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Escalas y gráficas logarítmicas

De Laplace

Contenido

1 Comportamientos no lineales

En la mayoría de las prácticas de física, las leyes que se han de verificar siguen una dependencia lineal

y = A + B x\,

Sin embargo, no hay que pensar que ésta es la forma general de una dependencia entre funciones. Las magnitudes se relacionarán en general por fórmulas de lo más variopintas (exponenciales, polinomios, logaritmos, funciones trigonométricas) y en muchos casos ni siquiera existe una fórmula conocida que permita relacionar dos magnitudes.

La ventaja de las rectas de mejor ajuste es que son las más sencillas. Disponemos de fórmulas para la pendiente, la ordenada en el origen y sus respectivas incertidumbres, y podemos representarlas fácilmente. Por ello, siempre que sea posible, es preferible reducir el problema a una dependencia lineal.

1.1 Reducción a una forma lineal

A modo de ejemplo, si tenemos el problema de de una partícula que cae desde una cierta altura, y medimos el tiempo de caída, podemos obtener una tabla como la siguiente

t (\mathrm{s})(\pm 0.01\mathrm{s}) h (\mathrm{cm})(\pm 1\mathrm{cm})
0.54 140
0.50 120
0.45 100
0.41 80
0.36 60
0.28 40

La teoría nos dice que el tiempo que tarda en caer cumple

h = \frac{1}{2}g t^2

Por ello la gráfica teórica de h frente al tiempo es una parábola. Si representamos la altura frente al tiempo, obtenemos una serie de puntos no alineados

Aunque podemos ajustar una recta de mínimos cuadrados, esto no sirve absolutamente de nada, porque ni los puntos están alineados, ni la pendiente de esa recta tiene significado físico.

En cambio, si representamos h frente al cuadrado del tiempo, añadiendo una nueva columna

t (\mathrm{s})(\pm 0.01\mathrm{s}) t2(s2) h (\mathrm{cm})(\pm 1\mathrm{cm})
0.54 0.292(11) 140
0.50 0.250(10) 120
0.45 0.202(9) 100
0.41 0.168(8) 80
0.36 0.130(7) 60
0.28 0.078(6) 40

Nótese que ahora cada dato tiene un error diferente, y para abreviar hemos empleado la notación compacta

0.078(6)\mathrm{s}^2 = (0.078\pm 0.006)\mathrm{s}^2\,

De esta forma, la nueva dependiencia teórica es lineal, ya que

h = \frac{1}{2}g (t^2) = A + B t^2\qquad A = 0\qquad B = \frac{1}{2}g

La gráfica en este caso si es aproximadamente recta, y de su pendiente podemos hallar el valor de la aceleración de la gravedad

B =478(24)\,\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}^2}\qquad\Rightarrow\qquad g = 2B = 9.6(5)\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}

1.2 Dependencia exponencial

Uno de los casos más frecuentes de relación no lineal es del comportamiento exponencial.

Supongamos el movimiento de una partícula que, por efecto del rozamiento, tiene una velocidad decreciente, de forma que tras una serie de medidas obtenemos la tabla de datos siguiente

t (\mathrm{s})(\pm 1\,\mathrm{s}) v (\mathrm{m}/\mathrm{s}) (\pm 0.01\,\mathrm{m}/\mathrm{s})
60 2.13
120 1.49
180 1.07
240 0.74
300 0.53
360 0.38

En este caso, el decaimiento es claramente no lineal, y un ajuste a estos datos de una recta por mínimos cuadrados no nos sirve de nada.

Por la forma en que decrece la velocidad, o por razones teóricas, podemos suponer un decaimiento exponencial

v = Ke − λt

Para reducir esto a una recta, tomamos logaritmos en los dos miembros queda

ln(v) = ln(K) − λt

que podemos reescribir como

y = A + B x\qquad y = \ln(v) \qquad x = t \qquad A = \ln(K) \qquad B = -\lambda

esto es, el resultado es una recta que nos da los parámetros K y λ. Para calcular estos parámetros tomamos el logaritmo de la velocidad como una nueva columna

t (\mathrm{s})(\pm 1\,\mathrm{s}) v (\mathrm{m}/\mathrm{s}) (\pm 0.01\,\mathrm{m}/\mathrm{s}) ln(v)
60 2.13 0.756(5)
120 1.49 0.399(7)
180 1.07 0.068(9)
240 0.74 0.301(14)
300 0.53 0.635(19)
360 0.38 -0.968(26)

El factor del exponente coincide con la pendiente de la recta, mientras que el prefactor K vale

K = eA

Los errores de λ y K serán

E_\lambda = E_b \qquad E_K = \left|\frac{\mathrm{d}K}{\mathrm{d}A}\right|E_K = K E_A

Para obtener gráficamente una recta en este caso deberemos representar ln(v) frente a t. Vemos que en este caso, la gráfica es claramente lineal y es adecuado emplear el método de mínimos cuadrados.

