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Esfera con huecos cargados y conectada a condensador, F2 GIA (Jun, 2015)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Una esfera conductora de radio 2R y centro O tiene practicados en su interior dos huecos esféricos tangentes pero no conectados, ambos de radio R, de centros A y B, de manera que \overrightarrow{OA}=-R\!\ \mathbf{i}, y \overrightarrow{OB}=R\!\ \mathbf{i}. Inicialmente, los huecos están vacíos y la esfera descargada.

Se procede a introducir en los huecos sendos gases ionizados, con iones de distinto signo y en concentraciones n1 y n2 lo suficientemente bajas como para poder considerar que las correspondientes cargas eléctricas se distribuyen uniformemente en cada uno de los volúmenes; así en el hueco de centro A hay una densidad volumétrica de carga constante \rho_1=n_1\!\ e, y en la de centro B, es \rho_2=-n_2\!\ e.

Obtenga las expresiones de las magnitudes que se indican a continuación, en función de los parámetros descritos, una vez que el sistema recupera el equilibrio electrostático
a) Carga eléctrica libre, Q0, en la superficie exterior de la esfera conductora, y densidad superficial que describe su distribución.
b) Campo eléctrico dentro de cada uno de los huecos con gas ionizado.
c) Valor V0 del potencial electrostático a que se encuentra la esfera conductora. Diferencia de potencial entre los centros A y B de los huecos.

A continuación, la esfera se conecta mediante un cable conductor muy largo a un disco conductor de radio R, que se encuentra separado una distancia d de otro disco idéntico conectado a tierra, formando ambos un condensador plano paralelo. El espacio entre los discos está relleno de aire.

Archivo:FII_1aconv_14_15_P1_0.gif

En este nuevo sistema...
d) ¿Qué relación deben verificar R y d para que la carga Q0 de la superficie conductora se reparta a partes iguales entre ésta y el disco del condensador al cuál está conectada?
e) Determine la expresión del potencial electrostático V en la esfera conductora y el disco, en función de los parámetros R y d.
f) Considérese el caso R=5\,\mathrm{cm} y Q_0=10\,\mathrm{nC}. Determine el valor mínimo posible para la distancia d de separación entre discos.

Datos: carga elemental: \;\displaystyle e\approx
1,6\times 10^{-19}\,\mathrm{C};     campo de ruptura dieléctrica del aire, E_\mathrm{rup}\approx 3\,\mathrm{kV/mm}.

2 Solución

2.1 Esfera conductora con carga eléctrica en los huecos

2.1.1 Carga eléctrica y densidad en la superficie exterior

Denominemos QA y QB a las cantidades totales de carga eléctrica distribuidas en los huecos esféricos de radio R practicados en la esfera, τA y τB, y cuyos centros son los puntos A y B, respectivamente. Como las cargas se distribuyen uniformemente en los volúmenes de los huecos, se tendrá:
Q_A=\int_{\tau_A}\!\! \rho_1 \!\ \mathrm{d}\tau=\frac{4}{3}\ \pi\!\ R^3\!\ n_1e\ \mathrm{;} \quad\quad Q_B=\int_{\tau_B}\!\! \rho_2 \!\ \mathrm{d}\tau=-\frac{4}{3}\ \pi\!\ R^3\!\ n_2e

Tras introducir estas cargas en los huecos, y cuando el sistema recupera el equilibrio electrostático, en la región conductora el campo eléctrico es nulo, al igual que la densidad volumétrica de carga eléctrica. En consecuencia, la esfera conductora sólo podrá tener carga eléctrica en las superficie exterior Σext, y en las interiores \Sigma_A\equiv\partial\tau_A y \Sigma_B\equiv\partial\tau_B adyacentes a los huecos. Sean:

Q_0=Q\rfloor_{\Sigma_\mathrm{ext}}\mathrm{;}\quad Q_1=Q\rfloor_{\Sigma_A}\mathrm{;}\quad \quad Q_2=Q\rfloor_{\Sigma_B}

En virtud de la ley de Gauss y como ha se ha visto en otros ejercicios correspondientes al tema de Campo Eléctrico, las cantidades totales de carga Q1 y Q2 en las superficie de los huecos τA y τB deben ser opuestas a las respectivas cantidades de carga distribuidas en dichos huecos:

