varepsilon_0R\begin{pmatrix}1 & -1 & 0 \\ -1 & 4 & -1 \\ 0 & -1 & 1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}V_1 \\ V_2 \\ V_3\end{pmatrix}

3 Cargas y voltajes

En nuestro problema, los datos son

V_1=V_0\,        Q_2=0\,        V_3=0\,


0=2\pi\varepsilon_0 R(4V_2-V_0)   \Rightarrow   V_2=\frac{V_0}{4}        Q_1=2\pi\varepsilon_0 R\left(V_0-\frac{V_0}{4}\right)=\frac{3\pi\varepsilon_0 R }{2}V_0        Q_3=2\pi\varepsilon_0 R\left(0-\frac{V_0}{4}\right)=-\frac{\pi\varepsilon_0 R }{2}V_0

y ya están determinadas todas las incógnitas del problema.


4 Cálculo empleando el circuito equivalente

Como alternativa, aprovechando el circuito equivalente al máximo, podemos emplearlo para determinar las cargas en los distintos conductores observando que, por estar los condensadores \overline{C}_{22} y \overline{C}_{23} conectados al conductor 2 y a tierra se encuentran en paralelo, formando un solo condensador de capacidad

C=2\pi\varepsilon_0 R+4\pi\varepsilon_0 R=6\pi\varepsilon_0 R

Este condensador se encuentra en serie con el \overline{C}_{12}. La asociación tiene una capacidad

C_\mathrm{eq}=\frac{\overline{C}_{12}C}{C+\overline{C}_{12}}=\frac{3}{2}\pi\varepsilon_0 R

Como la asociación está sometida a una tensión V0, la carga en la placa positiva (el conductor 1) vale

Q_1=C_\mathrm{eq}V_0=\frac{3\pi\varepsilon_0 R}{2}V_0

A partir de aquí podemos calcular la tensión en el conductor 2, restando la caída de tensión en el condensador \overline{C}_{12}

V_2=V_0-\frac{Q_1}{\overline{C}_{12}}=V_0-\frac{3}{4}V_0=\frac{V_0}{4}

La carga del conductor 3 la calculamos aplicando que equivale a la de la placa negativa del condensador \overline{C}_{23}, sometido a una tensión V0 / 4

Q_3=-\overline{C}_{23}\frac{V_0}{4}=-\frac{\pi\varepsilon_0 R}{2}V_0

resultando los valores ya conocidos.

5 Energía almacenada

Para hallar la energía, el camino más fácil es de nuevo el circuito equivalente. Ya conocidos las cargas y potenciales, la energía se calcula como

U_\mathrm{e}=\frac{1}{2}Q_1V_1+\frac{Q_2}{V_2}+\frac{1}{2}Q_3V_3= \frac{1}{2}Q_1V_1=\frac{3\pi\varepsilon_0 R}{4}V_0^2

Obsérvese que los conductores 2 y 3 no contribuyen por anularse su carga o su potencial.

Esta energía puede también calcularse a partir de la suma de energías almacenadas en diferentes condensadores

U_\mathrm{e}=\frac{1}{2}\overline{C}_{22}V_2^2+\frac{1}{2}\overline{C}_{12}(V_1-V_2)^2+
\frac{1}{2}\overline{C}_{23}(V_2-V_3)^2=

\frac{4\pi\varepsilon_0 R}{2}\left(\frac{V_0}{4}\right)^2+\frac{2\pi\varepsilon_0 R}{2}\left(\frac{V_0}{4}-V_0\right)^2+ \frac{2\pi\varepsilon_0 R}{2}\left(\frac{V_0}{4}-0\right)^2=

\frac{1}{8}\pi\varepsilon_0 R V_0^2+\frac{9}{16}\pi\varepsilon_0 R
V_0^2+\frac{1}{16}\pi\varepsilon_0 R V_0^2=\frac{3}{4}\pi\varepsilon_0 RV_0^2

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