Para nuestro ejemplo, resulta

A = 0.750(16)\qquad \qquad B = -0.00576(9)\mathrm{s}^{-1}\qquad r = -0.9998

y en términos de K y λ

\lambda = 0.00576(9)\mathrm{s}^{-1}\qquad K = \mathrm{e}^A = 2.11(3)\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}

Algunas observaciones respecto a las unidades y errores en una recta exponencial:

  • Antes de tomar logaritmos es importante que todos los datos cuyo logaritmo se va a tomar (las velocidades en este caso) se expresen todos ellos en las mismas unidades (p.ej. o todos en m/s, o todos en km/h, pero no algunos de una forma y otros de otra). De no hacerse así los resultados serán incorrectos.
  • Un logaritmo es siempre una cantidad adimensional, por ello, la columna correspondiente no lleva unidades.
  • Como consecuencia de esto, la ordenada en el origen, A, que tiene las mismas unidades que “y”, es también adimensional.
  • El exponente de A, que nos da el factor K, sí tiene unidades: las mismas que tenían los datos antes de tomar los logarimos (m/s, en nuestro ejemplo).
  • La pendiente B tiene las unidades de una inversa de “x” (s− 1 en nuestro caso).

Las gráficas de las dependencias exponenciales son mucho más claras sin en lugar de representar los logaritmos, se representa directamente la velocidad, pero empleando una escala logarítmica, según se describe en la sección siguiente.

1.3 Dependencia potencial

En otros casos, tenemos una relación entre magnitudes que siguen una dependencia potencial. Por ejemplo, volviendo al ejemplo de la caída de un cuerpo. Si no conocemos la ley teórica o queremos tener en cuenta el rozamiento, lo más que podemos afirmar de entrada es que el tiempo de caída aumenta con la altura, pero no sabemos si al doble de altura corresponde el doble de tiempo, o quizás cuatro veces, o... En ese caso suponemos la ley potencial

h = K t^n\,

donde n es un exponente desconocido, como también lo es el factor K.

Para convertir esta dependencia potencial en una lineal, tomamos los logaritmos de ambos miembros

\ln(h) = \ln(K) + n \ln(t)\,

que se puede escribir como

y = A + B x\,\qquad y = \ln(h) \qquad x = \ln(t) \qquad A = \ln(K)\qquad B = n

es decir, que si se representa gráficamente ln(h) frente a ln(t) (lo que se denomina una gráfica log-log) deberemos obtener un comportamiento aproximadamente lineal. La pendiente de la recta resultante nos da el exponente buscado.

Los errores del factor K y del exponente serán

E_n = E_B \qquad E_K = K E_A

Aplicando esto a la misma tabla que tenemos más arriba nos queda

t (\mathrm{s})(\pm 0.01\mathrm{s}) h (\mathrm{cm})(\pm 1\mathrm{cm}) ln(t) ln(h)
0.54 140 -0.616(19) 4.942(7)
0.50 120 -0.693(20) 4.787(8)
0.45 100 -0.799(22) 4.605(10)
0.41 80 -0.892(24) 4.382(13)
0.36 60 -1.02(3) 4.094(17)
0.28 40 -1.27(4) 3.689(25)

Calculando los parámetros de la recta obtenemos

A = 6.13(12)\qquad\qquad B = 1.94(13)

El hecho de que resulte un exponente muy próximo a 2 indica que, efectivamente, la dependencia entre la altura y el tiempo de caída es cuadrática.

Para representar las dependencias potenciales, también es más conveniente el uso de escalas logarítmicas, como las descritas en la sección siguiente.

2 Escalas logarítmicas

Cuando se tienen datos de los que se sabe, o se sospecha, que poseen una conducta exponencial o potencial, interesa usar como eje el logaritmo de una o de las dos cantidades. Sin embargo, al indicar en los ejes dichos logaritmos, las gráficas son más difíciles de interpretar. Es mucho más fácil entender una gráfica en la que los puntos corresponden a “2” y a “3”' que una en que corresponden a “0.301” y “0.477” (los logaritmos decimales de 2 y 3).

Nos interesa entonces una representación que, aun estando las marcas espaciadas según los logaritmos de 1, 2, 3,…, las etiquetas corresponden a “1”, “2”, “3”,… de forma que sabemos a qué valor original corresponde cada logaritmo.

Para construir esta escala logarítmica se emplea usualmente la base 10. Se sitúa la marca de “1” en el origen (pues su logaritmo es 0) y “10” a una distancia unitaria (por ejemplo, 1 cm). Los valores correspondientes a “2”, “3”, etc., se situarán a 0.301 cm, 0.477 cm, etc. del origen.

Esto produce una escala no lineal, en la que las marcas se van acumulando. Así, la distancia entre 100 y 10 es la misma que entre 10 y 1, y la marca del 20 dista del 10, lo mismo que la del 2 de la del 1.