Q_1=-Q_A=-\frac{4}{3}\ \pi\!\ R^3\!\ n_1e\ \mathrm{;} \quad\quad Q_2=-Q_B=\frac{4}{3}\ \pi\!\ R^3\!\ n_2e

Son éstas condiciones necesarias para que el campo en la región conductora sea nulo. Por otra parte, la esfera conductora se halla inicialmente descargada y permanece aislada por lo que, tras introducir las cargas en los huecos, la esfera conductora debe seguir descargada; es decir:

Q\rfloor_\mathrm{cond}=0=Q_0+Q_1+Q_2       \Rightarrow        Q_0=-Q_1-Q_2=\frac{4}{3}\pi R^3e(n_1-n_2)

Como no hay otras cargas eléctricas en el espacio exterior a la esfera conductora (es decir, para |\mathbf{r}|>2R), la carga libre Q0 se distribuirá uniformemente en la superficie \Sigma\rfloor_\mathrm{ext}:\!\ |\mathbf{r}|=2R. En consecuencia, la función densidad superficial que describe cómo se distribuye dicha carga, será una constante:

\sigma_e\rfloor_{P\in\Sigma_\mathrm{ext}}=\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}S}\bigg\rfloor_P=\frac{\Delta q}{\Delta S}=\frac{Q_0}{S_\mathrm{ext}}\ \mathrm{;}\;\;\mathrm{cte.}       \Rightarrow       \sigma_e\rfloor_{P\in\Sigma_\mathrm{ext}}=\frac{Q_0}{4\pi(2R)^2}=\frac{e(n_1-n_2)\!\ R}{12}=\sigma_0

2.1.2 Campo eléctrico en los huecos

Como sabemos, el campo eléctrico creado por una distribución volumétrica uniforme de carga en una esfera es idéntico al de una carga puntual en los puntos exteriores a la distribución, mientras que en los puntos interiores es radial, con módulo proporcional a la distancia al centro de la distribución. Pero, como veíamos en el apartado anterior, si dicha distribución se encuentra en un hueco interior a una región conductora, en la superficie esférica interfaz hueco--conductor se induce una carga opuesta a la del hueco tal que anula el campo creado por la distribución volumétrica en cualquier punto exterior a dicho hueco (teorema de Faraday). La consecuencia de esto en el sistema analizado, es que la carga que hay en cada uno de los huecos, sólo va a crear campo eléctrico en los puntos del propio hueco siendo, por tanto, radial respecto del centro correspondiente y con módulo que crece linealmente con la distancia a dicho punto.

Por otra parte, en los puntos exteriores a la esfera conductora (es decir, para |\mathbf{r}|>2R), el campo eléctrico será el creado por la carga Q0 distribuida uniformemente en la superficie Σext.

Así, la función vectorial de la posición que describe el campo eléctrico en los huecos de la esfera conductora y en los puntos exteriores a ésta, es:

\mathbf{E}(\mathbf{r})=\begin{cases}\displaystyle\frac{\rho_1}{3\varepsilon_0}\ (\mathbf{r}-\mathbf{r}_A)=\frac{e\!\ n_1}{3\varepsilon_0}\ (\mathbf{r}-\mathbf{r}_A)\mathrm{;}&|\mathbf{r}-\mathbf{r}_A|< R\\ \\ \displaystyle\frac{\rho_2}{3\varepsilon_0}\ (\mathbf{r}-\mathbf{r}_B)=-\frac{e\!\ n_2}{3\varepsilon_0}\ (\mathbf{r}-\mathbf{r}_B)\mathrm{;}&|\mathbf{r}-\mathbf{r}_B|< R\\ \\
\displaystyle k_e\!\ Q_0\ \frac{\mathbf{r}}{|\mathbf{r}|^3}=\frac{e(n_1-n_2)\!\ R^3}{3\varepsilon_0}\frac{\mathbf{r}}{|\mathbf{r}|^3}\mathrm{;}&|\mathbf{r}|> 2R\end{cases}


siendo \overrightarrow{OP}=\mathbf{r}. Como ya se ha discutido, en los puntos del conductor el campo eléctrico es nulo.

2.1.3 Valores del potencial electrostático

En la región conductora.

Como se sabe, la superficie de un conductor en equilibrio eléctrostático es equipotencial, y puesto que esta magnitud es continua en cualquier superficie y el campo eléctrico en el interior de la región conductora es estrictamente nulo, todos los puntos de dicha región se hallan también al mismo valor del potencial electrostático:

V(|\mathbf{r}|=2R)=V_0=V(\mathbf{r})\rfloor_\mathrm{cond}\mathrm{,}\quad \mathrm{pues}\;\;\;\; \mathrm{d}V=-\mathbf{E}_\mathrm{cond}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}=0

Para determinar el valor de V0 aplicamos el resultado indicado en el apartado anterior de que la carga eléctrica Q0 distribuida uniformemente en una superficie esférica crea, en los puntos exteriores a la superficie, un campo eléctrico idéntico al de dicha carga considerada como puntual y situada en el centro de la esfera. En consecuencia, el potencial electrostático creado por la distribución de carga en Σext en puntos exteriores a la misma, debe ser también el de una carga puntual de valor Q0 situado en O, salvo una constante. Pero como para puntos muy alejados de la esfera (es decir, |\mathbf{r}|\gg 2R), la carga de ésta producirá debe producir una perturbación poco significativa, que incluso tiende a desaparecer cuando |\mathbf{r}|\rightarrow\infty, puede concluirse que dicha constante debe ser cero. Por tanto,

V_\mathrm{ext}(\mathbf{r})=k_e\!\ Q_0\ \frac{1}{|\mathbf{r}|}\mathrm{,}\quad\mathrm{con}\quad\;\;|\mathbf{r}|\geq 2R       \Rightarrow       V_0=V_\mathrm{ext}(|\mathbf{r}|=2R)=\frac{k_e\!\ Q_0}{2R}=\frac{e(n_1-n_2)\!\ R^2}{6\!\ \varepsilon_0}

Este resultado también puede obtenerse teniendo en cuenta que la relación entre la cantidad de carga eléctrica en la superficie conductora Σext y el valor del potencial en la misma está determinada por la capacidad eléctrica de la superficie conductora, y que depende de su geometría. En el caso de una superficie esférica de radio 2R, se tiene:

\frac{Q_0}{V_0}=C_\mathrm{esf}=4\pi\varepsilon_0(2R)       \Rightarrow       V_0=\frac{Q_0}{8\pi\varepsilon_0R}=\frac{e(n_1-n_2)\!\ R^2}{6\!\ \varepsilon_0}
Diferencia de potencial entre los centros de los huecos

La diferencia de potencial entre los centros A y B de los dos huecos es igual a la circulación del campo eléctrico entre dichos puntos, independientemente del camino seguido. Por tanto, tomaremos uno a lo largo del cual sea fácil calcular dicha circulación: como A y B están situados ambos sobre el eje OX, pasando por el punto O:

V_A-V_B=\int_A^B\! \mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}\quad\longrightarrow\quad V_A-V_B=\int_{A(\Gamma_1)}^O\!\! \mathbf{E}_A\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}_1+\int_{O(\Gamma_2)}^B\!\! \mathbf{E}_B\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}_2=V_A-V_O+V_O-V_B

donde \mathrm{d}\mathbf{r}_1=\mathrm{d}\mathbf{r}\rfloor_{\Gamma_1}=\mathrm{d}x\!\ \mathbf{i}=\mathrm{d}\mathbf{r}\rfloor_{\Gamma_2}=\mathrm{d}\mathbf{r}_2. Calculamos la variación del potencial sobre los caminos parciales Γ1 y Γ2 son:

P\in \Gamma_1\mathrm{,}\;\;\; \mathbf{E}_A(P)=\frac{en_1}{3\varepsilon_0}\ (x+R)\!\ \mathbf{i}\;\Longrightarrow\; \mathbf{E}_A\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}_1=\frac{en_1}{3\varepsilon_0}\ (x+R)\!\ \mathrm{d}x\;\Longrightarrow\; V_A-V_O=\frac{en_1}{3\varepsilon_0}\int_{-R}^0\! (x+R)\!\ \mathrm{d}x=\frac{en_1}{6\varepsilon_0}\ R^2


P\in \Gamma_2\mathrm{,}\;\;\; \mathbf{E}_B(P)=-\frac{en_2}{3\varepsilon_0}\ (x-R)\!\ \mathbf{i}\;\Longrightarrow\; \mathbf{E}_B\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}_2=-\frac{en_2}{3\varepsilon_0}\ (x-R)\!\ \mathrm{d}x\;\Longrightarrow\; V_O-V_B=-\frac{en_2}{3\varepsilon_0}\int_{0}^R\! (x-R)\!\ \mathrm{d}x=\frac{en_2}{6\varepsilon_0}\ R^2

Sumando estas diferencias de potencial parciales, se obtiene...