Archivo:Escalalog.png

El uso de estas escalas es especialmente útil cuando se tienen un rango de datos muy amplio, como por ejemplo, al hacer un barrido en frecuencias. Empleando una escala logarítmica se le da la misma importancia a las bajas frecuencias que a las altas. Por ejemplo, para la respuesta un circuito RLC, la representación en una escala logarítmica muestra la simetría del comportamiento para altas y bajas frecuencias:

Archivo:respuesta-rlc.png

3 Gráficas con escalas logarítmicas

3.1 Gráficas semilogarítmicas

Combinando los diferentes tipos de escalas, podemos tener gráficas semilogarítmicas, cuando una de las dos escalas es logarítmica y la otra lineal (útil para comportamientos exponenciales y logarítmicos), y logarítmicas (o log-log), cuando las dos escalas son logarítmicas (apropiado para comportamientos potenciales).

No es necesario diseñar manualmente este tipo de escalas: los programas de representación gráfica, como Excel, permiten seleccionar escalas logarítmicas. También existen papeles milimetrados con una o dos escalas logarítmicas.

Si volvemos al ejemplo de la velocidad como función del tiempo descrito anteriormente

t (\mathrm{s})(\pm 1\,\mathrm{s}) v (\mathrm{m}/\mathrm{s}) (\pm 0.01\,\mathrm{m}/\mathrm{s})
60 2.13
120 1.49
180 1.07
240 0.74
300 0.53
360 0.38

y representamos directamente la velocidad frente al tiempo, pero empleando una escala logarítmica para la velocidad nos queda la gráfica siguiente

donde vemos que ya directamente se aprecia el comportamiento lineal.

Es necesario recordar algunos aspectos cruciales:

  • Lo que se representa es directamente la velocidad, no su logaritmo. Solo que en lugar de una escala lineal se usa una logarítmica.
  • En las gráficas semilogarítmicas y log-log (que veremos ahora) se emplea habitualmente la base 10, porque es más fácil de leer.
  • No obstante, cuando calculamos la recta de mejor ajuste para una tendencia exponencial se emplea el logaritmo neperiano. La razón de que se usen dos bases diferentes es que mientras la decimal es más fácil de leer en la gráfica, el neperiano produce fórmulas más simples a la hora de hacer cálculos de cantidades e incertidumbres. De todas formas, si con el neperiano resulta un r próximo a 1, en la gráfica decimal resultarán puntos alineados.

Para representar una gráfica logarítmica en Excel hay que representar en primer lugar los puntos (x,y) en una gráfica tipo "Dispersión" (o "XY") y posteriormente con ayuda del menú "Formato del eje", seleccionar que se trata de una escala logarítmica. Normalmente es necesario ajustar con cuidado los valores iniciales y finales, así como las divisiones deseadas.

Para obtener la gráfica de mejor ajuste en Excel, hay que usar la opción "agregar una línea de tendencia", seleccionando que esta sea exponencial (si la escala logarítmica es la de “y”), logarítmica (si es la de “x”) o potencial (si se trata de ambas).

3.2 Gráficas log-log

En el caso de una tendencia potencial como

h = K t^n\,

debemos tomar el logaritmo de ambas variables. Esto quiere decir que para la gráfica, lo más adecuado es representar directamente h frente a t pero usando escalas logarítmicas tanto para las ordenadas como para las abscisas. Esto es lo que se denomina una representación log-log.

Empleando los datos del ejemplo anterior

t (\mathrm{s})(\pm 0.01\mathrm{s}) h (\mathrm{cm})(\pm 1\mathrm{cm})
0.54 140
0.50 120
0.45 100
0.41 80
0.36 60
0.28 40

En este caso obtenemos una gráfica como

donde vemos que ya directamente se aprecia el comportamiento lineal.

Es necesario recordar que:

  • Lo que se representa es directamente la altura y el tiempo, no sus logaritmos. Solo que en lugar de escalas lineales se usan logarítmicas.

Para representar una gráfica log-log en Excel hay que representar en primer lugar los puntos (x,y) en una gráfica tipo "Dispersión" (o "XY") y posteriormente con ayuda del menú "Formato del eje", seleccionar que se trata de escalas logarítmicas. Normalmente es necesario ajustar con cuidado los valores iniciales y finales, así como las divisiones deseadas.

El principal problema aparece cuando los datos que se quieren representar se encuentran dentro del mismo orden de magnitud (p.ej. si los datos van de 0.3 a 0.6 todos están en el orden 0.1-1.0; si están entre 30 y 60 todos pertenecen al rango 10-100). En este caso, si se sigue la regla general de elaboración de una buena gráfica, los límites de la escala podrían tomarse entre 0.25 y 0.75, para el primer ejemplo. Sin embargo, al hacer esto en Excel, las líneas de división en Excel simplemente no aparecen o se encuentran en valores inesperados. Por ello, la única solución sencilla es ampliar los límites hasta que contengan una orden de magnitud completo (de 0.1 a 1.0 en este caso). De esta forma aparece un número adecuado de líneas, pero al precio de que los puntos puede quedar concentrados en una parte de la gráfica.

Para obtener la gráfica de mejor ajuste en Excel, hay que usar la opción "agregar una línea de tendencia", seleccionando que esta sea exponencial (si la escala logarítmica es la de “y”), logarítmica (si es la de “x”) o potencial (si se trata de ambas).

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