V_A-V_O=\frac{e(n_1+n_2)}{6\varepsilon_0}\ R^2

2.2 Superficie esférica cargada conectada a condensador plano paralelo

La esfera conductora analizada anteriormente, se conecta al disco conductor C1 de radio R, mediante un hilo conductor de gran longitud, de manera que ambos conductores se pueden considerar infintamente alejados. El disco C1 forma un condensador plano paralelo con otro disco idéntico C2 que, a su vez, está conectado a tierra, de manera que V\rfloor_{\mathrm{C}_2}=0. Se asume que antes de conectar la esfera con el disco C1, éste y C2 están descargados.

Nótese dicho proceso de conexión no afectará en absoluto a las cantidades de carga eléctrica en los huecos de la esfera, que seguirán siendo QA y QB. En consecuencia, tampoco se modificarán las cantidades de carga libre inducidas en las superficies interfaz hueco--conductor:

Q\rfloor_{\Sigma_A}=-Q_A=-\frac{4}{3}\pi R^3\!\ n_1e\mathrm{;}\qquad Q\rfloor_{\Sigma_B}=-Q_B=\frac{4}{3}\pi R^3\!\ n_2e

Sin embargo, el hilo conductor permite el paso de carga eléctrica libre entre la superficie de la esfera conductora y el disco C1 del condensador; en consecuencia, hemos de admitir que una vez que el sistema recupera el equilibrio tras la conexión, y teniendo en cuenta que los discos del condensador se hallan en influencia total, se tendrá:

Q\rfloor_{\Sigma_\mathrm{ext}}=Q_\mathrm{e}\neq Q_0\mathrm{;}\qquad Q\rfloor_{\mathrm{C}_1}=Q_\mathrm{p}\neq 0\mathrm{;}\qquad Q\rfloor_{\mathrm{C}_2}=-Q_\mathrm{p}

Otro efecto del hilo conductor es que esfera y disco C1 constituyen un único conductor cuyos puntos deben hallarse al mismo valor de potencial eléctrostático:

V\rfloor_{\Sigma_\mathrm{ext}}=V\rfloor_{\mathrm{C}_1}=V\neq V_0

Obsérvese que al admitir que la cantidad de carga en la superficie de la esfera conductora ha cambiado, también lo habrá hecho el valor del potencial.

Archivo:FII_1aconv_14_15_P1_3.gif


En todo caso, los nuevos valores de carga eléctrica libre y potencial en el sistema bajo estudio están completamente determinados por las propiedades geométricas del sistema. En primer lugar, se tiene que tras conectar esfera y disco C1, estos condutores siguen estando aislados de otros conductores, de manera que la carga total en estos dos conductores deben seguir siendo la mismas antes y después de conectarlos; como los conductores del condensador estaba inicialmente descargados (igual que la esfera conductora), se tendrá:

Q\rfloor_\mathrm{cond}+Q\rfloor_{\mathrm{C}_1}=\left.\begin{cases}\displaystyle Q_0-Q_A-Q_B=0\mathrm{,}\quad (\mathrm{antes}) \\ \\
\displaystyle Q_\mathrm{e}-Q_A-Q_B+Q_\mathrm{p}=0\mathrm{,}\quad (\mathrm{despu\acute{e}s})\end{cases}\right\}\quad\Longrightarrow\quad Q_0=Q_\mathrm{e}+Q_\mathrm{p}=\frac{4}{3}\pi R^3e(n_1-n_2)

Por otra parte,los valores de carga y potencial en la superficie esférica conductora y en los conductores del condensador deben verificar las relaciones fijadas por las correspondientes capadidades eléctricas, Cesf y Cpp:

\frac{Q}{V}\bigg\rfloor_{\Sigma_\mathrm{ext}}=\frac{Q_\mathrm{e}}{V}=4\pi\varepsilon_0(2R)=C_\mathrm{esf}\mathrm{;}\qquad \frac{Q\rfloor_{\mathrm{C}_1}}{V\rfloor_{\mathrm{C}_1}-V\rfloor_{\mathrm{C}_2}}=\frac{Q_\mathrm{p}}{V}=\frac{\varepsilon_0\!\ \pi R^2}{d}=C_\mathrm{pp}

2.2.1 Reparto de carga

Para que la carga inicial Q0 de la superficie esférica se reparta a partes iguales tras la conexión, es necesario que la distancia entre los discos del condensador verifique una relación concreta con el parámetro R:

Q_\mathrm{e}=C_\mathrm{esf}\!\ V=\frac{Q_0}{2}=C_\mathrm{pp}\!\ V=Q_\mathrm{p}       \Longleftrightarrow       C_\mathrm{esf}=8\pi\varepsilon_0\!\ R=\frac{\varepsilon_0\pi\!\ R^2}{d}=C_\mathrm{pp}\mathrm{;}\quad \mathrm{es}\; \mathrm{decir,}\;\; \mathrm{si}\quad\; d=\frac{R}{8}

2.2.2 Valor del potencial en fución de los parámetros geométricos

El valor del potencial en el sistema queda determinado por los valores de los parámetros geométricos, junto con la cantidad de carga introducida en los huecos, QA + QB = Q0, ya que ésta es la cantidad de carga que se repartirá en la superficie conductora esférica y los discos del condensador. Recuérdese que anteriormente llegamos a los siguientes resultados:

Q_0=Q_\mathrm{e}+Q_\mathrm{p}=\big(C_\mathrm{esf}+C_\mathrm{pp}\big)\!\ V\quad\Longrightarrow\quad V=\frac{Q_0}{C_\mathrm{esf}+C_\mathrm{pp}}

Sustituyendo las expresiones de estas magnitudes en función de los parámetros eléctricos y geométricos, se obtiene...

V=\frac{d\!\ Q_0}{\pi\!\ \varepsilon_0\!\ R\!\ (8d+R)}=\frac{4\!\ d\!\ R^2\!\  e\!\ (n_1-n_2)}{3\!\ \varepsilon_0\!\ \big(8d+R\big)}

2.2.3 Distancia mínima de separación entre discos

La distancia mínima de separación entre los discos estará determinada porque entre ellos no se supere el valor del campo de ruptura del dieléctrico que los separa: el aire. Como sabemos, el campo eléctrico entre los conductores de un condensador plano paralelo es uniforme (es decir, constante en módulo, dirección y sentido). Tiene dirección perpendicular a los planos conductores y su módulo, igual a la diferencia de potencial entre éstos, dividida por la distancia de separación, deber ser menor que el campo de ruptura del dieléctrico:

|\mathbf{E}_\mathrm{cond}|=\frac{\big|V\rfloor_{\mathrm{C}_1}-V\rfloor_{\mathrm{C}_2}\big|}{d}<E_\mathrm{rup}\quad\Longrightarrow\quad \frac{V}{d}=\frac{Q_0}{\pi\!\ \varepsilon_0\!\ R\!\ (8d+R)}<E_\mathrm{rup}

A partir de este resultado obtenemos la expresión que determina el valor mínimo que debe tener la separación entre los discos:

d>\frac{Q_0}{8\pi\!\ \varepsilon_0\!\ R\!\ E_\mathrm{rup}}-\frac{R}{8}=d_0-\frac{R}{8}

Para los datos propuestos en el enunciado, se obtiene:

d_0=\frac{Q_0}{8\pi\!\ \varepsilon_0\!\ R\!\ E_\mathrm{rup}}=0,3\,\mathrm{mm}<6,25\,\mathrm{mm}=\frac{R}{8}       \Rightarrow       |\mathbf{E}_\mathrm{cond}|<E_\mathrm{rup}\mathrm{,}\quad\forall \, d\geq 0

Es decir, con la cantidad de carga total Q0 introducida en los huecos, nunca llegará a producirse la ruptura en el condensador, incluso cuando la distancia de separación d\rightarrow 0, pues en este caso se tiene también que V\rightarrow 0.

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